Atlante (topologia) - Atlas (topology)

In matematica , in particolare in topologia , si descrive una varietà usando un atlante . Un atlante è costituito da singole carte che, grosso modo, descrivono le singole regioni della varietà. Se la varietà è la superficie della Terra, allora un atlante ha il suo significato più comune. In generale, la nozione di atlante è alla base della definizione formale di una varietà e delle relative strutture come i fibrati vettoriali e altri fibrati .

Grafici

La definizione di un atlante dipende dalla nozione di carta . Un grafico per uno spazio topologico M (chiamato anche grafico di coordinate , patch di coordinate , mappa di coordinate o frame locale ) è un omeomorfismo da un aperto U di M a un aperto di uno spazio euclideo . Il grafico è tradizionalmente registrato come coppia ordinata . ${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle (U,\varphi)}$

Definizione formale di atlante

Un atlante per uno spazio topologico è una famiglia indicizzata di carte su cui copre (cioè ). Se il codominio di ogni grafico è lo spazio euclideo n- dimensionale , allora si dice che è una varietà n- dimensionale . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$${\displaystyle M}$

Il plurale di atlante è atlanti , sebbene alcuni autori utilizzino atlanti .

Un atlante su una varietà tridimensionale è detto atlante adeguato se l' immagine di ogni grafico è o , è una copertura aperta localmente finita di , e , dove è la sfera aperta di raggio 1 centrata nell'origine ed è il semispazio chiuso . Ogni seconda varietà numerabile ammette un atlante adeguato. Inoltre, se è una copertura aperta della seconda varietà numerabile, allora c'è un atlante adeguato su tale che è un raffinamento di . ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Mappe di transizione

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

${\displaystyle \tau _{\alpha,\beta}}$

${\displaystyle \tau _{\beta,\alpha}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Due grafici su un collettore e la loro rispettiva mappa di transizione

Una mappa di transizione fornisce un modo per confrontare due grafici di un atlante. Per fare questo confronto, consideriamo la composizione di un grafico con l' inverso dell'altro. Questa composizione non è ben definita a meno che non limitiamo entrambi i grafici all'intersezione dei loro domini di definizione. (Ad esempio, se abbiamo un grafico dell'Europa e un grafico della Russia, possiamo confrontare questi due grafici sulla loro sovrapposizione, vale a dire la parte europea della Russia.)

Per essere più precisi, supponiamo che e siano due grafici per una varietà M tale che non sia vuota . La mappa di transizione è la mappa definita da ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha } \cap U_{\beta })}$

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

Si noti che poiché e sono entrambi omeomorfismi, anche la mappa di transizione è un omeomorfismo. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\beta }}$${\displaystyle \tau _{\alpha,\beta}}$

Più struttura

Spesso si desidera più struttura su una varietà rispetto alla semplice struttura topologica. Ad esempio, se si desidera una nozione univoca di differenziazione di funzioni su una varietà, allora è necessario costruire un atlante le cui funzioni di transizione siano differenziabili . Tale varietà è detta differenziabile . Data una varietà differenziabile, si può definire in modo univoco la nozione di vettori tangenti e quindi di derivate direzionali .

Se ogni funzione di transizione è una mappa liscia , allora l'atlante è chiamato atlante liscio e la varietà stessa è chiamata liscia . In alternativa, si potrebbe richiedere che le mappe di transizione abbiano solo k derivate continue, nel qual caso si dice che l'atlante è . ${\displaystyle C^{k}}$

Molto in generale, se ogni funzione di transizione appartiene a uno pseudogruppo di omeomorfismi dello spazio euclideo, allora l'atlante è chiamato -atlante. Se le mappe di transizione tra i grafici di un atlante conservano una banalizzazione locale , allora l'atlante definisce la struttura di un fascio di fibre. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Guarda anche

• Atlante liscio
• Cornice liscia

Riferimenti

link esterno

• Atlas di Rowland, Todd