Anosov diffeomorfismo - Anosov diffeomorphism

In matematica , più particolarmente nei campi dei sistemi dinamici e della topologia geometrica , una mappa di Anosov su una varietà M è un certo tipo di mappatura, da M a se stessa, con direzioni locali di "espansione" e "contrazione" piuttosto chiaramente marcate. I sistemi Anosov sono un caso speciale dei sistemi Axiom A.

I diffeomorfismi di Anosov furono introdotti da Dmitri Victorovich Anosov , che dimostrò che il loro comportamento era in un senso appropriato generico (quando esistono).

Panoramica

Si devono distinguere tre definizioni strettamente correlate:

Se una mappa differenziabile f su M ha una struttura iperbolica sul fascio tangente , allora è chiamata mappa di Anosov . Gli esempi includono la mappa di Bernoulli e la mappa del gatto di Arnold .
Se la mappa è un diffeomorfismo , viene chiamato diffeomorfismo di Anosov .
Se un flusso su un collettore divide il fascio tangente in tre sottofondi invarianti , con un sottofondo che si contrae in modo esponenziale e uno che si espande esponenzialmente, e un terzo sotto-fascio unidimensionale non espandibile e non contraente (attraversato da la direzione del flusso), quindi il flusso è chiamato flusso di Anosov .

Un classico esempio di diffeomorfismo di Anosov è la mappa del gatto di Arnold .

Anosov ha dimostrato che i diffeomorfismi di Anosov sono strutturalmente stabili e formano un sottoinsieme aperto di mappature (flussi) con la topologia C ¹ .

Non tutte le varietà ammettono un diffeomorfismo di Anosov; per esempio, non ci sono tali diffeomorfismi sulla sfera . Gli esempi più semplici di varietà compatte che li ammettono sono i tori: ammettono i cosiddetti diffeomorfismi di Anosov lineari , che sono isomorfismi privi di autovalore di modulo 1. È stato dimostrato che qualsiasi altro diffeomorfismo di Anosov su un toro è topologicamente coniugato a uno di questi genere.

Il problema della classificazione delle varietà che ammettono diffeomorfismi di Anosov si è rivelato molto difficile, e ancora a partire dal 2012 non ha risposta. Gli unici esempi noti sono le varietà infraniliche , e si ipotizza che siano le uniche.

Una condizione sufficiente per la transitività è che tutti i punti siano nonwandering: . ${\ displaystyle \ Omega (f) = M}$

Inoltre, non è noto se ogni diffeomorfismo di Anosov che preserva il volume sia ergodico. Anosov lo ha dimostrato sotto un'ipotesi. Questo vale anche per i diffeomorfismi di Anosov che preservano il volume. ${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ ${\ displaystyle C ^ {1+ \ alpha}}$

Per il diffeomorfismo transitivo di Anosov esiste una misura SRB unica (l'acronimo sta per Sinai, Ruelle e Bowen) supportata in modo tale che il suo bacino sia di pieno volume, dove ${\ displaystyle C ^ {2}}$ ${\ Displaystyle f \ due punti M \ to M}$ ${\ displaystyle \ mu _ {f}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle B (\ mu _ {f})}$

{\ displaystyle B (\ mu _ {f}) = \ left \ {x \ in M: {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ delta _ { f ^ {k} x} \ a \ mu _ {f} \ right \}.}

Flusso di Anosov su (fasci tangenti di) superfici di Riemann

A titolo di esempio, questa sezione sviluppa il caso del flusso di Anosov sul fascio tangente di una superficie di Riemann di curvatura negativa . Questo flusso può essere compreso in termini di flusso sul fascio tangente del modello semipiano di Poincaré di geometria iperbolica. Le superfici di Riemann di curvatura negativa possono essere definite come modelli fuchsiani , cioè come i quozienti del semipiano superiore e di un gruppo fuchsiano . Per quanto segue, sia H il semipiano superiore; sia Γ un gruppo fuchsiano; sia M = H / Γ una superficie di Riemann di curvatura negativa come il quoziente di "M" per l'azione del gruppo Γ, e sia il fascio tangente dei vettori di lunghezza unitaria sulla varietà M , e sia il fascio tangente di vettori unità di lunghezza su H . Si noti che un fascio di vettori di lunghezza unitaria su una superficie è il fascio principale di un fascio di linee complesse . ${\ displaystyle T ^ {1} M}$ ${\ displaystyle T ^ {1} H}$

Lie campi vettoriali

Si inizia notando che è isomorfo al gruppo di Lie PSL (2, R ) . Questo gruppo è il gruppo delle isometrie di conservazione dell'orientamento del semipiano superiore. L' algebra di Lie di PSL (2, R ) è sl (2, R ), ed è rappresentata dalle matrici ${\ displaystyle T ^ {1} H}$

{\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1 / 2 \\\ end {pmatrix}} \ qquad X = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\\ end {pmatrix} } \ qquad Y = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

che hanno l'algebra

{\ displaystyle [J, X] = X \ qquad [J, Y] = - Y \ qquad [X, Y] = 2J}

Le mappe esponenziali

{\ displaystyle g_ {t} = \ exp (tJ) = {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2} \\\ end {pmatrix}} \ qquad h_ { t} ^ {*} = \ exp (tX) = {\ begin {pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ qquad h_ {t} = \ exp (tY) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \\\ end {pmatrix}}}

definire flussi invarianti a destra sulla varietà di , e allo stesso modo su . Definendo e , questi flussi definiscono campi vettoriali su P e Q , i cui vettori si trovano in TP e TQ . Questi sono solo i normali campi vettoriali di Lie standard sulla varietà di un gruppo di Lie, e la presentazione sopra è un'esposizione standard di un campo vettoriale di Lie. ${\ displaystyle T ^ {1} H = \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle T ^ {1} M}$ ${\ displaystyle P = T ^ {1} H}$ ${\ displaystyle Q = T ^ {1} M}$

Flusso di Anosov

Il collegamento al flusso Anosov deriva dalla constatazione che è il flusso geodetico su P e Q . Essendo i campi vettoriali di bugia (per definizione) lasciati invarianti sotto l'azione di un elemento di gruppo, si ha che questi campi vengono lasciati invarianti sotto gli elementi specifici del flusso geodetico. In altre parole, gli spazi TP e TQ sono suddivisi in tre spazi unidimensionali, o sottofondi , ciascuno dei quali è invariante rispetto al flusso geodetico. Il passaggio finale è notare che i campi vettoriali in un sottobundle si espandono (e si espandono in modo esponenziale), quelli in un altro rimangono invariati e quelli in un terzo si restringono (e lo fanno in modo esponenziale). ${\ displaystyle g_ {t}}$ ${\ displaystyle g_ {t}}$

Più precisamente, il fascio tangente TQ può essere scritto come somma diretta

{\ displaystyle TQ = E ^ {+} \ oplus E ^ {0} \ oplus E ^ {-}}

o, a un certo punto , la somma diretta ${\ Displaystyle g \ cdot e = q \ in Q}$

{\ displaystyle T_ {q} Q = E_ {q} ^ {+} \ oplus E_ {q} ^ {0} \ oplus E_ {q} ^ {-}}

corrispondenti ai generatori dell'algebra di Lie Y , J e X , rispettivamente, portati, dall'azione di sinistra dell'elemento di gruppo g , dall'origine e al punto q . Cioè, uno ha e . Questi spazi sono ciascuno sottobacoli e sono preservati (sono invarianti) sotto l'azione del flusso geodetico ; cioè sotto l'azione degli elementi del gruppo . ${\ displaystyle E_ {e} ^ {+} = Y, E_ {e} ^ {0} = J}$ ${\ displaystyle E_ {e} ^ {-} = X}$ ${\ displaystyle g = g_ {t}}$

Per confrontare le lunghezze dei vettori in punti diversi q , è necessaria una metrica. Qualsiasi prodotto interno ad estende ad un sinistra-invariante Riemannian metrica su P , e quindi di una metrica Riemanniana su Q . La lunghezza di un vettore si espande esponenzialmente come exp (t) sotto l'azione di . La lunghezza di un vettore si riduce esponenzialmente come exp (-t) sotto l'azione di . I vettori in sono invariati. Questo può essere visto esaminando come gli elementi del gruppo si spostano. Il flusso geodetico è invariante, ${\ displaystyle T_ {q} Q}$ ${\ displaystyle T_ {e} P = sl (2, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle v \ in E_ {q} ^ {+}}$ ${\ displaystyle g_ {t}}$ ${\ displaystyle v \ in E_ {q} ^ {-}}$ ${\ displaystyle g_ {t}}$ ${\ displaystyle E_ {q} ^ {0}}$

{\ displaystyle g_ {s} g_ {t} = g_ {t} g_ {s} = g_ {s + t}}

ma gli altri due si restringono e si espandono:

{\ displaystyle g_ {s} h_ {t} ^ {*} = h_ {t \ exp (-s)} ^ {*} g_ {s}}

e

{\ displaystyle g_ {s} h_ {t} = h_ {t \ exp (s)} g_ {s}}

dove ricordiamo che un vettore tangente in è dato dalla derivata , rispetto at , della curva , l'impostazione . ${\ displaystyle E_ {q} ^ {+}}$ ${\ displaystyle h_ {t}}$ ${\ displaystyle t = 0}$

Interpretazione geometrica del flusso di Anosov

Quando si agisce sul punto del semipiano superiore, corrisponde a una geodetica sul semipiano superiore, passante per il punto . L'azione è l' azione di trasformazione standard di Möbius di SL (2, R ) sul semipiano superiore, quindi ${\ displaystyle z = i}$ ${\ displaystyle g_ {t}}$ ${\ displaystyle z = i}$

{\ displaystyle g_ {t} \ cdot i = {\ begin {pmatrix} \ exp (t / 2) & 0 \\ 0 & \ exp (-t / 2) \ end {pmatrix}} \ cdot i = i \ exp ( t)}

Una geodetica generale è data da

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot i \ exp (t) = {\ frac {ai \ exp (t) + b} {ci \ exp (t) + d }}}

con un , b , c e d reale, con . Le curve e sono chiamate horocycles . Gli orocicli corrispondono al movimento dei vettori normali di un'orosfera sul semipiano superiore. ${\ displaystyle ad-bc = 1}$ ${\ displaystyle h_ {t} ^ {*}}$ ${\ displaystyle h_ {t}}$

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

"Sistema Y, sistema U, sistema C" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle scorre su superfici di curvatura negativa costante , (1991), che appare come Capitolo 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane e Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Fornisce un'introduzione espositiva al flusso Anosov su SL (2, R ).)
Questo articolo incorpora materiale dal diffeomorfismo di Anosov su PlanetMath , che è concesso in licenza con la licenza Creative Commons Attribution / Share-Alike .
Toshikazu Sunada , Flussi magnetici su una superficie di Riemann , Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.

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