Intero algebrico - Algebraic integer

Nella teoria algebrica dei numeri , un intero algebrico è un numero complesso che è integrale sugli interi. Cioè, un intero algebrico è una radice complessa di un polinomio monico (un polinomio il cui coefficiente principale è 1) i cui coefficienti sono interi. L'insieme di tutti gli interi algebrici è chiuso per addizione, sottrazione e moltiplicazione e quindi è un sottoanello commutativo dei numeri complessi.

L' anello degli interi di un campo numerico $K$ , indicato con $O K$ , è l'intersezione di $K$ e $A$ : può anche essere caratterizzato come l' ordine massimo del campo $K$ . Ogni intero algebrico appartiene all'anello di interi di un campo numerico. Un numero $α$ è un intero algebrico se e solo se l'anello $[$ $α$ $]$ è finito in modo finito come gruppo abeliano , cioè come -modulo . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Definizioni

Le seguenti sono definizioni equivalenti di un intero algebrico. Sia $K$ un campo numerico (cioè un'estensione finita di , l'insieme dei numeri razionali ), in altre parole, $K$ $=$ $($ $θ$ $)$ per qualche numero algebrico $θ$ $\in$ per il teorema dell'elemento primitivo . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

$α \in K$ è un intero algebrico se esiste un polinomio monico $\mathbb {Z}$ tale che $f (α) = 0$ .
$α \in K$ è un intero algebrico se il polinomio monico minimo di $α$ overè in $[$ $x$ $]$ . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$
$α \in K$ è un intero algebrico se $[$ $α$ $]$ è un modulo finito. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
$α \in K$ è un intero algebrico se esiste unsottomodulo $M$ $\subset$ generato in modo finito diverso da zerotale che $αM$ $\subseteq$ $M$ . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {C}$

Gli interi algebrici sono un caso speciale di elementi integrali di un'estensione di anello. In particolare, un intero algebrico è un elemento integrale di un'estensione finita $\mathbb {Q}$ .

Esempi

Gli unici interi algebrici che si trovano nell'insieme dei numeri razionali sono gli interi. In altre parole, l'intersezione di e $A$ è esattamente . Il numero razionale $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} un/B$ non è un intero algebrico a meno che $b$ non divida $a$ . Nota che il coefficiente principale del polinomio $bx - a$ è l'intero $b$ . Come altro caso speciale, la radice quadrata di un intero non negativo $n$ è un intero algebrico, ma è irrazionale a meno che $n$ non sia un quadrato perfetto . ${\sqrt {n}}$
Se $d$ è un intero senza quadrati, l'estensione ) è un campo quadratico di numeri razionali. L'anello degli interi algebrici contiene $O$ $K$ poiché questa è una radice del polinomio monico $x$ $2$ $-$ $d$ . Inoltre, se $d$ $1$ $mod$ $4$ , allora anche l'elemento è un intero algebrico. Soddisfa il polinomio $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}$ ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ $1 / 4 (1 - d)$ dove il termine costante $1 / 4 (1 - d)$ è un numero intero. L'intero anello di numeri interi è generato rispettivamente da o . Vedere interi quadratici per ulteriori informazioni. ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$
L'anello degli interi del campo $\mathbb {Q}$ , $α = 3 \sqrt m$ , ha la seguente base integrale , scrivendo $m = hk 2$ per due interi coprimi liberi da quadrati $h$ e $k$ :

{\begin{casi}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1 {\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{altrimenti}}\end{casi}}

Se $ζ n$ è un primitivo $n$ esima radice di unità , poi l'anello di interi del campo ciclotomico $($ $ζ$ $n$ $)$ è proprio $[$ $ζ$ $n$ $]$ . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$
Se $α$ è un intero algebrico, allora $β = n \sqrt α$ è un altro intero algebrico. Un polinomio per $β$ si ottiene sostituendo $x n$ del polinomio per $α$ .

Non-esempio

Se $P (x)$ è un polinomio primitivo che ha coefficienti interi ma non è monic, e $P$ è irriducibile su , allora nessuna delle radici di $P$ sono interi algebrici (ma sono numeri algebrici ). Qui la primitiva è usata nel senso che il massimo comun divisore dell'insieme dei coefficienti di $P$ è 1; questo è più debole che richiedere che i coefficienti siano relativamente primi a coppie. $\mathbb {Q}$

Fatti

La somma, la differenza e il prodotto di due interi algebrici è un intero algebrico. In generale il loro quoziente non lo è. Il polinomio monico coinvolto è generalmente di grado superiore a quello degli interi algebrici originari, e può essere trovato prendendo risultanti e fattorizzando. Ad esempio, se $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ e $z = xy$ , quindi eliminando $x$ e $y$ da $z - xy = 0$ e i polinomi soddisfatti da $x$ e $y$ utilizzando il risultante dà $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , che è irriducibile, ed è l'equazione monica soddisfatta dal prodotto. (Per vedere che $xy$ è una radice della $x$ -risultante di $z - xy$ e $x 2 - x - 1$ , si potrebbe usare il fatto che la risultante è contenuta nell'ideale generato dai suoi due polinomi di input.)
Qualsiasi numero costruibile dagli interi con radici, addizione e moltiplicazione è quindi un intero algebrico; ma non tutti gli interi algebrici sono così costruibili: in un senso ingenuo, la maggior parte delle radici dei quintici irriducibili non lo sono. Questo è il teorema di Abel-Ruffini .
Ogni radice di un polinomio monico i cui coefficienti sono interi algebrici è essa stessa un intero algebrico. In altre parole, gli interi algebrici formano un anello integralmente chiuso in una qualsiasi delle sue estensioni.
L'anello degli interi algebrici è un dominio di Bézout , come conseguenza del teorema dell'ideale principale .
Se il polinomio monico associato a un intero algebrico ha termine costante 1 o -1, allora anche il reciproco di quell'intero algebrico è un intero algebrico, ed è un'unità , un elemento del gruppo di unità dell'anello degli interi algebrici.

Guarda anche

Riferimenti

^ Marcus, Daniel A. (1977). Campi numerici (3a ed.). Berlino, New York: Springer-Verlag . cap. 2, pag. 38 ed es. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Teoria algebrica dei numeri: un approccio computazionale (PDF) .

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Campi numerici (3a ed.). Berlino, New York: Springer-Verlag . cap. 2, pag. 38 ed es. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

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