Modello di sabbia abeliana - Abelian sandpile model

L'elemento identitario del gruppo di sabbiere di una griglia rettangolare. I pixel gialli corrispondono ai vertici che trasportano tre particelle, il lilla a due particelle, il verde a uno e il nero a zero.

Il modello abeliano della pila di sabbia , noto anche come modello Bak-Tang-Wiesenfeld , è stato il primo esempio scoperto di un sistema dinamico che mostra una criticità auto-organizzata . È stato introdotto da Per Bak , Chao Tang e Kurt Wiesenfeld in un articolo del 1987.

Il modello è un automa cellulare . Nella sua formulazione originale, ogni sito su una griglia finita ha un valore associato che corrisponde alla pendenza del palo. Questo pendio si accumula quando "granelli di sabbia" (o "trucioli") vengono posizionati casualmente sul palo, fino a quando il pendio supera un determinato valore di soglia, momento in cui quel sito crolla trasferendo sabbia nei siti adiacenti, aumentando la loro pendenza. Bak, Tang e Wiesenfeld hanno considerato il processo di successivo posizionamento casuale di granelli di sabbia sulla griglia; ciascuno di questi posizionamenti di sabbia in un particolare sito potrebbe non avere alcun effetto o potrebbe causare una reazione a cascata che interesserà molti siti.

Da allora il modello è stato studiato sul reticolo infinito, su altri reticoli (non quadrati) e su grafi arbitrari (compresi i multigrafi diretti). È strettamente correlato al gioco del dollaro , una variante del gioco che spara chip introdotto da Biggs.

Definizione (griglie rettangolari)

Il modello sandpile è un automa cellulare originariamente definito su una griglia rettangolare ( scacchiera ) del reticolo quadrato standard . Ad ogni vertice ( lato , campo ) della griglia, associamo un valore ( granelli di sabbia , pendenza , particelle ) , con la cosiddetta configurazione (iniziale) del mucchio di sabbia. ${\displaystyle N\volte M}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$${\displaystyle z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}}$${\displaystyle z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }}$

La dinamica dell'automa all'iterazione è quindi definita come segue: ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

1. Scegli un vertice casuale secondo una distribuzione di probabilità (solitamente uniforme).${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \Gamma }$
2. Aggiungi un granello di sabbia a questo vertice lasciando invariati i numeri dei grani per tutti gli altri vertici, cioè impostati e per tutti .
   ${\displaystyle z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1}$
   ${\displaystyle z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)}$${\displaystyle (x,y)\neq (x_{i},y_{i})}$
3. Se tutti i vertici sono stabili , cioè per tutti , anche la configurazione si dice stabile. In questo caso, continuare con l'iterazione successiva.${\displaystyle z_{i}(x,y)<4}$${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$${\displaystyle z_{i}}$
4. Se almeno un vertice è instabile , cioè per alcuni , l'intera configurazione è detta instabile. In questo caso, scegli un vertice instabile a caso. Rovescia questo vertice riducendo di quattro il suo numero di grani e aumentando di uno il numero di grani di ciascuno dei suoi (al massimo quattro) vicini diretti, cioè set , e if . Se un vertice al confine del dominio si rovescia, ciò si traduce in una perdita netta di grani (due grani all'angolo della griglia, un grano altrimenti).${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4}$${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,}$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1}$${\displaystyle (x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma }$
   
5. A causa della ridistribuzione dei grani, il ribaltamento di un vertice può rendere instabili altri vertici. Quindi, ripeti la procedura di ribaltamento fino a quando tutti i vertici di diventano stabili e continua con l'iterazione successiva.${\displaystyle z_{i}}$

Il ribaltamento di più vertici durante un'iterazione è indicato come una valanga . È garantito che ogni valanga si fermerà prima o poi, cioè dopo un numero finito di rovesciamenti si raggiunge una configurazione stabile tale che l'automa sia ben definito. Inoltre, sebbene vi siano spesso molte scelte possibili per l'ordine in cui rovesciare i vertici, la configurazione stabile finale non dipende dall'ordine scelto; questo è un senso in cui il mucchio di sabbia è abeliano . Allo stesso modo, anche il numero di volte in cui ogni vertice si ribalta durante ogni iterazione è indipendente dalla scelta dell'ordine di ribaltamento.

Definizione (multigrafi finiti non orientati)

Per generalizzare il modello della pila di sabbia dalla griglia rettangolare del reticolo quadrato standard a un multigrafo finito non orientato arbitrario , viene specificato un vertice speciale chiamato sink che non può rovesciarsi. Una configurazione (stato) del modello è quindi una funzione che conta il numero non negativo di grani su ciascun vertice non sink. Un vertice non-sink con ${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle s\in V}$${\displaystyle z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle v\in V\setminus \{s\}}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg(v)}$

è instabile; può essere rovesciato, che invia uno dei suoi grani a ciascuno dei suoi vicini (non sink):

${\displaystyle z(v)\to z(v)-\deg(v)}$

${\displaystyle z(u)\to z(u)+1}$per tutti , .${\displaystyle u\sim v}$${\displaystyle u\neq s}$

L'automa cellulare quindi procede come prima, cioè aggiungendo, in ogni iterazione, una particella a un vertice non-sink scelto a caso e ribaltandosi finché tutti i vertici non sono stabili.

La definizione del modello della pila di sabbia data sopra per griglie rettangolari finite del reticolo quadrato standard può quindi essere vista come un caso speciale di questa definizione: si consideri il grafico che si ottiene aggiungendo un vertice aggiuntivo, il lavandino, e disegnando bordi aggiuntivi dal sink a ogni vertice limite di tale che il grado di ogni vertice non sink di è quattro. In questo modo, si possono definire anche modelli sandpile su griglie non rettangolari del reticolo quadrato standard (o di qualsiasi altro reticolo): Intersecare un sottoinsieme limitato di con . Contratto ogni bordo di cui due punti finali non sono in . Il singolo vertice rimanente al di fuori di quindi costituisce il pozzo del grafico del cumulo di sabbia risultante. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$

Configurazioni transitorie e ricorrenti

Nella dinamica dell'automa mucchio di sabbia definito sopra, alcune configurazioni stabili ( per tutti ) appaiono infinitamente spesso, mentre altre possono apparire solo un numero finito di volte (se non del tutto). I primi sono indicati come configurazioni ricorrenti , mentre i secondi sono indicati come configurazioni transitorie . Le configurazioni ricorrenti consistono quindi di tutte le configurazioni stabili non negative che possono essere raggiunte da qualsiasi altra configurazione stabile aggiungendo ripetutamente granelli di sabbia ai vertici e ribaltando. È facile vedere che la configurazione minimamente stabile , in cui ogni vertice trasporta granelli di sabbia, è raggiungibile da qualsiasi altra configurazione stabile (aggiungi grani a ogni vertice). Così, in modo equivalente, le configurazioni ricorrenti sono esattamente quelle configurazioni che possono essere raggiunte dalla configurazione minimamente stabile semplicemente aggiungendo granelli di sabbia e stabilizzando. ${\displaystyle 0\leq z(v)<4}$${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle z_{m}}$${\displaystyle z_{m}(v)=deg(v)-1}$${\displaystyle gradi(v)-z(v)-1\geq 0}$

Non tutte le configurazioni stabili non negative sono ricorrenti. Ad esempio, in ogni modello di cumulo di sabbia su un grafico costituito da almeno due vertici non sink collegati, ogni configurazione stabile in cui entrambi i vertici portano zero granelli di sabbia non è ricorrente. Per dimostrarlo, notiamo innanzitutto che l'aggiunta di granelli di sabbia può solo aumentare il numero totale di granelli trasportati dai due vertici insieme. Raggiungere una configurazione in cui entrambi i vertici portano zero particelle da una configurazione in cui questo non è il caso comporta quindi necessariamente passaggi in cui almeno uno dei due vertici viene rovesciato. Considera l'ultimo di questi passaggi. In questo passaggio, uno dei due vertici deve ribaltarsi per ultimo. Poiché il ribaltamento trasferisce un granello di sabbia a ogni vertice vicino, ciò implica che il numero totale di granelli trasportati da entrambi i vertici insieme non può essere inferiore a uno, il che conclude la dimostrazione.

Gruppo catasta di sabbia

Data una configurazione , per tutti , rovesciare vertici non-sink instabili su un grafo connesso finito fino a quando non rimane nessun vertice non-sink instabile porta a una configurazione stabile unica , che è chiamata stabilizzazione di . Date due configurazioni stabili e , possiamo definire l'operazione , corrispondente all'aggiunta di grani per vertici seguita dalla stabilizzazione del cumulo di sabbia risultante. ${\displaystyle z}$${\displaystyle z(v)\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$${\displaystyle z^{\circ }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z*w:=(z+w)^{\circ }}$

Dato un ordinamento arbitrario ma fisso dei vertici non sink, più operazioni di ribaltamento, che possono ad esempio verificarsi durante la stabilizzazione di una configurazione instabile, possono essere codificate in modo efficiente utilizzando il grafo Laplacian , dove è la matrice dei gradi ed è la matrice delle adiacenze di il grafo. Eliminando la riga e la colonna della corrispondenza con il sink si ottiene il grafico ridotto Laplacian . Quindi, quando si inizia con una configurazione e si rovescia ogni vertice per un totale di volte si ottiene la configurazione , dove è il prodotto di contrazione. Inoltre, se corrisponde al numero di volte in cui ogni vertice viene rovesciato durante la stabilizzazione di una data configurazione , allora ${\ Displaystyle \ Delta = DA}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Delta}$ ${\displaystyle \Delta '}$${\displaystyle z}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot}}~\mathbf {x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot}}}$${\displaystyle \mathbf {x}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z^{\circ}=z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot}}~\mathbf {x}}$

In questo caso si parla di funzione di ribaltamento o contachilometri (della stabilizzazione di ). ${\displaystyle \mathbf {x}}$${\displaystyle z}$

Sotto l'operazione , l'insieme delle configurazioni ricorrenti forma un gruppo abeliano isomorfo al cokernel del grafo ridotto Laplacian , cioè to , per cui denota il numero di vertici (compreso il sink). Più in generale, l'insieme delle configurazioni stabili (transitoria e ricorrente) forma un monoide commutativo sotto l'operazione . L' ideale minimo di questo monoide è quindi isomorfo al gruppo delle configurazioni ricorrenti. ${\displaystyle *}$${\displaystyle \Delta '}$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$${\displaystyle n}$${\displaystyle *}$

Il gruppo formato dalle configurazioni ricorrenti, così come il gruppo a cui il primo è isomorfo, è più comunemente indicato come il gruppo del cumulo di sabbia . Altri nomi comuni per lo stesso gruppo sono gruppo critico , gruppo Jacobiano o (meno spesso) gruppo Picard . Si noti, tuttavia, che alcuni autori denotano solo il gruppo formato dalle configurazioni ricorrenti come gruppo del mucchio di sabbia, riservando il nome gruppo Jacobiano o gruppo critico per il gruppo (isomorfo) definito da (o per le relative definizioni isomorfe). Infine, alcuni autori usano il nome Picard group per riferirsi al prodotto diretto del gruppo sandpile e , che appare naturalmente in un automa cellulare strettamente correlato al modello sandpile, indicato come il lancio del chip o il gioco del dollaro. ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Dati gli isomorfismi sopra indicati, l'ordine del gruppo sandpile è il determinante di , che per il teorema dell'albero della matrice è il numero di alberi di copertura del grafo. ${\displaystyle \Delta '}$

Criticità auto-organizzata

L'interesse originario del modello derivava dal fatto che nelle simulazioni su reticoli, esso è attratto dal suo stato critico , a quel punto la lunghezza di correlazione del sistema e il tempo di correlazione del sistema vanno all'infinito, senza alcuna regolazione fine di un parametro di sistema. Ciò contrasta con i precedenti esempi di fenomeni critici, come le transizioni di fase tra solido e liquido, o liquido e gas, in cui il punto critico può essere raggiunto solo mediante una regolazione precisa (ad esempio, della temperatura). Quindi, nel modello sandpile possiamo dire che la criticità è auto-organizzata .

Una volta che il modello della pila di sabbia raggiunge il suo stato critico, non c'è correlazione tra la risposta del sistema a una perturbazione ei dettagli di una perturbazione. Generalmente questo significa che far cadere un altro granello di sabbia sul mucchio potrebbe non far succedere nulla, o potrebbe causare il collasso dell'intero mucchio in una massiccia frana. Il modello mostra anche 1/ ƒ di rumore , una caratteristica comune a molti sistemi complessi in natura.

Questo modello mostra solo il comportamento critico in due o più dimensioni. Il modello della pila di sabbia può essere espresso in 1D; tuttavia, invece di evolvere al suo stato critico, il modello 1D sandpile raggiunge invece uno stato minimamente stabile in cui ogni sito reticolare va verso la pendenza critica.

Per due dimensioni, è stato ipotizzato che la teoria del campo conforme associata sia costituita da fermioni simplettici con carica centrale c  = -2.

Proprietà

Principio di minima azione

La stabilizzazione delle configurazioni del chip obbedisce a una forma di principio di minima azione : ogni vertice non si ribalta più del necessario nel corso della stabilizzazione. Questo può essere formalizzato come segue. Chiama una sequenza di rovesciamenti legale se rovescia solo vertici instabili e stabilizzazione se risulta in una configurazione stabile. Il modo standard per stabilizzare il cumulo di sabbia è trovare una sequenza legale massimale; vale a dire, rovesciando finché è possibile. Tale sequenza è ovviamente stabilizzante, e la proprietà abeliana del cumulo di sabbia è che tutte queste sequenze sono equivalenti fino alla permutazione dell'ordine di ribaltamento; cioè, per ogni vertice , il numero di volte in cui si rovescia è lo stesso in tutte le sequenze stabilizzanti legali. Secondo il principio di minima azione, una sequenza minima stabilizzante equivale anche alla permutazione dell'ordine di ribaltamento in una sequenza legale (e ancora stabilizzante). In particolare, la configurazione risultante da una sequenza stabilizzante minima è la stessa che risulta da una sequenza legale massima. ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

Più formalmente, se è un vettore tale che è il numero di volte in cui il vertice si ribalta durante la stabilizzazione (tramite il ribaltamento di vertici instabili) di una configurazione di chip , ed è un vettore integrale (non necessariamente non negativo) tale che è stabile, quindi per tutti i vertici . ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} (v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {n}}$${\displaystyle z-\mathbf {n} \Delta '}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} (v) \ leq \ mathbf {n} (v)}$${\displaystyle v}$

Limiti di scala

Animazione dell'identità del mucchio di sabbia su griglie quadrate di dimensioni crescenti. Il colore nero indica i vertici con 0 grani, il verde sta per 1, il viola sta per 2 e l'oro sta per 3.

L'animazione mostra la configurazione ricorrente corrispondente all'identità del gruppo del mucchio di sabbia su diverse griglie quadrate di dimensioni crescenti , per cui le configurazioni vengono ridimensionate per avere sempre la stessa dimensione fisica. Visivamente, le identità su griglie più grandi sembrano diventare sempre più dettagliate e "convergere in un'immagine continua". Matematicamente, questo suggerisce l'esistenza di limiti di scala dell'identità del cumulo di sabbia su griglie quadrate basate sulla nozione di convergenza debole* (o qualche altra nozione generalizzata di convergenza). Infatti, Wesley Pegden e Charles Smart hanno dimostrato l'esistenza di limiti di scala di configurazioni ricorrenti di pali di sabbia. In un ulteriore lavoro congiunto con Lionel Levine, usano il limite di scala per spiegare la struttura frattale del mucchio di sabbia su griglie quadrate. ${\displaystyle N\volte N}$${\displaystyle\geq 1}$

Generalizzazioni e relativi modelli

Modelli di pile di sabbia su griglie infinite

30 milioni di grani sono caduti in un punto della griglia quadrata infinita, quindi rovesciati secondo le regole del modello della pila di sabbia. Il colore bianco indica i siti con 0 grani, il verde sta per 1, il viola sta per 2, l'oro sta per 3. Il riquadro di delimitazione è 3967×3967.

Esistono diverse generalizzazioni del modello sandpile a griglie infinite. Una sfida in tali generalizzazioni è che, in generale, non è più garantito che alla fine ogni valanga si fermerà. Molte delle generalizzazioni considerano quindi solo la stabilizzazione delle configurazioni per le quali ciò può essere garantito.

Un modello piuttosto popolare sul reticolo quadrato (infinito) con siti è definito come segue: ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

Inizia con una configurazione non negativa di valori che è finita, il che significa ${\displaystyle z(x,y)\in \mathbf {Z} }$

${\displaystyle \sum _{x,y}z(x,y)<\infty.}$

Qualsiasi sito con ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle z(x,y)\geq 4}$

è instabile e può rovesciarsi (o sparare ), inviando uno dei suoi chip a ciascuno dei suoi quattro vicini:

${\displaystyle z(x,y)\rightarrow z(x,y)-4,}$

${\displaystyle z(x\pm 1,y)\rightarrow z(x\pm 1,y)+1,}$

${\displaystyle z(x,y\pm 1)\rightarrow z(x,y\pm 1)+1.}$

Poiché la configurazione iniziale è finita, è garantito che il processo termini, con i grani che si disperdono verso l'esterno.

Un caso speciale popolare di questo modello è dato quando la configurazione iniziale è zero per tutti i vertici tranne l'origine. Se l'origine porta un numero enorme di granelli di sabbia, la configurazione dopo il rilassamento forma schemi frattali (vedi figura). Quando si lascia che il numero iniziale di grani all'origine vada all'infinito, è stato dimostrato che le configurazioni stabilizzate ridimensionate convergevano verso un limite unico.

Modelli Sandpile su grafici diretti

Il modello sandpile può essere generalizzato a multigrafi diretti arbitrari. Le regole sono che ogni vertice con ${\displaystyle v}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg ^{+}(v)}$

è instabile; rovesciare di nuovo invia chip a ciascuno dei suoi vicini, uno lungo ogni bordo in uscita:

${\displaystyle z(v)\rightarrow z(v)-\deg ^{+}(v)+\deg(v,v)}$

e, per ciascuno : ${\displaystyle u\neq v}$

${\displaystyle z(u)\rightarrow z(u)+\deg(v,u)}$

dove è il numero di archi da a . ${\displaystyle \deg(v,u)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

In questo caso la matrice laplaciana non è simmetrica. Se specifichiamo un sink tale che ci sia un cammino da ogni altro vertice a , allora l'operazione di stabilizzazione su grafi finiti è ben definita e il gruppo sandpile può essere scritto ${\displaystyle}$${\displaystyle}$

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$

come prima.

L'ordine del gruppo sandpile è di nuovo il determinante di , che per la versione generale del teorema dell'albero della matrice è il numero di alberi di copertura orientati radicati nel pozzo. ${\displaystyle \Delta '}$

Il modello esteso del mucchio di sabbia

Dinamica del mucchio di sabbia indotta dalla funzione armonica H=x*y su una griglia quadrata 255x255.

Per comprendere meglio la struttura del gruppo del mucchio di sabbia per diverse griglie convesse finite del reticolo quadrato standard , Lang e Shkolnikov hanno introdotto il modello del mucchio di sabbia esteso nel 2019. Il modello del mucchio di sabbia esteso è definito quasi esattamente come il solito modello del mucchio di sabbia (cioè l'originale Bak–Tang–Wiesenfeld model ), eccetto che i vertici al confine della griglia possono ora portare un numero reale di grani non negativo. Al contrario, i vertici all'interno della griglia possono ancora portare solo numeri interi di grani. Le regole di ribaltamento rimangono invariate, cioè si presume che sia i vertici interni che quelli di confine diventino instabili e si capovolgano se il numero di grani raggiunge o supera quattro. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle\partial\Gamma}$

Anche le configurazioni ricorrenti del modello di cumulo di sabbia esteso formano un gruppo abeliano, denominato gruppo di cumulo di sabbia esteso , di cui il solito gruppo di cumulo di sabbia è un sottogruppo discreto . Diversamente dal solito gruppo di cumuli di sabbia, il gruppo di cumuli di sabbia esteso è comunque un gruppo di Lie continuo . Poiché è generato solo aggiungendo granelli di sabbia al confine della griglia, il gruppo di cumuli di sabbia esteso ha inoltre la topologia di un toro di dimensione e un volume dato dall'ordine del consueto gruppo di cumuli di sabbia. ${\displaystyle\partial\Gamma}$${\displaystyle |\parziale \Gamma |}$

Di specifico interesse è la questione di come le configurazioni ricorrenti cambino dinamicamente lungo le continue geodetiche di questo toroide passante per l'identità. Questa domanda porta alla definizione della dinamica del cumulo di sabbia

${\displaystyle D_{H}(t)=(It\Delta H)^{\circ }}$ (modello a catasta di sabbia esteso)

rispettivamente

${\displaystyle {\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }}$ (normale modello a catasta di sabbia)

indotta dalla funzione armonica a valori interi al tempo , con l'identità del gruppo del mucchio di sabbia e la funzione del pavimento. Per le funzioni armoniche polinomiali di basso ordine, la dinamica del cumulo di sabbia è caratterizzata dalla trasformazione graduale e dall'apparente conservazione delle toppe che costituiscono l'identità del cumulo di sabbia. Ad esempio, le dinamiche armoniche indotte da assomigliano al "distensione graduale" dell'identità lungo le diagonali principali visualizzate nell'animazione. Le configurazioni che appaiono nella dinamica indotta dalla stessa funzione armonica su griglie quadrate di diverse dimensioni sono state inoltre congetturate a debole-* convergenza, il che significa che presumibilmente esistono limiti di scala per esse. Ciò propone una rinormalizzazione naturale per i gruppi di pile di sabbia estesi e usuali, ovvero una mappatura delle configurazioni ricorrenti su una data griglia a configurazioni ricorrenti su una sottogriglia. Informalmente, questa rinormalizzazione mappa semplicemente le configurazioni che appaiono in un dato momento nella dinamica del cumulo di sabbia indotta da qualche funzione armonica sulla griglia più grande alle configurazioni corrispondenti che compaiono contemporaneamente nella dinamica del cumulo di sabbia indotta dalla restrizione di alla rispettiva sottogriglia . ${\displaystyle H}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}}$${\displaystyle io}$${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$${\displaystyle H=xy}$${\displaystyle}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Il mucchio di sabbia divisibile

Un modello fortemente correlato è il cosiddetto modello del cumulo di sabbia divisibile , introdotto da Levine e Peres nel 2008, in cui, invece di un numero discreto di particelle in ciascun sito , c'è un numero reale che rappresenta la quantità di massa sul sito. Nel caso tale massa sia negativa, si può intendere come un buco. Il ribaltamento si verifica ogni volta che un sito ha una massa maggiore di 1; rovescia l'eccesso in modo uniforme tra i suoi vicini determinando la situazione che, se un sito è pieno in un momento , sarà pieno per tutti i tempi successivi. ${\displaystyle x}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle}$

Riferimenti culturali

Il mucchio di sabbia Bak-Tang-Wiesenfeld è stato menzionato nell'episodio "Rampage" di Numb3rs , mentre il matematico Charlie Eppes spiega ai suoi colleghi una soluzione a un'indagine penale.

Il gioco per computer Hexplode è basato sul modello abeliano della pila di sabbia su una griglia esagonale finita dove invece del posizionamento casuale dei grani, i grani vengono posizionati dai giocatori.

Riferimenti

Ulteriori letture

• Per Bak (1996). Come funziona la natura: la scienza della criticità auto-organizzata . New York: Copernico. ISBN 978-0-387-94791-4.
• Per Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1987). "Cricità auto-organizzata: una spiegazione del rumore 1/ ƒ ". Lettere di revisione fisica . 59 (4): 381-384. Bibcode : 1987PhRvL..59..381B . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.381 . PMID  10035754 .
• Per Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1988). "Cricità auto-organizzata". Revisione fisica A . 38 (1): 364-374. Bibcode : 1988PhRvA..38..364B . doi : 10.1103/PhysRevA.38.364 . PMID  9900174 .
• Cori, Robert; Rossin, Dominique; Salvy, Bruno (2002). "Ideali polinomiali per i cumuli di sabbia e le loro basi di Gröbner" (PDF) . Teore. Calcola. Sci . 276 (1–2): 1–15. doi : 10.1016/S0304-3975(00)00397-2 . Zbl  1002.68105 .
• Klivans, Carolina (2018). La matematica del chip-firing . CRC Press.
• Perkinson, David; Perlman, Jacob; Wilmes, John (2013). "Geometria algebrica dei cumuli di sabbia". In Amini, Omid; panettiere, Matteo; Faber, Xander (a cura di). Geometria tropicale e non archimedea. Workshop Bellairs in teoria dei numeri, geometria tropicale e non di Archimede, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, 6-13 maggio 2011 . Matematica Contemporanea. 605 . Providence, RI: Società matematica americana . pp. 211–256. CiteSeerX  10.1.1.760.283 . doi : 10.1090/conm/605/12117 . ISBN 978-1-4704-1021-6. S2CID  7851577 . Zbl  1281.14002 .

link esterno

• Garcia Puente, Luis David. "Sandpiles" (video di YouTube) . YouTube . Brady Haran . Estratto il 15 gennaio 2017 .
• Ellenberg, Giordania (2021-10-06). "La matematica dell'incredibile Sandpile" . Nautilus trimestrale .