Apollonio di Perga - Apollonius of Perga

Le sezioni coniche , o figure bidimensionali formate dall'intersezione di un piano con un cono ad angoli diversi. La teoria di queste figure è stata ampiamente sviluppata dagli antichi matematici greci, sopravvivendo soprattutto in opere come quelle di Apollonio di Perga. Le sezioni coniche pervadono la matematica moderna.

Apollonio di Perga ( greco : Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ; latino : Apollonius Pergaeus ; c.  240 a.C.  - c.  190 a.C. ) è stato un antico geometra e astronomo greco noto per il suo lavoro sulle sezioni coniche . A partire dai contributi di Euclide e Archimede sul tema, li ha portati allo stato precedente all'invenzione della geometria analitica . Le sue definizioni dei termini ellisse , parabola e iperbole sono quelle in uso oggi. Gottfried Wilhelm Leibniz ha dichiarato: "Chi comprende Archimede e Apollonio ammirerà meno le conquiste degli uomini più importanti dei tempi successivi".

Apollonio lavorò su numerosi altri argomenti, inclusa l'astronomia. La maggior parte di questo lavoro non è sopravvissuta, dove le eccezioni sono tipicamente frammenti a cui fanno riferimento altri autori. La sua ipotesi di orbite eccentriche per spiegare il moto apparentemente aberrante dei pianeti , comunemente creduto fino al Medioevo , fu superata durante il Rinascimento . Il cratere Apollonio sulla Luna è chiamato in suo onore.

Vita

Per un collaboratore così importante nel campo della matematica , rimangono scarse informazioni biografiche. Il commentatore greco del VI secolo, Eutocio di Ascalone , sull'opera principale di Apollonio, Conica , afferma:

Apollonio, il geometra, ... venne da Perge in Panfilia ai tempi di Tolomeo Euergete, così ricorda Eracleo il biografo di Archimede ....

Perga all'epoca era una città ellenizzata della Panfilia in Anatolia . Le rovine della città sono ancora in piedi. Fu un centro della cultura ellenistica. Euergetes, "benefattore", identifica Tolomeo III Euergetes , terzo dinasta greco d'Egitto nella successione dei diadochi. Presumibilmente, i suoi "tempi" sono il suo regno, 246-222/221 a.C. I tempi sono sempre registrati dal sovrano o dal magistrato officiante, così che se Apollonio fosse nato prima del 246, sarebbero stati i "tempi" del padre di Euergete. L'identità di Eraclio è incerta. I tempi approssimativi di Apollonio sono quindi certi, ma non è possibile fornire date esatte. La cifra Anni specifici di nascita e morte dichiarata dai vari studiosi è solo speculativa.

Sembra che Eutocio associ Perge alla dinastia tolemaica d'Egitto. Mai sotto l'Egitto, Perga nel 246 aC appartenne all'Impero seleucide , uno stato diadochi indipendente governato dalla dinastia seleucide. Durante l'ultima metà del III secolo aC, Perga passò di mano più volte, passando alternativamente sotto i Seleucidi e sotto il Regno di Pergamo a nord, governato dalla dinastia degli Attalidi . Ci si poteva ben aspettare che qualcuno designato “di Perga” vivesse e lavorasse lì. Al contrario, se Apollonio fu successivamente identificato con Perga, non fu in base alla sua residenza. Il restante materiale autobiografico implica che visse, studiò e scrisse ad Alessandria.

Una lettera del matematico e astronomo greco Ipsicle era originariamente parte del supplemento tratto dal Libro XIV di Euclide, parte dei tredici libri degli Elementi di Euclide.

Basilide di Tiro , o Protarco, quando venne ad Alessandria e conobbe mio padre, trascorse con lui la maggior parte del suo soggiorno a causa del legame tra loro dovuto al comune interesse per la matematica. E in un'occasione, esaminando il volantino scritto da Apollonio sul confronto del dodecaedro e dell'icosaedro inscritti in una stessa sfera, vale a dire sulla questione che rapporto hanno l'uno con l'altro, giunsero alla conclusione che il trattamento che Apollonio ne fece in questo libro non era corretto; di conseguenza, come ho capito da mio padre, hanno proceduto a modificarlo e riscriverlo. Ma io stesso in seguito mi sono imbattuto in un altro libro pubblicato da Apollonio, contenente una dimostrazione dell'argomento in questione, e sono stato molto attratto dalla sua indagine sul problema. Ora il libro pubblicato da Apollonio è accessibile a tutti; perché ha una larga diffusione in una forma che sembra essere stata il risultato di un'attenta elaborazione successiva. Da parte mia, ho deciso di dedicarti ciò che ritengo necessario a titolo di commento, in parte perché potrai, in virtù della tua competenza in tutta la matematica e particolarmente in geometria, esprimere un giudizio esperto su ciò che sono sto per scrivere, e in parte perché, a causa della tua intimità con mio padre e del tuo affetto verso di me, presterai un orecchio gentile alla mia disquisizione. Ma è tempo di aver finito con il preambolo e di iniziare il mio stesso trattato.

I tempi di Apollonio

Apollonio visse verso la fine di un periodo storico ora chiamato periodo ellenistico , caratterizzato dalla sovrapposizione della cultura ellenica su vaste regioni non elleniche a varie profondità, radicale in alcuni luoghi, quasi del tutto in altri. Il cambiamento fu avviato da Filippo II di Macedonia e suo figlio, Alessandro Magno , che, sottomettendo tutta la Grecia in una serie di vittorie sbalorditive, andarono a conquistare l' impero persiano , che governava i territori dall'Egitto al Pakistan. Filippo fu assassinato nel 336 a.C. Alexander ha continuato a realizzare il suo piano conquistando il vasto impero persiano.

La breve autobiografia di Apollonio

Il materiale si trova nelle false “Prefazioni” superstiti dei libri delle sue Coniche. Si tratta di lettere consegnate ad influenti amici di Apollonio chiedendo loro di rivedere il libro allegato alla lettera. La prefazione al libro I, indirizzata a un certo Eudemo, gli ricorda che Conics fu inizialmente richiesta da un ospite di una casa ad Alessandria, il geometra Naucrate, altrimenti sconosciuto alla storia. Alla fine della visita, Naucrate aveva tra le mani la prima bozza di tutti e otto i libri. Apollonio si riferisce ad essi come "senza una completa purificazione" ( ou diakatharantes in greco, ea non perpurgaremus in latino). Intendeva verificare e correggere i libri, rilasciandoli man mano che venivano completati.

Sentendo questo piano dallo stesso Apollonio in una successiva visita di quest'ultimo a Pergamo, Eudemo aveva insistito affinché Apollonio gli inviasse ogni libro prima della pubblicazione. Le circostanze implicano che in questa fase Apollonio fosse un giovane geometra in cerca della compagnia e della consulenza di professionisti affermati. Pappo afferma che era con gli studenti di Euclide ad Alessandria. Euclide se n'era andato da tempo. Questo soggiorno era stato, forse, lo stadio finale dell'educazione di Apollonio. Eudemo era forse una figura di primo piano nella sua precedente educazione a Pergamo; in ogni caso, vi è motivo di ritenere che fosse o divenne il capo della Biblioteca e Centro Ricerche ( Museo ) di Pergamo. Apollonio prosegue affermando che i primi quattro libri riguardavano lo sviluppo degli elementi mentre gli ultimi quattro si occupavano di argomenti speciali.

C'è una sorta di divario tra le Prefazioni I e II. Apollonio ha mandato suo figlio, anche lui Apollonio, a liberare II. Parla con più sicurezza, suggerendo che Eudemus utilizzi il libro in speciali gruppi di studio, il che implica che Eudemus fosse una figura di primo piano, se non il preside, nel centro di ricerca. La ricerca in tali istituzioni, che seguiva il modello del Liceo di Aristotele ad Atene, grazie alla residenza di Alessandro Magno e dei suoi compagni nel suo ramo settentrionale, faceva parte dello sforzo educativo, a cui la biblioteca e il museo erano annessi. C'era solo una scuola del genere nello stato. Di proprietà del re, era sotto il patrocinio reale, che era tipicamente geloso, entusiasta e partecipativo. I re comprarono, pregarono, presero in prestito e rubarono i preziosi libri quando e dove potevano. I libri erano di altissimo valore, accessibili solo a ricchi mecenati. Raccoglierli era un obbligo reale. Pergamo era nota per la sua industria della pergamena, da cui " pergamena " deriva da "Pergamo".

Apollonio ricorda Filonide di Laodicea , un geometra che presentò a Eudemo a Efeso . Filonide divenne allievo di Eudemo. Ha vissuto principalmente in Siria durante la prima metà del II secolo aC. Se l'incontro indica che Apollonio ora viveva a Efeso è irrisolto. La comunità intellettuale del Mediterraneo era di cultura internazionale. Gli studiosi erano mobili nella ricerca di un impiego. Comunicavano tutti tramite una sorta di servizio postale, pubblico o privato. Le lettere sopravvissute sono abbondanti. Si visitavano, si leggevano i lavori, si davano suggerimenti, raccomandavano studenti e accumulavano una tradizione definita da alcuni "l'età d'oro della matematica".

Manca la prefazione III. Durante l'intervallo Eudemo morì, dice Apollonio in IV, sostenendo ancora una volta che Eudemo era più anziano di Apollonio. Le prefazioni IV-VII sono più formali, omettono informazioni personali e si concentrano sul riassunto dei libri. Sono tutte indirizzate a un misterioso Attalo, scelta fatta “perché”, come scrive Apollonio ad Attalo, “del tuo ardente desiderio di possedere le mie opere”. A quel tempo molte persone a Pergamo avevano un tale desiderio. Presumibilmente, questo Attalo era una persona speciale, ricevendo copie del capolavoro di Apollonio fresche di mano dell'autore. Una forte teoria è che Attalo sia Attalo II Filadelfo , 220-138 a.C., generale e difensore del regno di suo fratello ( Eumene II ), co-reggente sulla malattia di quest'ultimo nel 160 a.C., ed erede al trono e sua vedova nel 158 a.C. . Lui e suo fratello furono grandi mecenati delle arti, espandendo la biblioteca in una magnificenza internazionale. Le date sono in sintonia con quelle di Filonide, mentre il motivo di Apollonio è in sintonia con l'iniziativa libraria di Attalo.

Apollonio inviò ad Attalo Prefazioni V-VII. Nella Prefazione VII descrive il Libro VIII come "un'appendice" ... "che mi premurerò di inviarti il ​​più rapidamente possibile". Non c'è traccia che sia mai stato inviato o mai completato. Potrebbe mancare dalla storia perché non è mai stato nella storia, essendo Apollonio morto prima del suo completamento. Pappo di Alessandria , tuttavia, fornì dei lemmi per esso, quindi almeno qualche edizione deve essere stata in circolazione una volta.

Opere documentate di Apollonio

Apollonio fu un geometra prolifico, realizzando un gran numero di opere. Solo uno sopravvive, Coniche Dei suoi otto libri, solo i primi quattro hanno una credibile pretesa di discendere dai testi originali di Apollonio. I libri 5-7 sono disponibili solo in una traduzione araba di Thābit ibn Qurra commissionata dal Banū Mūsā . L'originale greco è andato perduto. Lo stato del Libro VIII è sconosciuto. Esisteva una prima bozza. Non è noto se la bozza finale sia mai stata prodotta. Una sua "ricostruzione" di Edmond Halley esiste in latino. Non c'è modo di sapere quanto di esso, se del caso, sia verosimile ad Apollonio. Halley ha anche ricostruito il De Rationis Sectione e il De Spatii Sectione . Al di là di queste opere, salvo una manciata di frammenti, termina la documentazione che potrebbe in qualche modo essere interpretata come discendente da Apollonio.

Molte delle opere perdute sono descritte o menzionate dai commentatori. Inoltre sono idee attribuite ad Apollonio da altri autori senza documentazione. Credibili o meno, sono sentito dire. Alcuni autori identificano Apollonio come l'autore di certe idee, di conseguenza prese il nome da lui. Altri tentano di esprimere Apollonio in notazione moderna o fraseologia con gradi indeterminati di fedeltà.

Coniche

Il testo greco della Conica utilizza la disposizione euclidea delle definizioni, delle figure e delle loro parti; cioè, i "dati", seguiti da proposizioni "da dimostrare". I libri I-VII presentano 387 proposizioni. Questo tipo di disposizione può essere visto in qualsiasi libro di testo di geometria moderna sull'argomento tradizionale. Come in ogni corso di matematica, il materiale è molto denso e la sua considerazione, necessariamente lenta. Apollonio aveva un piano per ogni libro, che è in parte descritto nelle Prefazioni . Le intestazioni, o indicazioni al piano, sono un po' carenti, poiché Apollonio era più dipeso dal flusso logico degli argomenti.

Si crea così una nicchia intellettuale per i commentatori dei secoli. Ciascuno deve presentare Apollonio nel modo più lucido e pertinente ai propri tempi. Usano una varietà di metodi: annotazione, materiale prefazione esteso, formati diversi, disegni aggiuntivi, riorganizzazione superficiale mediante l'aggiunta di capite e così via. Ci sono sottili variazioni di interpretazione. L'oratore inglese moderno incontra una mancanza di materiale in inglese a causa della preferenza per il New Latin da studiosi inglesi. Tali giganti intellettuali inglesi come Edmund Halley e Isaac Newton, i discendenti propri della tradizione ellenistica della matematica e dell'astronomia, possono essere letti e interpretati in traduzione solo da popolazioni di lingua inglese che non hanno familiarità con le lingue classiche; cioè, la maggior parte di loro.

Le presentazioni scritte interamente in inglese nativo iniziano alla fine del XIX secolo. Di particolare rilievo è il Trattato sulle sezioni coniche di Heath . Il suo ampio commento di prefazione include elementi come un lessico di termini geometrici apollinei che danno il greco, i significati e l'uso. Commentando che "la massa apparentemente portentosa del trattato ha dissuaso molti dal tentare di farne la conoscenza", promette di aggiungere titoli, modificando superficialmente l'organizzazione e di chiarire il testo con una notazione moderna. Il suo lavoro fa quindi riferimento a due sistemi di organizzazione, il suo e quello di Apollonio, ai quali sono riportate le concordanze tra parentesi.

Il lavoro di Heath è indispensabile. Insegnò per tutto il 20esimo secolo, scomparendo nel 1940, ma nel frattempo si stava sviluppando un altro punto di vista. Il St. John's College (Annapolis/Santa Fe) , che era stato una scuola militare fin dall'epoca coloniale, prima dell'Accademia Navale degli Stati Uniti ad Annapolis, Maryland , alla quale è adiacente, nel 1936 perse il suo accreditamento e fu sull'orlo del fallimento . In preda alla disperazione il consiglio convocato Stringfellow Barr e Scott Buchanan dalla Università di Chicago , dove erano state sviluppando un nuovo programma per l'istruzione teorica dei classici. Cogliendo al volo l'opportunità, nel 1937 istituirono il "nuovo programma" al St. John's, in seguito soprannominato il programma Great Books , un programma fisso che avrebbe insegnato le opere di selezionati contributori chiave alla cultura della civiltà occidentale. A St. John's, Apollonio venne insegnato come se stesso, non come un'aggiunta alla geometria analitica .

Il “tutor” di Apollonio era R. Catesby Taliaferro , un nuovo PhD nel 1937 presso l' Università della Virginia . Ha insegnato fino al 1942 e poi per un anno nel 1948, fornendo le traduzioni in inglese da solo, traducendo l' Almagesto di Tolomeo e le Coniche di Apollonio . Queste traduzioni sono entrate a far parte della serie Great Books of the Western World dell'Encyclopædia Britannica . Sono inclusi solo i libri I-III, con un'appendice per argomenti speciali. A differenza di Heath, Taliaferro non tentò di riorganizzare Apollonio, anche superficialmente, o di riscriverlo. La sua traduzione in inglese moderno segue abbastanza da vicino il greco. Usa in una certa misura la notazione geometrica moderna.

Contemporaneamente al lavoro di Taliaferro, Ivor Thomas, un professore di Oxford dell'era della seconda guerra mondiale, si stava interessando intensamente alla matematica greca. Progettò un compendio di selezioni, che giunse a buon fine durante il suo servizio militare come ufficiale nel Royal Norfolk Regiment . Dopo la guerra trovò sede nella Biblioteca Classica Loeb , dove occupa due volumi, tutti tradotti da Thomas, con il greco su un lato della pagina e l'inglese sull'altro, come è consuetudine per la serie Loeb. Il lavoro di Thomas è servito da manuale per l'età d'oro della matematica greca. Per Apollonio include principalmente solo quelle parti del libro I che definiscono le sezioni.

Heath, Taliaferro e Thomas hanno soddisfatto la richiesta pubblica di Apollonio in traduzione per la maggior parte del XX secolo. Il soggetto va avanti. Traduzioni e studi più recenti incorporano nuove informazioni e punti di vista, oltre a esaminare i vecchi.

Prenota I

Il libro I presenta 58 proposte. Il suo contenuto più saliente sono tutte le definizioni di base riguardanti i coni e le sezioni coniche. Queste definizioni non sono esattamente le stesse di quelle moderne delle stesse parole. Etimologicamente le parole moderne derivano dall'antico, ma l'etimo spesso differisce nel significato dal suo riflesso .

Una superficie conica è generata da un segmento di linea ruotato attorno a un punto di bisettrice in modo tale che i punti finali tracciano cerchi , ciascuno nel proprio piano . Un cono , un ramo della doppia superficie conica, è la superficie con il punto ( apice o vertice ), il cerchio ( base ) e l'asse, una linea che unisce vertice e centro di base.

Una “ sezione ” (latio sectio, greco tomo) è un immaginario “taglio” di un cono da parte di un piano .

• Proposizione I.3: "Se un cono è tagliato da un piano attraverso il vertice, la sezione è un triangolo". Nel caso di un doppio cono, la sezione è di due triangoli tali che gli angoli al vertice siano angoli verticali .
• La Proposizione I.4 afferma che le sezioni di un cono parallele alla base sono cerchi con centri sull'asse.
• La Proposizione I.13 definisce l'ellisse, che è concepita come il taglio di un singolo cono da un piano inclinato al piano della base e che interseca quest'ultimo in una linea perpendicolare al diametro esteso della base al di fuori del cono (non mostrato) . L'angolo del piano inclinato deve essere maggiore di zero, altrimenti la sezione sarebbe un cerchio. Deve essere minore del corrispondente angolo alla base del triangolo assiale, in corrispondenza del quale la figura diventa una parabola.
• La Proposizione I.11 definisce una parabola. Il suo piano è parallelo a un lato della superficie conica del triangolo assiale.
• La Proposizione I.12 definisce un'iperbole. Il suo piano è parallelo all'asse. Ha tagliato entrambi i coni della coppia, acquisendo così due rami distinti (ne viene mostrato solo uno).

I geometri greci erano interessati a disporre figure scelte dal loro inventario in varie applicazioni dell'ingegneria e dell'architettura, come erano soliti fare i grandi inventori, come Archimede. Una richiesta di sezioni coniche esisteva allora ed esiste ora. Lo sviluppo della caratterizzazione matematica aveva spostato la geometria nella direzione dell'algebra geometrica greca , che presenta visivamente tali fondamenti algebrici come l'assegnazione di valori ai segmenti di linea come variabili. Hanno usato un sistema di coordinate intermedio tra una griglia di misurazioni e il sistema di coordinate cartesiane . Le teorie della proporzione e dell'applicazione delle aree hanno permesso lo sviluppo di equazioni visive. (Vedi sotto in Metodi di Apollonio).

La figura animata raffigura il metodo di "applicazione delle aree" per esprimere la relazione matematica che caratterizza una parabola. L'angolo in alto a sinistra del rettangolo che cambia sul lato sinistro e l'angolo in alto a destra sul lato destro è "qualsiasi punto della sezione". L'animazione ce l'ha seguendo la sezione. Il quadrato arancione in alto è "il quadrato della distanza dal punto al diametro; cioè, un quadrato dell'ordinata. In Apollonio, l'orientamento è orizzontale anziché verticale mostrato qui. Qui è il quadrato dell'ascissa . Indipendentemente dall'orientamento, l'equazione è la stessa, i nomi sono cambiati. Il rettangolo blu all'esterno è il rettangolo sull'altra coordinata e la distanza p. In algebra, x ² = py, una forma dell'equazione per una parabola. Se il rettangolo esterno supera py in area, la sezione deve essere un'iperbole; se è minore, un'ellisse.

L'“applicazione delle aree” chiede implicitamente, data un'area e un segmento di linea, se quest'area si applica; cioè è uguale al quadrato sul segmento? In caso affermativo, è stata stabilita un'applicabilità (parabola). Apollonio seguita Euclide nel chiedere se un rettangolo sulla ascissa di qualsiasi punto sulla sezione applica al quadrato della ordinata . Se lo fa, la sua parola-equazione è l'equivalente della quale è una forma moderna dell'equazione per una parabola . Il rettangolo ha i lati e . Fu lui che di conseguenza chiamò la figura, parabola, "applicazione". ${\textstyle y^{2}{=}kx}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$

Il caso di “non applicabilità” è ulteriormente suddiviso in due possibilità. Data una funzione, , tale che, nel caso di applicabilità, , nel caso di non applicabilità, o . Nel primo, è inferiore a una quantità chiamata i puntini di sospensione, "deficit". In quest'ultimo, il superamento di una quantità chiamata iperbole, "superamento". ${\textstyle f(x)}$${\textstyle y^{2}{=}g(x)}$${\textstyle y^{2}>g(x)}$${\textstyle y^{2}<g(x)}$${\textstyle g(x)}$${\textstyle y^{2}}$${\textstyle g(x)}$

L'applicabilità potrebbe essere ottenuta aggiungendo il deficit, , o sottraendo l'eccesso, . La cifra che compensava un deficit era denominata ellisse; per eccesso, un'iperbole. I termini dell'equazione moderna dipendono dalla traslazione e dalla rotazione della figura dall'origine, ma l'equazione generale per un'ellisse, ${\textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}$${\textstyle g(x)-s}$

Ax ² + Per ² = C

può essere inserito nel modulo

${\displaystyle y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

dove C/B è la d, mentre un'equazione per l'iperbole,

Ax ² - Per ² = C

diventa

${\displaystyle y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

dove C/B è la s.

Libro II

Il libro II contiene 53 proposizioni. Apollonio dice che intendeva coprire "le proprietà che hanno a che fare con i diametri e gli assi e anche gli asintoti e altre cose ... per limiti di possibilità". La sua definizione di "diametro" è diversa da quella tradizionale, poiché ritiene necessario rinviare il destinatario della lettera al suo lavoro per una definizione. Gli elementi citati sono quelli che specificano la forma e la generazione delle figure. Le tangenti sono trattate alla fine del libro.

Libro III

Il libro III contiene 56 proposizioni. Apollonio rivendica la scoperta originale per teoremi "di utilizzo per la costruzione di loci solida ... il tre righe e quattro righe locus ...." Il luogo di una conica è la sezione. Il problema del luogo delle tre rette (come affermato dall'appendice di Taliafero al Libro III) trova "il luogo dei punti le cui distanze da tre rette fisse date ... sono tali che il quadrato di una delle distanze è sempre in rapporto costante con il rettangolo contenuto dalle altre due distanze." Questa è la prova dell'applicazione delle aree risultanti dalla parabola. Il problema delle quattro rette risulta nell'ellisse e nell'iperbole. La geometria analitica deriva gli stessi luoghi da criteri più semplici supportati dall'algebra, piuttosto che dalla geometria, per la quale Cartesio era molto elogiato. Sostituisce Apollonio nei suoi metodi.

Libro IV

Il libro IV contiene 57 proposizioni. Il primo inviato ad Attalo, più che ad Eudemo, rappresenta così il suo pensiero geometrico più maturo. L'argomento è piuttosto specialistico: "il maggior numero di punti in cui le sezioni di un cono possono incontrarsi, o incontrare una circonferenza di un cerchio, ...." Tuttavia, ne parla con entusiasmo, etichettandoli "di notevole utilità" nella risoluzione dei problemi (Prefazione 4).

Prenota V

Il libro V, conosciuto solo attraverso la traduzione dall'arabo, contiene 77 proposizioni, la maggior parte di qualsiasi libro. Coprono l'ellisse (50 proposizioni), la parabola (22) e l'iperbole (28). Questi non sono esplicitamente il tema, che nelle Prefazioni I e V Apollonio indica come linee massime e minime. Questi termini non sono spiegati. Contrariamente al libro I, il libro V non contiene definizioni né spiegazioni.

L'ambiguità è servita da calamita agli esegeti di Apollonio, che devono interpretare senza una sicura conoscenza del significato dei termini maggiori del libro. Fino a poco tempo fa prevaleva il punto di vista di Heath: le linee devono essere trattate come normali alle sezioni. Una normale in questo caso è la perpendicolare a una curva in un punto tangente a volte chiamato piede. Se una sezione è tracciata secondo il sistema di coordinate di Apollonio (vedi sotto in Metodi di Apollonio), con il diametro (tradotto da Heath come asse) sull'asse x e il vertice all'origine a sinistra, la fraseologia del proposizioni indica che i minimi/massimi si trovano tra la sezione e l'asse. Heath è guidato nella sua visione dalla considerazione di un punto fisso p sulla sezione che serve sia come punto tangente che come estremità della linea. La distanza minima tra p e un punto g sull'asse deve quindi essere la normale da p.

Nella matematica moderna, le normali alle curve sono note per essere la posizione del centro di curvatura di quella piccola parte della curva situata intorno al piede. La distanza dal piede al centro è il raggio di curvatura . Quest'ultimo è il raggio di un cerchio, ma per curve diverse da quelle circolari, l' arco piccolo può essere approssimato da un arco circolare. La curvatura delle curve non circolari; ad esempio, le sezioni coniche, devono cambiare sulla sezione. Una mappa del centro di curvatura; cioè, il suo luogo, quando il piede si muove sulla sezione, è chiamato l' evoluta della sezione. Tale figura, il bordo delle posizioni successive di una linea, è oggi chiamata busta . Heath credeva che nel Libro V stiamo vedendo Apollonio stabilire il fondamento logico di una teoria di normali, evolute e inviluppi.

Quella di Heath è stata accettata come l'interpretazione autorevole del libro V per tutto il XX secolo, ma il cambiamento del secolo ha portato con sé un cambiamento di prospettiva. Nel 2001, gli studiosi di Apollonio Fried & Unguru, concedendo tutto il rispetto per gli altri capitoli di Heath, si opposero alla storicità dell'analisi di Heath del Libro V, affermando che "rielabora l'originale per renderlo più congeniale a un matematico moderno ... questo è il tipo di cosa che rende l'opera di Heath di dubbio valore per lo storico, rivelando più la mente di Heath che quella di Apollonio.” Alcuni dei suoi argomenti sono in sintesi come segue. Non si parla di massimi/minimi di per sé normali né nelle prefazioni né nei libri veri e propri. Dalla selezione di Heath di 50 proposizioni che si dice coprano le normali, solo 7, Libro V: 27-33, affermano o implicano che le linee massimo/minimo siano perpendicolari alle tangenti. Questi 7 Fritti li classifica come isolati, estranei alle proposizioni principali del libro. Non implicano in alcun modo che i massimi/minimi in generale siano normali. Nella sua ampia indagine sulle altre 43 proposizioni, Fried dimostra che molte non possono esserlo.

Fried e Unguru contrastano ritraendo Apollonio come una continuazione del passato piuttosto che un presagio del futuro. Il primo è uno studio filologico completo di tutti i riferimenti alle linee minime e massime, che rivela una fraseologia standard. Ci sono tre gruppi di 20-25 proposizioni ciascuno. Il primo gruppo contiene la frase "da un punto sull'asse alla sezione", che è esattamente l'opposto di un ipotetico "da un punto sull'asse all'asse". Il primo non deve essere normale a nulla, anche se potrebbe esserlo. Dato un punto fisso sull'asse, di tutte le linee che lo collegano a tutti i punti della sezione, una sarà la più lunga (massimo) e l'altra più corta (minimo). Altre frasi sono "in una sezione", "disegnato da una sezione", "tagliato tra la sezione e il suo asse", tagliato dall'asse", tutte riferite alla stessa immagine.

Dal punto di vista di Fried e Unguru, l'argomento del libro V è esattamente quello che dice Apollonio, linee massime e minime. Queste non sono parole in codice per concetti futuri, ma si riferiscono a concetti antichi allora in uso. Gli autori citano Euclide, Elementi, Libro III, che si occupa di cerchi, e distanze massime e minime dai punti interni alla circonferenza. Senza ammettere alcuna generalità specifica, usano termini come "mi piace" o "l'analogo di". Sono noti per aver innovato il termine "simile a Neusis". Una costruzione neusis era un metodo per adattare un dato segmento tra due curve date. Dato un punto P e un righello con il segmento segnato su di esso. si ruota il righello attorno a P tagliando le due curve fino a che il segmento non si incastra tra loro. Nel Libro V, P è il punto sull'asse. Ruotando un righello attorno ad esso, si scoprono le distanze dalla sezione, dalle quali si possono distinguere il minimo e il massimo. La tecnica non è applicata alla situazione, quindi non è neusis. Gli autori usano neusis-like, vedendo una somiglianza archetipica con il metodo antico.

Prenota VI

Il libro VI, conosciuto solo attraverso la traduzione dall'arabo, contiene 33 proposizioni, il minimo di qualsiasi libro. Presenta inoltre ampie lacune , o lacune nel testo, dovute a danneggiamenti o corruzioni nei testi precedenti.

L'argomento è relativamente chiaro e non controverso. La prefazione 1 afferma che si tratta di "sezioni uguali e simili di coni". Apollonio estende i concetti di congruenza e somiglianza presentati da Euclide per figure più elementari, come triangoli, quadrilateri, a sezioni coniche. La prefazione 6 menziona "sezioni e segmenti" che sono "uguali e disuguali" e "simili e dissimili" e aggiunge alcune informazioni costruttive.

Il libro VI presenta un ritorno alle definizioni di base nella parte anteriore del libro. L'“ uguaglianza ” è determinata da un'applicazione di aree. Se una cifra; cioè una sezione o un segmento, è “applicato” ad un altro ( si applicari possit altera super alteram di Halley ), sono “uguali” ( aequales di Halley ) se coincidono e nessuna linea dell'uno interseca alcuna linea dell'altro. Questo è ovviamente uno standard di congruenza che segue Euclide, Libro I, Nozioni comuni, 4: "e le cose che coincidono ( epharmazanta ) tra loro sono uguali ( isa )." Coincidenza e uguaglianza si sovrappongono, ma non sono la stessa cosa: l'applicazione delle aree utilizzate per definire le sezioni dipende dall'uguaglianza quantitativa delle aree ma possono appartenere a figure diverse.

Tra istanze uguali (homos), uguali tra loro, e quelle diverse , o disuguali , ci sono figure che sono “uguali” (hom-oios), o simili . Non sono né del tutto uguali né diversi, ma condividono aspetti uguali e non condividono aspetti diversi. Intuitivamente i geometri avevano in mente la scala ; ad esempio, una mappa è simile a una regione topografica. Quindi le figure potrebbero avere versioni più grandi o più piccole di se stesse.

Gli aspetti che sono gli stessi in figure simili dipendono dalla figura. Il libro 6 degli Elementi di Euclide presenta triangoli simili a quelli che hanno gli stessi angoli corrispondenti. Un triangolo può quindi avere miniature piccole a piacere, o versioni giganti, ed essere ancora "lo stesso" triangolo dell'originale.

Nelle definizioni di Apollonio all'inizio del libro VI, coni retti simili hanno triangoli assiali simili. Sezioni e segmenti di sezioni simili sono prima di tutto in coni simili. Inoltre, per ogni ascissa di uno deve esistere un'ascissa nell'altro alla scala desiderata. Infine, l'ascissa e l'ordinata dell'una devono corrispondere a coordinate dello stesso rapporto tra ordinata e ascissa dell'altra. L'effetto complessivo è come se la sezione o il segmento venissero spostati su e giù lungo il cono per ottenere una scala diversa.

Libro VII

Il libro VII, anch'esso una traduzione dall'arabo, contiene 51 proposizioni. Questi sono gli ultimi che Heath considera nella sua edizione del 1896. Nella Prefazione I, Apollonio non li menziona, sottintendendo che, al momento della prima stesura, potrebbero non essere esistiti in una forma sufficientemente coerente da descrivere. Apollonio usa un linguaggio oscuro, che sono "peri dioristikon theorematon", che Halley tradusse come "de theorematis ad determinazioneem pertinentibus" e Heath come "teoremi che implicano determinazioni di limiti". Questo è il linguaggio della definizione, ma non sono disponibili definizioni. Se il riferimento possa essere un tipo specifico di definizione è una considerazione ma ad oggi non è stato proposto nulla di credibile. Il tema del libro VII, completato verso la fine della vita e della carriera di Apollonio, è indicato nella Prefazione VII come i diametri e "le figure descritte su di essi", che devono includere i diametri coniugati , poiché si basa molto su di essi. In che modo potrebbe applicarsi il termine "limiti" o "determinazioni" non è menzionato.

I diametri ei loro coniugati sono definiti nel Libro I (Definizioni 4-6). Non tutti i diametri hanno un coniugato. La topografia di un diametro (diametros greco) richiede una figura curva regolare . Le aree di forma irregolare, affrontate in tempi moderni, non sono nell'antico piano di gioco. Apollonio ha in mente, ovviamente, le sezioni coniche, che descrive con un linguaggio spesso contorto: “una curva nello stesso piano” è un cerchio, un'ellisse o una parabola, mentre “due curve nello stesso piano” è un'iperbole. Una corda è una retta i cui due estremi sono sulla figura; cioè, taglia la figura in due punti. Se alla figura viene imposto un reticolo di corde parallele, allora il diametro è definito come la linea che biseca tutte le corde, raggiungendo la curva stessa in un punto detto vertice. Non è richiesta una cifra chiusa; ad esempio, una parabola ha un diametro.

Una parabola ha simmetria in una dimensione. Se lo immagini piegato sul suo unico diametro, le due metà sono congruenti o si incastrano l'una sull'altra. Lo stesso si può dire di un ramo di un'iperbole. I diametri coniugati (dal greco suzugeis diametroi, dove suzugeis è “giocato insieme”), invece, sono simmetrici in due dimensioni. Le figure a cui si applicano richiedono anche un centro areale (kentron greco), oggi chiamato baricentro , che funge da centro di simmetria in due direzioni. Queste figure sono il cerchio, l'ellisse e l'iperbole a due rami. C'è un solo baricentro, che non deve essere confuso con i fuochi . Un diametro è una corda passante per il baricentro, che la biseca sempre.

Per il cerchio e l'ellisse si sovrapponga alla figura un reticolo di corde parallele in modo che il più lungo sia un diametro e gli altri siano successivamente più corti finché l'ultimo non sia una corda, ma un punto di tangenza. La tangente deve essere parallela al diametro. Un diametro coniugato biseca le corde, essendo posto tra il baricentro e il punto di tangenza. Inoltre, entrambi i diametri sono coniugati tra loro, essendo chiamati coppia coniugata. È ovvio che ogni coppia coniugata di un cerchio è perpendicolare l'una all'altra, ma in un'ellisse lo sono solo gli assi maggiore e minore, l'allungamento distruggendo la perpendicolarità in tutti gli altri casi.

I coniugati sono definiti per i due rami di un'iperbole risultanti dal taglio di un doppio cono da un solo piano. Sono chiamati rami coniugati. Hanno lo stesso diametro. Il suo baricentro biseca il segmento tra i vertici. C'è spazio per un'altra linea di diametro: lascia che una griglia di linee parallele al diametro tagli entrambi i rami dell'iperbole. Queste linee sono simili ad accordi tranne per il fatto che non terminano sulla stessa curva continua. Un diametro coniugato può essere disegnato dal baricentro per dividere in due le linee a corda.

Questi concetti principalmente dal Libro I ci fanno partire dalle 51 proposizioni del Libro VII definendo in dettaglio le relazioni tra sezioni, diametri e diametri coniugati. Come per alcuni altri argomenti specializzati di Apollonio, resta da vedere la loro utilità oggi rispetto alla Geometria Analitica, sebbene affermi nella Prefazione VII che sono entrambi utili e innovativi; cioè, si prende il merito per loro.

Opere perdute e ricostruite descritte da Pappo

Pappo cita altri trattati di Apollonio:

1. Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione ("Taglio di un rapporto")
2. Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione ("Taglio di un'area")
3. Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata ("Sezione determinata")
4. Ἐπαφαί, De Tactionibus ("Tangenze")
5. Νεύσεις, De Inclinationibus ("Inclinazioni")
6. Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis ("Plane Loci").

Ciascuno di questi era diviso in due libri e, con i Dati , i Porismi e i Loci di superficie di Euclide e le Coniche di Apollonio, furono, secondo Pappo, inclusi nel corpo dell'analisi antica. Seguono le descrizioni delle sei opere sopra menzionate.

Sezione De rationis

De Rationis Sectione cercava di risolvere un semplice problema: date due rette e un punto in ciascuna, tracciare per un terzo punto dato una retta che tagliasse le due rette fisse in modo che le parti intercettate tra i punti dati in esse e i punti di intersezione con questa terza riga può avere un dato rapporto.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione ha discusso un problema simile richiedendo che il rettangolo contenuto dalle due intercettazioni sia uguale a un dato rettangolo.

Alla fine del XVII secolo, Edward Bernard scoprì una versione del De Rationis Sectione nella Biblioteca Bodleiana . Anche se iniziò una traduzione, fu Halley che la terminò e la incluse in un volume del 1706 con il suo restauro del De Spatii Sectione .

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata tratta i problemi in un modo che può essere chiamato una geometria analitica di una dimensione; con la questione di trovare punti su una linea che fossero in rapporto con le altre. I problemi specifici sono: Dati due, tre o quattro punti su una retta, trovare un altro punto su di essa tale che le sue distanze dai punti dati soddisfino la condizione che il quadrato su uno o il rettangolo contenuto da due abbia un dato rapporto o ( 1) al quadrato sulla restante o al rettangolo contenuto dalle restanti due o (2) al rettangolo contenuto dalla restante ed un'altra retta data. Diversi hanno tentato di restaurare il testo per scoprire la soluzione di Apollonio, tra questi Snellius ( Willebrord Snell , Leiden , 1698); Alexander Anderson di Aberdeen , nel supplemento al suo Apollonio Redivivus (Parigi, 1612); e Robert Simson nella sua Opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776), di gran lunga il miglior tentativo.

De Tactionibus

De Tactionibus abbracciava il seguente problema generale: date tre cose (punti, rette o cerchi) in posizione, descrivere un cerchio che passa per i punti dati e tocca le rette o cerchi dati. Il caso più difficile e storicamente interessante si presenta quando le tre cose date sono dei cerchi. Nel XVI secolo, Vieta presentò questo problema (a volte noto come problema apollineo) ad Adrianus Romanus , che lo risolse con un'iperbole . Vieta propose allora una soluzione più semplice, portandolo infine a restaurare l'intero trattato di Apollonio nella piccola opera Apollonio Gallo (Parigi, 1600). La storia del problema è esplorata in dettagli affascinanti nella prefazione al breve Apollonii Pergaei quae supersunt di JW Camerer , ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, ecc. (Gothae, 1795, 8vo).

De Inclinationibus

Scopo del De Inclinationibus era dimostrare come una retta di una data lunghezza, tendente verso un dato punto, potesse inserirsi tra due rette date (retta o circolare). Sebbene Marin Getaldić e Hugo d'Omerique ( Analisi geometrica , Cadice, 1698) abbiano tentato dei restauri, il migliore è di Samuel Horsley (1770).

De Locis Planis

De Locis Planis è una raccolta di proposizioni relative a loci che sono rette o cerchi. Poiché Pappo fornisce dettagli alquanto completi delle sue proposizioni, questo testo ha visto anche sforzi per restaurarlo, non solo da P. Fermat ( Oeuvres , i., 1891, pp. 3-51) e F. Schooten (Leida, 1656) ma anche, con maggior successo, da R. Simson (Glasgow, 1749).

Opere perdute menzionate da altri scrittori antichi

Gli scrittori antichi fanno riferimento ad altre opere di Apollonio che non sono più esistenti:

1. Περὶ τοῦ πυρίου, On the Burning-Glass , un trattato che probabilmente esplora le proprietà focali della parabola
2. Περὶ τοῦ κοχλίου, Sull'elica cilindrica (menzionato da Proclo)
3. Un confronto tra il dodecaedro e l'icosaedro inscritti nella stessa sfera
4. Ἡ καθόλου πραγματεία, un'opera sui principi generali della matematica che forse includeva le critiche e i suggerimenti di Apollonio per il miglioramento degli Elementi di Euclide
5. Ὠκυτόκιον ( "Portare-to-nascita rapida"), in cui, secondo Eutocius, Apollonio ha dimostrato come trovare i limiti più stretti per il valore di π di quelli di Archimedes , che calcola 3+1 ⁄ 7 come limite superiore e 3+10 ⁄ 71 come limite inferiore
6. un'opera aritmetica (vedi Pappo ) su un sistema sia per esprimere grandi numeri in un linguaggio più quotidiano di quello di The Sand Reckoner di Archimede sia per moltiplicare questi grandi numeri
7. una grande estensione della teoria degli irrazionali esposti a Euclide, Libro x., da binomiale per multinomiale e dalle ordinato a non ordinate irrazionali (vedi estratti comm Pappus'. su Eucl. x., conservato in arabo e pubblicato da Woepke 1856) .

Prime edizioni stampate

Pagine dalla traduzione araba del IX secolo delle Coniche

1654 edizione della Conica di Apollonio a cura di Francesco Maurolico

Le prime edizioni a stampa iniziarono per la maggior parte nel XVI secolo. A quel tempo, ci si aspettava che i libri accademici fossero in latino, il nuovo latino di oggi . Poiché quasi nessun manoscritto era in latino, i curatori delle prime opere a stampa tradussero dal greco o dall'arabo in latino. Il greco e il latino erano in genere giustapposti, ma solo il greco è originale, oppure è stato ripristinato dall'editore a ciò che pensava fosse originale. Gli apparati critici erano in latino. Gli antichi commentari, tuttavia, erano in greco antico o medievale. Solo nel XVIII e XIX secolo iniziarono ad apparire le lingue moderne. Di seguito è riportato un elenco rappresentativo delle prime edizioni a stampa. Gli originali di queste stampe sono rari e costosi. Per le edizioni moderne in lingue moderne vedere i riferimenti.

1. Pergeo, Apollonio (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri duo ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (in greco antico e latino). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii.Una presentazione dei primi quattro libri di Coniche in greco di Fredericus Commandinus con la sua traduzione in latino e i commenti di Pappo di Alessandria , Eutocio di Ascalone e Sereno di Antinouplis .
2. Apollonio; Carriola, I (1675). Apollonii conica: methodo nova illustrata, & succinctè demonstrata (in latino). Londini: Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, in vico Little Britain.Traduzione di Barrow dal greco antico al neolatino dei primi quattro libri della Conica . La copia qui collegata, situata nella Boston Public Library , un tempo apparteneva a John Adams .
3. Apollonio; Pappo ; Halley, E. (1706). Apollonii Pergei de sectione rationis libri duo: Ex Arabico ms. versi latini. Accedunt ejusdem de sectione spatii libri duo restituti (in latino). ossoni.Una presentazione di due opere perdute ma ricostruite di Apollonio. De Sectione Rationis proviene da un manoscritto inedito in arabo nella Bodleian Library di Oxford originariamente tradotto in parte da Edward Bernard ma interrotto dalla sua morte. Fu dato a Edmond Halley , professore, astronomo, matematico ed esploratore, dal quale in seguito prese il nome la cometa di Halley . Incapace di decifrare il testo corrotto, lo abbandonò. Successivamente, David Gregory (matematico) restaurò l'arabo per Henry Aldrich , che lo restituì ad Halley. Imparando l'arabo, Halley creò il De Sectione Rationis e come compenso aggiuntivo per il lettore creò una traduzione neolatina di una versione del De Sectione Spatii ricostruita dal Commento di Pappo su di esso. Le due opere neolatine e il commento greco antico di Pappo furono riunite in un unico volume del 1706. L'autore del manoscritto arabo non è noto. Basandosi su una dichiarazione che fu scritta sotto gli "auspici" di Al-Ma'mun , latino Almamon, astronomo e califfo di Baghdad nell'825, Halley la data all'820 nella sua "Praefatio ad Lectorem".
4. Apollonio; Alessandrino Pappo ; Halley, Edmond ; Eutocio ; Sereno (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri duo (PDF) (in latino e greco antico). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano.Incoraggiato dal successo della sua traduzione del testo arabo emendato di David Gregory de Sectione rationis , pubblicato nel 1706, Halley continuò a restaurare e tradurre in latino l'intero elementa conica di Apollonio . I libri I-IV non erano mai andati perduti. Appaiono con il greco in una colonna e il latino di Halley in una colonna parallela. I libri V-VI provenivano da una fortunata scoperta di una traduzione precedentemente non apprezzata dal greco all'arabo che era stata acquistata dallo studioso antiquario Jacobus Golius ad Aleppo nel 1626. Alla sua morte nel 1696 passò per una catena di acquisti e lasciti al Bodleian Biblioteca (originariamente come MS Marsh 607, datato 1070). La traduzione, molto precedente, proviene dal ramo della scuola di Almamon intitolato i Banū Mūsā , “figli di Musa”, un gruppo di tre fratelli, vissuti nel IX secolo. La traduzione è stata eseguita da scrittori che lavorano per loro. Nell'opera di Halley viene data solo la traduzione latina dei libri V-VII. Questa è la sua prima pubblicazione stampata. Il libro VIII andò perduto prima che gli studiosi di Almamon potessero intervenire per preservarlo. L'intruglio di Halley, basato sulle aspettative sviluppate nel Libro VII, e sui lemmi di Pappo, è dato in latino. Il commento di Eutocio, i lemmi di Pappo e due trattati correlati di Sereno sono inclusi come guida all'interpretazione delle Coniche .

Idee attribuite ad Apollonio da altri scrittori

Il contributo di Apollonio all'astronomia

A lui è attribuita l'equivalenza di due descrizioni dei moti dei pianeti, una che utilizza gli eccentrici e l'altra deferenti ed epicicli . Tolomeo descrive questa equivalenza come teorema di Apollonio nel Almagesto XII.1.

Metodi di Apollonio

Secondo Heath, "I metodi di Apollonio" non erano suoi e non erano personali. Qualunque sia l'influenza che ebbe sui teorici successivi fu quella della geometria, non della sua stessa innovazione della tecnica. Heath dice,

In via preliminare alla considerazione in dettaglio dei metodi impiegati nelle Coniche, si può affermare in generale che essi seguono stabilmente i principi accettati di indagine geometrica che hanno trovato la loro espressione definitiva negli Elementi di Euclide.

Per quanto riguarda i moderni che parlano di geometri dell'età dell'oro, il termine "metodo" indica specificamente il modo visivo, ricostruttivo in cui il geometra produce inconsapevolmente lo stesso risultato di un metodo algebrico utilizzato oggi. Per fare un semplice esempio, l'algebra trova l'area di un quadrato elevandone il lato. Il metodo geometrico per ottenere lo stesso risultato consiste nel costruire un quadrato visivo. I metodi geometrici nell'età dell'oro potevano produrre la maggior parte dei risultati dell'algebra elementare.

Algebra geometrica

Forma visiva del teorema di Pitagora come lo vedevano gli antichi greci. L'area del quadrato blu è la somma delle aree degli altri due quadrati.

Heath continua ad usare il termine algebra geometrica per i metodi dell'intera età dell'oro. Il termine è "non impropriamente" chiamato così, dice. Oggi il termine è stato resuscitato per l'uso in altri sensi (vedi sotto algebra geometrica ). Heath lo usava come era stato definito da Henry Burchard Fine nel 1890 o prima. Fine lo applica a La Géométrie di René Descartes , la prima opera in piena regola della geometria analitica . Stabilendo come precondizione che "due algebre sono formalmente identiche le cui operazioni fondamentali sono formalmente le stesse", Fine dice che il lavoro di Cartesio "non è ... semplice algebra numerica, ma ciò che in mancanza di un nome migliore può essere chiamato algebra di segmenti di linea. Il suo simbolismo è lo stesso dell'algebra numerica; ....”

Ad esempio, in Apollonio un segmento di linea AB (la linea tra il punto A e il punto B) è anche la lunghezza numerica del segmento. Può avere qualsiasi lunghezza. AB diventa quindi la stessa di una variabile algebrica , come x (l'incognita), alla quale può essere assegnato un qualsiasi valore; ad es. x =3.

Le variabili sono definite in Apollonio da affermazioni di parole come "sia AB la distanza da qualsiasi punto della sezione al diametro", una pratica che continua oggi in algebra. Ogni studente di algebra di base deve imparare a convertire i "problemi di parole" in variabili ed equazioni algebriche, alle quali si applicano le regole dell'algebra nella risoluzione di x . Apollonio non aveva tali regole. Le sue soluzioni sono geometriche.

I rapporti non facilmente suscettibili di soluzioni pittoriche erano al di fuori della sua portata; tuttavia, il suo repertorio di soluzioni pittoriche proveniva da un insieme di soluzioni geometriche complesse generalmente non conosciute (o richieste) oggi. Un'eccezione ben nota è l'indispensabile Teorema di Pitagora , anche ora rappresentato da un triangolo rettangolo con quadrati sui lati che illustra un'espressione come a ² + b ² = c ² . I geometri greci chiamavano quei termini "il quadrato su AB", ecc. Allo stesso modo, l'area di un rettangolo formato da AB e CD era "il rettangolo su AB e CD".

Questi concetti diedero ai geometri greci l'accesso algebrico alle funzioni lineari e alle funzioni quadratiche , che quest'ultime sono le sezioni coniche. Contengono potenze rispettivamente di 1 o 2. Apollonio non aveva molto uso dei cubi (presenti nella geometria solida ), anche se un cono è un solido. Il suo interesse era per le sezioni coniche, che sono figure piane. Le potenze di 4 e superiori erano al di là della visualizzazione, richiedendo un grado di astrazione non disponibile in geometria, ma a portata di mano in algebra.

Il sistema di coordinate di Apollonio

Sistema di coordinate cartesiane, standard in geometria analitica

Tutte le misure ordinarie di lunghezza in unità pubbliche, come pollici, utilizzando dispositivi pubblici standard, come un righello, implicano il riconoscimento pubblico di una griglia cartesiana ; ovvero, una superficie divisa in quadrati unitari, come un pollice quadrato, e uno spazio diviso in cubi unitari, come un pollice cubico. Le antiche unità di misura greche avevano fornito una tale griglia ai matematici greci fin dall'età del bronzo. Già prima di Apollonio, Menecmo e Archimede avevano iniziato a collocare le loro figure su una finestra implicita della griglia comune facendo riferimento a distanze concepite per essere misurate da una linea verticale di sinistra che indicava una misura bassa e una linea orizzontale inferiore che indicava una misura bassa, le direzioni essendo rettilinee o perpendicolari tra loro. Questi bordi della finestra diventano, nel sistema di coordinate cartesiane , gli assi. Uno specifica le distanze rettilinee di qualsiasi punto dagli assi come coordinate . Gli antichi greci non avevano questa convenzione. Si riferivano semplicemente alle distanze.

Apollonio ha una finestra standard in cui colloca le sue figure. La misurazione verticale proviene da una linea orizzontale che chiama "diametro". La parola è la stessa in greco come in inglese, ma il greco è un po' più ampio nella sua comprensione. Se la figura della conica è tagliata da un reticolo di rette parallele, il diametro biseca tutti i segmenti di linea compresi tra i rami della figura. Deve passare per il vertice (koruphe, "corona"). Un diametro comprende quindi figure aperte come una parabola e chiuse, come un cerchio. Non è specificato che il diametro debba essere perpendicolare alle linee parallele, ma Apollonio usa solo quelle rettilinee.

La distanza rettilinea da un punto della sezione al diametro è chiamata tetagmenos in greco, etimologicamente semplicemente "estesa". Poiché è sempre esteso solo "giù" (kata-) o "su" (ana-), i traduttori lo interpretano come ordinata . In tal caso il diametro diventa l'asse x e il vertice l'origine. L'asse y diventa quindi tangente alla curva in corrispondenza del vertice. L' ascissa viene quindi definita come il segmento del diametro compreso tra l'ordinata e il vertice.

Utilizzando la sua versione di un sistema di coordinate, Apollonio riesce a sviluppare in forma pittorica gli equivalenti geometrici delle equazioni per le sezioni coniche, il che solleva la questione se il suo sistema di coordinate possa essere considerato cartesiano. Ci sono alcune differenze. Il sistema cartesiano è da considerarsi universale, coprendo tutte le cifre in tutto lo spazio applicato prima di ogni calcolo. Ha quattro quadranti divisi dai due assi incrociati. Tre dei quadranti includono coordinate negative che significano direzioni opposte agli assi di riferimento dello zero.

Apollonio non ha numeri negativi, non ha esplicitamente un numero per zero e non sviluppa il sistema di coordinate indipendentemente dalle sezioni coniche. Funziona essenzialmente solo nel quadrante 1, tutte coordinate positive. Carl Boyer, uno storico moderno della matematica, afferma quindi:

Tuttavia, l'algebra geometrica greca non prevedeva grandezze negative; inoltre, il sistema di coordinate veniva in ogni caso sovrapposto a posteriori ad una data curva per studiarne le proprietà... Apollonio, il più grande geometra dell'antichità, non riuscì a sviluppare la geometria analitica...

Nessuno nega, tuttavia, che Apollonio occupi una sorta di nicchia intermedia tra il sistema a griglia della misurazione convenzionale e il sistema di coordinate cartesiane completamente sviluppato della geometria analitica. Leggendo Apollonio, bisogna stare attenti a non assumere significati moderni per i suoi termini.

La teoria delle proporzioni

Apollonio usa la "Teoria delle Proporzioni" come espressa negli Elementi di Euclide , Libri 5 e 6. Ideata da Eudosso di Cnido, la teoria è intermedia tra i metodi puramente grafici e la moderna teoria dei numeri. Manca un sistema di numeri decimali standard, così come un trattamento standard delle frazioni. Le proposizioni, tuttavia, esprimono in parole regole per manipolare le frazioni in aritmetica. Heath propone che stiano al posto della moltiplicazione e della divisione.

Con il termine "magnitudine" Eudosso sperava di andare oltre i numeri a un senso generale di dimensione, un significato che conserva ancora. Per quanto riguarda le figure di Euclide, molto spesso significa numeri, che era l'approccio pitagorico. Pitagora credeva che l'universo potesse essere caratterizzato da quantità, credenza che è diventata l'attuale dogma scientifico. Il libro V di Euclide inizia insistendo sul fatto che una grandezza (megethos, “dimensione”) deve essere divisibile equamente in unità (meros, “parte”). Una grandezza è quindi un multiplo di unità. Non devono essere unità di misura standard, come metri o piedi. Un'unità può essere qualsiasi segmento di linea designato.

Segue forse la definizione fondamentale più utile mai escogitata nella scienza: il rapporto ( logos greco , che significa approssimativamente "spiegazione") è un'affermazione di grandezza relativa. Date due grandezze, diciamo dei segmenti AB e CD. il rapporto tra AB e CD, dove CD è considerato unità, è il numero di CD in AB; ad esempio, 3 parti di 4 o 60 parti per milione, dove ppm utilizza ancora la terminologia "parti". Il rapporto è alla base della moderna frazione, che significa anche ancora "parte", o "frammento", dalla stessa radice latina di frattura. Il rapporto è la base della predizione matematica nella struttura logica chiamata “proporzione” (in greco analogos). La proporzione afferma che se due segmenti, AB e CD, hanno lo stesso rapporto di altri due, EF e GH, allora AB e CD sono proporzionali a EF e GH, o, come si direbbe in Euclide, AB sta a CD come EF è quello di GH.

L'algebra riduce questo concetto generale all'espressione AB/CD = EF/GH. Dati tre termini qualsiasi, si può calcolare il quarto come un'incognita. Riordinando l'equazione di cui sopra, si ottiene AB = (CD/GH)•EF, in cui, espresso come y = kx, il CD/GH è noto come "costante di proporzionalità". I greci avevano poche difficoltà a prendere multipli (pollaplastiein greco), probabilmente per addizioni successive.

Apollonio usa rapporti quasi esclusivamente di segmenti di linea e aree, che sono designati da quadrati e rettangoli. I traduttori si sono impegnati a utilizzare la notazione dei due punti introdotta da Leibniz in Acta Eruditorum , 1684. Ecco un esempio da Conics , Libro I, sulla Proposizione 11:

Traduzione letterale del greco: si escogita che il (quadrato) di BC stia al (rettangolo) di BAC come FH sta a FA

La traduzione di Taliaferro: “Si escogiti che sq. AC : rect. BA.AC :: FH : FA”

Equivalente algebrico: BC ² /BA•BC = FH/FA

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

link esterno

Molti dei siti popolari nella storia della matematica collegati di seguito fanno riferimento o analizzano concetti attribuiti ad Apollonio in notazioni e concetti moderni. Poiché gran parte di Apollonio è soggetto a interpretazione e di per sé non usa vocaboli o concetti moderni, le analisi seguenti potrebbero non essere ottimali o accurate. Rappresentano le teorie storiche dei loro autori.

• I redattori dell'Enciclopedia Britannica (2006). "Apollonio di Perga" . Enciclopedia Britannica.
• Kunkel, Paul (2016). "Coniche di Apollonio" . Matematica di Whistler Alley . whistleralley.com . Estratto il 15 febbraio 2017 .
• O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Apollonius of Perga" , MacTutor Archivio di Storia della Matematica , Università di St Andrews
• "Matematica e Astronomia Matematica" . Brown University.
• "Apollonii Pergaei Conicorum" . Collezione digitale della biblioteca di Linda Hall.
• David Dennis; Susan Addington (2009). "Apollonio e sezioni coniche" (PDF) . Intenzioni matematiche . quadrivio.info.
• Stoudt, Gary S. "Puoi davvero ricavare formule coniche da un cono?" . Associazione matematica d'America . Estratto il 28 marzo 2017 .
• McKinney, Colin Bryan Powell (2010). Diametri coniugati: Apollonio di Perga ed Eutocio di Ascalon (Ph.D.). Università dell'Iowa.