Espansione asintotica - Asymptotic expansion

In matematica , un'espansione asintotica , una serie asintotica o un'espansione di Poincaré (dopo Henri Poincaré ) è una serie formale di funzioni che ha la proprietà che troncando la serie dopo un numero finito di termini fornisce un'approssimazione a una data funzione come argomento della funzione tende verso un punto particolare, spesso infinito. Indagini di Dingle (1973) hanno rivelato che la parte divergente di un'espansione asintotica è latentemente significativa, cioè contiene informazioni sul valore esatto della funzione espansa.

Il tipo più comune di espansione asintotica è una serie di potenze in potenze positive o negative. I metodi per generare tali espansioni includono la formula di somma di Eulero-Maclaurin e trasformazioni integrali come le trasformate di Laplace e Mellin . L' integrazione ripetuta per parti porta spesso a un'espansione asintotica.

Poiché una serie di Taylor convergente si adatta anche alla definizione di espansione asintotica, la frase "serie asintotica" di solito implica una serie non convergente . Nonostante la non convergenza, l'espansione asintotica è utile quando troncata a un numero finito di termini. L'approssimazione può fornire benefici essendo più trattabile matematicamente rispetto alla funzione che viene espansa, o da un aumento della velocità di calcolo della funzione espansa. In genere, la migliore approssimazione viene fornita quando la serie viene troncata al termine più piccolo. Questo modo di troncare in modo ottimale un'espansione asintotica è noto come superasintotico . L'errore è quindi tipicamente della forma ~ exp(− c /ε) dove ε è il parametro di espansione. L'errore è quindi al di là di tutti gli ordini nel parametro di espansione. È possibile migliorare l'errore superasintotico, ad esempio impiegando metodi di riassunto come il riassunto di Borel alla coda divergente. Tali metodi sono spesso indicati come approssimazioni iperasintotiche .

Vedere l'analisi asintotica e la notazione O grande per la notazione utilizzata in questo articolo.

Definizione formale

Prima definiamo una scala asintotica, e poi diamo la definizione formale di un'espansione asintotica.

Se è una successione di funzioni continue su qualche dominio, e se L è un punto limite del dominio, allora la successione costituisce una scala asintotica se per ogni n , ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\to L).}$

( L può essere considerato infinito.) In altre parole, una sequenza di funzioni è una scala asintotica se ciascuna funzione nella sequenza cresce strettamente più lentamente (nel limite ) della funzione precedente. ${\displaystyle x\to L}$

Se f è una funzione continua sul dominio della scala asintotica, allora f ha uno sviluppo asintotico di ordine N rispetto alla scala come una serie formale

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}$

Se

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ ( x\a L)}$

o

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x)) \ (x\a L).}$

Se l'uno o l'altro vale per tutti N , allora scriviamo

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\to L).}$

A differenza di una serie convergente per , in cui la serie converge per qualsiasi fissato nel limite , si può pensare alla serie asintotica come convergente per fissato nel limite (con possibilmente infinito). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle N\to \infty}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle x\to L}$${\displaystyle L}$

Esempi

Grafici del valore assoluto dell'errore frazionario nell'espansione asintotica della funzione Gamma (a sinistra). L'asse orizzontale è il numero di termini nell'espansione asintotica. I punti blu sono per x  = 2 e i punti rossi sono per x  = 3 . Si può notare che l'errore minimo si incontra quando ci sono 14 termini per x  = 2 e 20 termini per x  = 3 , oltre i quali l'errore diverge.

• Funzione gamma
  $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x }}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$

  
• Integrale esponenziale
  $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\to \infty )}$$

  
• Integrale logaritmico
  $${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {k!}{(\ln x )^{k}}}}$$

  
• Funzione zeta di Riemann
  $${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\ frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1 }}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$$

  
  dove sono i numeri di Bernoulli ed è un fattoriale crescente . Questa espansione è valida per tutti i complessi s ed è spesso usato per calcolare la funzione zeta utilizzando un valore sufficientemente grande di N , per esempio .${\displaystyle B_{2m}}$${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$${\displaystyle N>|s|}$
• Funzione di errore
  $${\displaystyle {\sqrt {\pi}}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty}(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

  
  dove (2 n  − 1)!! è il doppio fattoriale .

Esempio funzionante

Le espansioni asintotiche si verificano spesso quando una serie ordinaria viene utilizzata in un'espressione formale che forza l'assunzione di valori al di fuori del suo dominio di convergenza . Così, ad esempio, si può iniziare con la serie ordinaria

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty}w^{n}.}$

L'espressione a sinistra è valida su tutto il piano complesso , mentre il membro a destra converge solo per . Moltiplicando per e integrando entrambi i membri si ottiene ${\displaystyle con\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n= 0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}$

dopo la sostituzione sul lato destro. L'integrale a sinistra, inteso come valore principale di Cauchy , può essere espresso in termini di integrale esponenziale . L'integrale a destra può essere riconosciuto come funzione gamma . Valutando entrambi, si ottiene l'espansione asintotica ${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\nomeoperatore {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{ \infty }n!t^{n+1}.}$

Qui, il membro di destra non è chiaramente convergente per nessun valore di t diverso da zero . Tuttavia, troncando la serie a destra ad un numero finito di termini, si può ottenere un'approssimazione abbastanza buona del valore di per t sufficientemente piccolo . Sostituendo e notando che risulta nell'espansione asintotica data in precedenza in questo articolo. ${\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}$${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}$${\displaystyle \nomeoperatore {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Proprietà

Unicità per una data scala asintotica

Per una data scala asintotica l'espansione asintotica della funzione è unica. Cioè i coefficienti sono determinati in modo univoco nel seguente modo: ${\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

$${\displaystyle {\begin{allineato}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1 }&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\& \;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n} \varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{allineato}}}$$

${\displaystyle L}$

${\displaystyle \pm \infty}$

Non unicità per una data funzione

Una data funzione può avere molte espansioni asintotiche (ognuna con una diversa scala asintotica). ${\displaystyle f(x)}$

sottodominanza

Un'espansione asintotica può essere un'espansione asintotica a più di una funzione.

Guarda anche

Campi correlati

• Analisi asintotica
• Perturbazione singolare

Metodi asintotici

• Lemma di Watson
• Trasformata di Mellin
• Il metodo di Laplace
• Approssimazione della fase stazionaria
• Metodo di discesa più ripida

Appunti

Riferimenti

• Ablowitz, MJ e Fokas, AS (2003). Variabili complesse: introduzione e applicazioni . Cambridge University Press .
• Bender, CM, & Orszag, SA (2013). Metodi matematici avanzati per scienziati e ingegneri I: metodi asintotici e teoria delle perturbazioni . Springer Science & Business Media .
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Espansioni asintotiche di integrali , Pubblicazioni di Dover .
• Carrier, GF, Krook, M., & Pearson, CE (2005). Funzioni di una variabile complessa: Teoria e tecnica . Società per la matematica industriale e applicata .
• Copson, ET (1965), Espansioni asintotiche , Cambridge University Press .
• Dingle, RB (1973), espansioni asintotiche: la loro derivazione e interpretazione , Academic Press.
• Erdélyi, A. (1955), Espansioni asintotiche , Pubblicazioni di Dover .
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Espansioni asintotiche composite , Springer.
• Hardy, GH (1949), Serie divergente , Oxford University Press .
• Olver, F. (1997). Asintotici e funzioni speciali . AK Peters/CRC Press.
• Paris, RB, Kaminsky, D. (2001), Asintotici e integrali di Mellin-Barnes , Cambridge University Press .
• Whittaker, ET , Watson, GN (1963), A Course of Modern Analysis , quarta edizione, Cambridge University Press .

link esterno

• "Espansione asintotica" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Serie asintotica