Algebra associativa - Associative algebra

Struttura algebrica → Teoria degli anelli Teoria degli anelli
Concetti basilari Anelli • Sottoanelli • Ideale • Anello quoziente • Ideale frazionario • Anello quoziente totale • Anello del prodotto • Prodotto gratuito di algebre associative • Prodotto tensoriale degli anelli Omomorfismi ad anello • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo di Frobenius Strutture algebriche • Modulo • Algebra associativa • Anello graduato • Anello involutivo • Categoria di anelli • Squillo iniziale ${\displaystyle \mathbb {Z}}$ • Anello terminale ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Strutture correlate • Campo • Campo finito • Anello non associativo • Anello della bugia • Anello Giordano • Semiring • Semicampo
Algebra commutativa Anelli commutativi • Dominio integrale • Dominio integralmente chiuso • Dominio GCD • Dominio di fattorizzazione unico • Dominio ideale principale • Dominio euclideo • Campo • Campo finito • Anello di composizione • Anello polinomiale • Anello formale della serie di potenze Teoria algebrica dei numeri • Campo numero algebrico • Anello di interi • Indipendenza algebrica • Teoria dei numeri trascendentali • Grado di trascendenza p -teoria dei numeri adici e decimali • Limite diretto / Limite inverso • Anello zero ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Interi modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}}$ • Prüfer p- ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty})}$ • Base - anello cerchio p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p interi ${\displaystyle \mathbb {Z}}$ • p -razionali adici ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R}}$ • p -interi adici ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -numeri adici ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solenoide p -adico ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometria algebrica • Varietà affine
Algebra non commutativa Anelli non commutativi • Anello di divisione • Anello semiprimitivo • Anello semplice • Commutatore Geometria algebrica non commutativa algebra libera algebra di Clifford • Algebra geometrica algebra degli operatori
v T e

In matematica , un'algebra associativa A è una struttura algebrica con operazioni compatibili di addizione, moltiplicazione (assunta come associativa ) e una moltiplicazione scalare per elementi in qualche campo . Le operazioni di addizione e moltiplicazione insieme danno ad A la struttura di un anello ; le operazioni di addizione e moltiplicazione scalare insieme danno ad A la struttura di uno spazio vettoriale su K . In questo articolo useremo anche il termine K -algebraper indicare un'algebra associativa sul campo K . Un primo esempio standard di una K- algebra è un anello di matrici quadrate su un campo K , con la consueta moltiplicazione di matrici .

Un algebra commutativa è un'algebra associativa che ha un commutativa moltiplicazione, o, equivalentemente, un'algebra associativa che è anche un anello commutativo .

In questo articolo si assume che le algebre associative abbiano un'identità moltiplicativa, indicata con 1; a volte sono chiamate algebre associative unitarie per chiarimenti. In alcune aree della matematica questa ipotesi non viene fatta e chiameremo tali strutture algebre associative non unitarie . Assumeremo anche che tutti gli anelli siano unitari e che tutti gli omomorfismi di anelli siano unitari.

Molti autori considerano il concetto più generale di un'algebra associativa su un anello commutativo R , invece di un campo: una R -algebra è un modulo R con un'operazione binaria associativa R -bilineare, che contiene anche un'identità moltiplicativa. Per esempi di questo concetto, se S è un qualsiasi anello con centro C , allora S è una C -algebra associativa .

Strutture algebriche
Mi piace di gruppo Gruppo Semigruppo  / Monoide Rack e quandle Quasigruppo e loop gruppo abeliano Magma Gruppo di bugie Teoria dei gruppi
Anello -come Squillo Rng semiring Vicino-anello Anello commutativo Dominio integrale Campo Anello di divisione Teoria degli anelli
Lattice -like Reticolo semireticolo reticolo complementare Ordine totale Heyting algebra algebra booleana Mappa dei reticoli Teoria del reticolo
Modulo -come Modulo Gruppo con operatori Spazio vettoriale Algebra lineare
Algebra -come Algebra Associativo Non associativo Algebra di composizione Algebra della bugia Graduato bialgebra
v T e

Definizione

Sia R un anello commutativo (quindi R potrebbe essere un campo). Una R -algebra associativa (o più semplicemente una R -algebra ) è un anello che è anche un R -modulo in modo tale che le due addizioni (l'addizione dell'anello e l'addizione del modulo) siano la stessa operazione, e moltiplicazione scalare soddisfa

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}$

per ogni r in R e x , y nell'algebra. (Ciò implica che si presume che l'algebra sia unitaria , poiché si suppone che gli anelli abbiano un'identità moltiplicativa ).

Equivalentemente, un'algebra associativa A è un anello insieme a un omomorfismo ad anello da R al centro di A . Se f è un tale omomorfismo, la moltiplicazione scalare è (qui la moltiplicazione è la moltiplicazione ad anello); se viene data la moltiplicazione scalare, l'omomorfismo d'anello è dato da (Vedi anche § Da omomorfismi d'anello sotto). ${\displaystyle (r,x)\mapsto f(r)x}$${\displaystyle r\mapsto r\cdot 1_{R}}$

Ogni anello è un'algebra associativa , dove denota l'anello degli interi . ${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

UN l'algebra commutativa è un'algebra associativa che è anche unanello commutativo.

Come oggetto monoide nella categoria dei moduli

La definizione equivale a dire che una R -algebra associativa unitaria è un oggetto monoide in R -Mod (la categoria monoidale di R -moduli). Per definizione, un anello è un oggetto monoide nella categoria dei gruppi abeliani ; quindi, la nozione di algebra associativa si ottiene sostituendo la categoria dei gruppi abeliani con la categoria dei moduli .

Spingendo ulteriormente questa idea, alcuni autori hanno introdotto un "anello generalizzato" come oggetto monoide in qualche altra categoria che si comporta come la categoria dei moduli. Questa reinterpretazione permette infatti di evitare di fare esplicito riferimento ad elementi di un'algebra A . Ad esempio, l'associatività può essere espressa come segue. Per la proprietà universale di un prodotto tensoriale di moduli , la moltiplicazione (la mappa R -bilineare) corrisponde a un'unica mappa R -lineare

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$.

L'associatività si riferisce quindi all'identità:

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id}}\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id}).}$

Da omomorfismi ad anello

Un'algebra associativa equivale a un omomorfismo ad anello la cui immagine si trova al centro . Infatti, partendo da un anello A e da un omomorfismo ad anello la cui immagine giace al centro di A , possiamo fare di A una R -algebra definendo ${\displaystyle \eta \due punti R\to A}$

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

per ogni r ∈ R e x ∈ A . Se A è una R -algebra, assumendo x = 1, la stessa formula definisce a sua volta un omomorfismo ad anello la cui immagine giace al centro. ${\displaystyle \eta \due punti R\to A}$

Se un anello è commutativo, allora è uguale al suo centro, così che una R -algebra commutativa può essere definita semplicemente come un anello commutativo A insieme a un omomorfismo ad anello commutativo . ${\displaystyle \eta \due punti R\to A}$

L'omomorfismo ad anello η che appare sopra è spesso chiamato mappa di struttura . Nel caso commutativo si può considerare la categoria i cui oggetti sono gli omomorfismi di anelli R → A ; cioè, R -algebre commutative ei cui morfismi sono omomorfismi ad anello A → A ' che sono sotto R ; cioè, R → A → A ' è R → A ' (cioè, la categoria coslice della categoria degli anelli commutativi sotto R .) Il funtore di spettro primo Spec determina quindi un'anti-equivalenza di questa categoria alla categoria degli schemi affini su Spec R .

Come indebolire l'assunzione di commutatività è materia di geometria algebrica non commutativa e, più recentemente, di geometria algebrica derivata . Vedi anche: anello matrice generico .

Omomorfismi algebrici

Un omomorfismo tra due R- algebre è un omomorfismo ad anello R- lineare . Esplicitamente, è un omomorfismo di algebra associativa se ${\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}$

${\displaystyle {\begin{allineato}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\ \\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{allineato}}}$

La classe di tutte le R- algebre insieme agli omomorfismi algebrici tra di esse formano una categoria , talvolta indicata con R- Alg .

La sottocategoria delle R- algebre commutative può essere caratterizzata come la categoria coslice R / CRing dove CRing è la categoria degli anelli commutativi .

Esempi

L'esempio più elementare è un anello stesso; è un'algebra sul suo centro o su qualsiasi sottoanello che giace al centro. In particolare, ogni anello commutativo è un'algebra su uno qualsiasi dei suoi sottoanelli. Altri esempi abbondano sia dall'algebra che da altri campi della matematica.

Algebra

• Qualsiasi anello A può essere considerato come una Z -algebra. L'omomorfismo unico dell'anello da Z ad A è determinato dal fatto che deve inviare 1 all'identità in A . Pertanto, anelli e Z -algebre sono concetti equivalenti, allo stesso modo in cui sono equivalenti gruppi abeliani e Z -moduli.
• Qualsiasi anello di caratteristica n è un'algebra ( Z / n Z ) allo stesso modo.
• Dato un R -modulo M , l' anello di endomorfismo di M , denotato End _R ( M ) è una R -algebra definendo ( r ·φ)( x ) = r ·φ( x ).
• Qualsiasi anello di matrici con coefficienti in un anello commutativo R forma una R -algebra sotto addizione e moltiplicazione di matrici. Ciò coincide con l'esempio precedente quando M è un modulo R libero a generazione finita .
  • In particolare, le matrici quadrate n- by- n con elementi del campo K formano un'algebra associativa su K .
• I numeri complessi formano un'algebra commutativa bidimensionale sui numeri reali .
• I quaternioni formano un'algebra associativa quadridimensionale sui reali (ma non un'algebra sui numeri complessi, poiché i numeri complessi non sono al centro dei quaternioni).
• I polinomi con coefficienti reali formano un'algebra commutativa sui reali.
• Ogni anello polinomiale R [ x ₁ , ..., x _n ] è una R -algebra commutativa . Infatti, questa è la R -algebra commutativa libera sull'insieme { x ₁ , ..., x _n }.
• La R- algebra libera su un insieme E è un'algebra di "polinomi" con coefficienti in R e indeterminate non commutanti prese dall'insieme E .
• L' algebra tensoriale di un R -modulo è naturalmente una R -algebra associativa . Lo stesso vale per quozienti come l' algebra esterna e simmetrica . Categoricamente parlando, il funtore che mappa un R -modulo alla sua algebra tensoriale è lasciato aggiunto al funtore che invia una R -algebra al suo R -modulo sottostante (dimenticando la struttura moltiplicativa).
• Il seguente anello è usato nella teoria degli anelli . Dato un anello commutativo A , sia l'insieme delle serie di potenze formali a termine costante 1. Si tratta di un gruppo abeliano con l'operazione di gruppo che è la moltiplicazione delle serie di potenze. Si tratta quindi di un anello con la moltiplicazione, indicata con , tale che determinato da questa condizione e dagli assiomi dell'anello. L'identità additiva è 1 e l'identità moltiplicativa è . Allora ha una struttura canonica di una -algebra data dall'omomorfismo ad anello${\displaystyle G(A)=1+tA[\![t]\!],}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle (1+at)\circ (1+bt)=1+abt,}$${\displaystyle 1+t}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G(A)}$

${\displaystyle {\begin{cases}G(A)\to A\\1+\sum _{i>0}a_{i}t^{i}\mapsto a_{1}\end{cases}}}$

D'altra parte, se A è un -anello, allora c'è un omomorfismo ad anello

${\displaystyle {\begin{casi}A\to G(A)\\a\mapsto 1+\sum _{i>0}\lambda ^{i}(a)t^{i}\end{casi} }}$

dando una struttura di una A -algebra.${\displaystyle G(A)}$

Teoria della rappresentazione

• L' algebra di inviluppo universale di un'algebra di Lie è un'algebra associativa che può essere utilizzata per studiare l'algebra di Lie data.
• Se G è un gruppo e R è un anello commutativo, l'insieme di tutte le funzioni da G a R con supporto finito formano una R -algebra con la convoluzione come moltiplicazione. Si chiama algebra dei gruppi di G . La costruzione è il punto di partenza per l'applicazione allo studio dei gruppi (discreti).
• Se G è un gruppo algebrico (es. gruppo di Lie complesso semisemplice ), allora l' anello di coordinate di G è l' algebra di Hopf A corrispondente a G . Molte strutture di G si traducono in quelle di A .
• Un algebra faretra (o un algebra percorso) di un grafo orientato è l'algebra associativa libero su un campo generato dai percorsi nel grafico.

Analisi

• Dato uno spazio di Banach X , gli operatori lineari continui A  : X → X formano un'algebra associativa (usando la composizione degli operatori come moltiplicazione); questa è un'algebra di Banach .
• Dato uno spazio topologico X , le funzioni continue a valori reali o complessi su X formano un'algebra associativa reale o complessa; qui le funzioni vengono sommate e moltiplicate per punti.
• L'insieme delle semimartingale definite sullo spazio di probabilità filtrato (Ω,  F , ( F _t ) _{t  ≥ 0} , P) forma un anello sotto integrazione stocastica .
• L' algebra di Weyl
• Un Azumaya algebra

Geometria e combinatoria

• Le algebre di Clifford , utili in geometria e fisica .
• Le algebre di incidenza di insiemi parzialmente ordinati localmente finiti sono algebre associative considerate in combinatoria .

costruzioni

sottoalgebre

Una sottoalgebra di una R -algebra A è un sottoinsieme di A che è sia un sottoanello che un sottomodulo di A . Cioè, deve essere chiuso per addizione, moltiplicazione ad anello, moltiplicazione scalare e deve contenere l'elemento identità di A .

Algebre quoziente

Sia A una R -algebra. Qualsiasi ideale I della teoria dell'anello in A è automaticamente un modulo R poiché r  ·  x = ( r 1 _A ) x . Questo dà all'anello quoziente A  /  I la struttura di un R -modulo e, di fatto, di una R -algebra. Ne consegue che qualsiasi immagine omomorfa ad anello di A è anche una R -algebra.

Prodotti diretti

Il prodotto diretto di una famiglia di R -algebre è il prodotto diretto della teoria dell'anello. Questa diventa una R -algebra con l'ovvia moltiplicazione scalare.

Prodotti gratuiti

Si può formare un prodotto libero di R -algebre in modo simile al prodotto libero di gruppi. Il prodotto gratuito è il coprodotto nella categoria delle R- algebre.

prodotti tensori

Il prodotto tensoriale di due R -algebre è anche una R -algebra in modo naturale. Vedere prodotto tensoriale delle algebre per maggiori dettagli. Dato un anello commutativo R e qualsiasi anello A del prodotto tensoriale R  ⊗ _Z  A può essere data la struttura di un R -algebra definendo r  · ( s  ⊗  un ) = ( rs  ⊗  una ). Il funtore che invia A a R  ⊗ _Z  A viene lasciato aggiunto al funtore che invia una R -algebra al suo anello sottostante (dimenticando la struttura del modulo). Vedi anche: Cambio degli anelli .

Algebra separabile

Sia A un'algebra su un anello commutativo R . Allora l'algebra A è un modulo destro oltre all'azione . Quindi, per definizione, A si dice separabile se la mappa di moltiplicazione si divide come una mappa lineare, dove è un modulo per . Equivalentemente, è separabile se è un modulo proiettivo su ; così, la dimensione -proiettiva di A , talvolta chiamata bidimensione di A , misura il fallimento della separabilità. ${\displaystyle A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A}$${\displaystyle x\cdot (a\otimes b)=axb}$${\displaystyle A\otimes _{R}A\to A,\,x\otimes y\mapsto xy}$${\displaystyle A^{e}}$${\displaystyle A\otimes A}$${\displaystyle A^{e}}$${\displaystyle (x\otimes y)\cdot (a\otimes b)=ax\otimes yb}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{e}}$${\displaystyle A^{e}}$

Algebra a dimensione finita

Sia A un'algebra di dimensione finita su un campo k . Allora A è un anello artiniano .

caso commutativo

Poiché A è artiniano, se è commutativo, allora è un prodotto finito di anelli locali artiniani i cui campi residui sono algebre sul campo base k . Ora, un anello locale artiniano ridotto è un campo e quindi i seguenti sono equivalenti

1. ${\displaystyle A}$ è separabile.
2. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}}$è ridotto, dove è una chiusura algebrica di k .${\displaystyle {\overline {k}}}$
3. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}}$per alcuni n .
4. ${\displaystyle \dim _{k}A}$è il numero di omomorfismi -algebrici .${\displaystyle k}$${\displaystyle A\to {\overline {k}}}$

Caso non commutativo

Poiché un semplice anello artiniano è un anello di matrici (pieno) su un anello di divisione, se A è un'algebra semplice, allora A è un'algebra di matrici (piena) su un'algebra di divisione D su k ; cioè, . Più in generale, se A è un'algebra semisemplice, allora è un prodotto finito di algebre di matrici (su varie k- algebre di divisione ), il fatto noto come teorema di Artin-Wedderburn . ${\displaystyle A=M_{n}(D)}$

Il fatto che A sia artiniano semplifica la nozione di radicale di Jacobson; per un anello artiniano, il radicale di Jacobson di A è l'intersezione di tutti gli ideali massimali (a due lati) (al contrario, in generale, un radicale di Jacobson è l'intersezione di tutti gli ideali massimali di sinistra o l'intersezione di tutti gli ideali massimali di destra).

Il teorema principale di Wedderburn afferma: per un'algebra di dimensione finita A con un ideale nilpotente I , se la dimensione proiettiva di come -modulo è al massimo uno, allora la suriezione naturale si divide; cioè, contiene una sottoalgebra tale che è un isomorfismo. Prendendo I come radicale di Jacobson, il teorema dice in particolare che il radicale di Jacobson è completato da un'algebra semisemplice. Il teorema è un analogo del teorema di Levi per le algebre di Lie . ${\displaystyle A/I}$${\displaystyle (A/I)^{e}}$${\displaystyle p:A\to A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I}$

Reticoli e ordini

Sia R un dominio integrale noetheriano con campo di frazioni K (per esempio, possono essere ). Un reticolo L in uno spazio vettoriale K a dimensione finita V è un sottomodulo R di V finito generato che si estende su V ; in altre parole, . ${\displaystyle \mathbb {Z},\mathbb {Q}}$ ${\displaystyle L\otimes _{R}K=V}$

Sia una K -algebra di dimensione finita . Un ordine in è una R -subalgebra che è un reticolo. In generale, ci sono molti meno ordini dei reticoli; ad esempio, è un reticolo in ma non un ordine (poiché non è un'algebra). ${\displaystyle A_{K}}$${\displaystyle A_{K}}$${\displaystyle {1 \over 2}\mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un ordine massimale è un ordine che è massimo tra tutti gli ordini.

Concetti correlati

coalgebre

Un'algebra associativa su K è data da un K -spazio vettoriale A dotato di una mappa bilineare A  ×  A  →  A avente due input (moltiplicatore e moltiplicando) e un output (prodotto), nonché un morfismo K  →  A che identifica lo scalare multipli dell'identità moltiplicativa. Se la mappa bilineare A  ×  A  →  A viene reinterpretata come una mappa lineare (cioè, il morfismo nella categoria dei K -spazi vettoriali) A  ⊗  A  →  A (per la proprietà universale del prodotto tensoriale ), allora possiamo vedere un associativo algebra su K come K -spazio vettoriale A dotato di due morfismi (uno della forma A  ⊗  A  →  A e uno della forma K  →  A ) che soddisfano determinate condizioni che si riducono agli assiomi dell'algebra. Questi due morfismi possono essere dualizzati usando la dualità categoriale invertendo tutte le frecce nei diagrammi commutativi che descrivono gli assiomi dell'algebra ; questo definisce la struttura di una coalgebra .

C'è anche una nozione astratta di F- coalgebra , dove F è un funtore . Questo è vagamente correlato alla nozione di coalgebra discussa sopra.

rappresentazioni

Una rappresentazione di un'algebra A è un omomorfismo dell'algebra ρ  : A → End( V ) da A all'algebra dell'endomorfismo di uno spazio vettoriale (o modulo) V . La proprietà di ρ essere un mezzo omomorfismo di algebre che ρ preserva l'operazione moltiplicativo (cioè, ρ ( xy ) =  ρ ( x ) ρ ( y ) per ogni x ed y in A ), e che ρ invia alla centralina di A a l'unità di End( V ) (cioè all'endomorfismo identitario di V ).

Se A e B sono due algebre, e ρ  : A → End ( V ) e τ  : B → End ( W ) sono due rappresentazioni, allora v'è un (canonica) rappresentazione A B → End ( V W ) del prodotto tensoriale algebra A B sullo spazio vettoriale V W . Tuttavia, non esiste un modo naturale per definire un prodotto tensoriale di due rappresentazioni di una singola algebra associativa in modo tale che il risultato sia ancora una rappresentazione di quella stessa algebra (non del suo prodotto tensoriale con se stessa), senza imporre in qualche modo condizioni aggiuntive . Qui per prodotto tensoriale di rappresentazioni si intende il significato usuale: il risultato dovrebbe essere una rappresentazione lineare della stessa algebra sullo spazio vettoriale prodotto. L'imposizione di tale struttura aggiuntiva porta tipicamente all'idea di un'algebra di Hopf o di un'algebra di Lie , come dimostrato di seguito. ${\displaystyle\otimes}$ ${\displaystyle\otimes}$ ${\displaystyle\otimes}$${\displaystyle\otimes}$

Motivazione per un'algebra di Hopf

Consideriamo, ad esempio, due rappresentazioni e . Si potrebbe provare a formare una rappresentazione del prodotto tensoriale in base a come agisce sullo spazio vettoriale prodotto, in modo che ${\displaystyle \sigma:A\rightarrow \mathrm {Fine} (V)}$${\displaystyle \tau:A\rightarrow \mathrm {Fine} (W)}$${\displaystyle \rho: x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)}$

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}$

Tuttavia, tale mappa non sarebbe lineare, poiché si avrebbe

${\ Displaystyle \ Rho (kx) = \ sigma (kx) \ otimes \ tau (kx) = k \ sigma (x) \ otimes k \ tau (x) = k ^ {2} (\ sigma (x) \ otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}$

per k ∈ K . Si può salvare questo tentativo e ripristinare la linearità imponendo una struttura aggiuntiva, definendo un omomorfismo algebrico Δ: A → A ⊗ A , e definendo la rappresentazione del prodotto tensoriale come

${\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau)\circ \Delta.}$

Tale omomorfismo Δ è detto comoltiplicazione se soddisfa determinati assiomi. La struttura risultante è chiamata bialgebra . Per essere coerente con le definizioni dell'algebra associativa, la coalgebra deve essere co-associativa e, se l'algebra è unitaria, anche la co-algebra deve essere co-unita. Un Hopf algebra è una bialgebra con un pezzo aggiuntivo di struttura (il cosiddetto antipodo), che permette non solo di definire il prodotto tensoriale di due rappresentazioni, ma anche il modulo Hom di due rappresentazioni (di nuovo, in modo simile a come è fatto nella teoria della rappresentazione dei gruppi).

Motivazione per un'algebra di Lie

Si può cercare di essere più furbi nella definizione di un prodotto tensoriale. Si consideri, ad esempio,

${\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

per cui l'azione sullo spazio prodotto tensoriale è data da

${\ Displaystyle \ Rho (x) (v \ otimes w) = (\ sigma (x) v) \ otimes w + v \ otimes (\ tau (x) w)}$.

Questa mappa è chiaramente lineare in x , e quindi non ha il problema della definizione precedente. Tuttavia, non riesce a preservare la moltiplicazione:

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x )\tau (y)}$.

Ma, in generale, questo non è uguale

${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y) +\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

Ciò dimostra che questa definizione di prodotto tensoriale è troppo ingenua; la soluzione ovvia è definirlo in modo tale che sia antisimmetrico, in modo che i due termini centrali si annullino. Questo porta al concetto di algebra di Lie .

Algebre non unitarie

Alcuni autori usano il termine "algebra associativa" per riferirsi a strutture che non hanno necessariamente un'identità moltiplicativa, e quindi considerano omomorfismi che non sono necessariamente unitari.

Un esempio di algebra associativa non unitaria è dato dall'insieme di tutte le funzioni f : R → R il cui limite quando x si avvicina all'infinito è zero.

Un altro esempio è lo spazio vettoriale delle funzioni periodiche continue, insieme al prodotto di convoluzione .

Guarda anche

• Algebra astratta
• struttura algebrica
• Algebra su un campo
• Fascio di algebre , una sorta di algebra su uno spazio anellato

Appunti

Riferimenti

• Artin, Michael (1999). "Anelli non commutativi" (PDF) .
• Bourbaki, N. (1989). Algebra I . Springer. ISBN 3-540-64243-9.
• Cohn, PM (2003). Ulteriori algebra e applicazioni (2a ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl  1006.00001 .
• Nathan Jacobson, Struttura degli anelli
• James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra , collegamento da Cornell University Historical Math Monographs.
• Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to algebra moderna , una panoramica della notazione senza indice.
• Waterhouse, William (1979), Introduzione agli schemi di gruppo affine , Graduate Texts in Mathematics, 66 , Berlino, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, MR  0547117