Batchelor-Chandrasekhar equazione - Batchelor–Chandrasekhar equation

L' equazione Batchelor-Chandrasekhar è l'equazione di evoluzione per le funzioni scalari che definisce il tensore di correlazione di una turbolenza assialsimmetrica omogenea, dal nome George Batchelor e Subrahmanyan Chandrasekhar . Hanno sviluppato la teoria della turbolenza omogenea axisymmetric sulla base di Howard P. Robertson lavoro s' sulla turbolenza isotropa usando il principio invariante. Questa equazione è un'estensione di un'equazione Kármán-Howarth da isotropo alla turbolenza assialsimmetrica.

descrizione matematica

La teoria si basa sul principio che le proprietà statistiche sono invarianti per rotazioni intorno una direzione particolare (per esempio), e riflessioni in piani contenenti e perpendicolari . Questo tipo di assesimmetrico è talvolta indicato come forte assesimmetrico o assesimmetrico in senso forte , al contrario di assesimmetrico debole , dove riflessioni in piani perpendicolari o piani contenenti non sono ammessi. ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$

Lasciare la correlazione a due punti per turbolenza omogenea essere . Un singolo scalare descrive questo tensore correlazione in turbolenza isotropa, che, si scopre per turbolenza assialsimmetrici, due funzioni scalari sono sufficienti per specificare univocamente tensore di correlazione. Infatti, Batchelor era in grado di esprimere il tensore di correlazione in termini di due funzioni scalari, ma finito con quattro funzioni scalari, tuttavia, Chandrasekhar hanno dimostrato che potrebbe essere espresso con soltanto due funzioni scalari esprimendo il tensore assialsimmetrici solenoidale come il riccio di un generale tensore skew assialsimmetrico (reflectionally tensore non invariante). ${\ Displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r} , t)}}}$

Lasciate il vettore unitario che definisce l'asse di simmetria del flusso, quindi abbiamo due variabili scalari, e . Poiché , è chiaro che rappresenta il coseno dell'angolo tra e . Lasciare e essere le due funzioni scalari che descrive la funzione di correlazione, allora il tensore assialsimmetrico più generale che è solenoidale (incomprimibile) è data da, ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} = r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ lambda}} = r \ mu}$ ${\ Displaystyle | {\ boldsymbol {\ lambda}} | = 1}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle Q_ {1} (r, \ mu, t)}$ ${\ Displaystyle Q_ {2} (r, \ mu, t)}$

{\ Displaystyle R_ {ij} = AR_ {i} r_ {j} + B \ delta _ {ij} + C \ lambda _ {i} \ lambda _ {j} + D (\ lambda _ {i} r_ {j } + r_ {i} \ lambda _ {j})}

dove

{\ Displaystyle {\ begin {} allineato A = {} & (D_ {r} -D _ {\ mu \ mu}) Q_ {1} + D_ {r} Q_ {2}, \\ [4pt] B = { } & [- (r ^ {2} D_ {r} + r \ mu D _ {\ mu} +2) + r ^ {2} (1- \ mu ^ {2}) D _ {\ mu \ mu} - r \ mu D _ {\ mu}] Q_ {1} \\ & {} - [r ^ {2} (1- \ mu ^ {2}) D_ {r} 1] Q_ {2}, \\ [ 4pt] C = {} & - r ^ {2} D _ {\ mu \ mu} Q_ {1} + (r ^ {2} D_ {r} +1) Q_ {2}, \\ [4pt] D = {} e (r \ mu D _ {\ mu} +1) D _ {\ mu} Q_ {1} r \ mu D_ {r} Q_ {2}. \ end {allineata}}}

Gli operatori differenziali appaiono nelle espressioni di cui sopra sono definiti come

{\ Displaystyle {\ begin {allineato} & D_ {r} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ r parziale}} - {\ frac {\ mu} {r ^ {2 }}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}}, \\ & D _ {\ mu} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}} \\ & D _ {\ mu \ mu} = D _ {\ mu} D _ {\ mu} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ mu ^ {2}}}. \ end {allineata}}}

Poi le equazioni di evoluzione (forma equivalente di equazione Kármán-Howarth ) per le due funzioni scalari sono date da

{\ Displaystyle {\ begin {allineato} {\ frac {\ Q_ parziale {1}} {\ t parziale}} & = 2 \ nu \ Delta Q_ {1} + S_ {1}, {\\ \ frac {\ Q_ parziale {2}} {\ t parziale}} & = 2 \ nu (\ Delta Q_ {2} + 2D _ {\ mu \ mu} Q_ {1}) + S_ {2} \ end {allineata}}}

dove è la viscosità cinematica e ${\ Displaystyle \ nu}$

{\ Displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ r parziale ^ {2}}} + {\ frac {4} {r}} {\ frac {\ partial} {\ r parziale} } + {\ frac {1- \ mu ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ mu ^ {2}}} - {\ frac { 4 \ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}}.}

Le funzioni scalari e sono collegati alla triplice tensore correlata , esattamente nello stesso modo e sono collegati ai due punti tensore correlato . Il tensore triply correlato è ${\ Displaystyle S_ {1} (r, \ mu, t)}$ ${\ Displaystyle S_ {2} (r, \ mu, t)}$ ${\ Displaystyle S_ {ij}}$ ${\ Displaystyle Q_ {1} (r, \ mu, t)}$ ${\ Displaystyle Q_ {2} (r, \ mu, t)}$ ${\ Displaystyle R_ {ij}}$

{\ Displaystyle {\ begin {allineato} S_ {ij} = {} e {\ frac {\ partial} {\ r_ parziale {k}}} \ left ({\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x} , t) u_ {k} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} - {\ overline {u_ {i} (\ mathbf { x}, t) u_ {k} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} \ right) \\ [4pt] e {} + {\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ overline {\ partial p (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} {\ r_ parziale {i}}} - {\ frac {\ overline {\ partial p (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) u_ {i} (\ mathbf {x}, t)}} {\ r_ parziale {j}}} \ right). \ end {allineata}}}

Qui è la densità del fluido. ${\ Displaystyle \ rho}$

Proprietà

La traccia del tensore correlazione riduce a ${\ Displaystyle R_ {ii} = r ^ {2} (1- \ mu ^ {2}) (D _ {\ mu \ mu} Q_ {1} {r} -D_ Q_ {2}) - 2Q_ {2} -2 (r ^ {2} D_ {r} + 2r \ mu D _ {\ mu} 3) Q_ {1}.}$
La condizione di omogeneità implica che sia e sono funzioni anche di e . ${\ Displaystyle R_ {ij} (- \ mathbf {r}) = R_ {ji} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle Q_ {1}}$ ${\ Displaystyle Q_ {2}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle r \ mu}$

Decadimento della turbolenza

Durante il decadimento, se trascuriamo scalari triple correlazione, allora le equazioni si riducono a una assialsimmetrici equazioni calore cinque dimensionali,

{\ Displaystyle {\ begin {allineato} {\ frac {\ Q_ parziale {1}} {\ t parziale}} & = 2 \ nu \ Delta Q_ {1}, {\\ \ frac {\ Q_ parziale {2} } {\ t parziale}} & = 2 \ nu (\ Delta Q_ {2} + 2D _ {\ mu \ mu} Q_ {1}) \ end {allineata}}}

Soluzioni a queste equazione del calore pentadimensionale è stato risolto da Chandrasekhar. Le condizioni iniziali possono essere espresse in termini di polinomi Gegenbauer (senza perdita di generalità),

{\ Displaystyle {\ begin {allineato} Q_ {1} (r, \ mu, 0) e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Q_ {2n} ^ {(1)} (r) C_ {2n} ^ {3/2} (\ mu), \\ Q_ {2} (r, \ mu, 0) e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Q_ {2n} ^ {( 2)} (r) C_ {2n} ^ {3/2} (\ mu), \ end {allineata}}}

dove sono polinomi Gegenbauer . Le soluzioni sono richiesti ${\ Displaystyle C_ {2n} ^ {3/2} (\ mu)}$

{\ Displaystyle {\ begin {allineato} Q_ {1} (r, \ mu, t) & = {\ frac {e ^ {- r ^ {2} / 8 \ nu t}} {32 (\ nu t) ^ {5/2}}} \ somma _ {n = 0} ^ {\ infty} C_ {2n} ^ {3/2} (\ mu) \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- r '^ {2} / 8 \ nu t} r' ^ {4} Q_ {2n} ^ {(1)} (R ') {\ frac {I_ {2n + 3/2} (rr' / 4 \ nu t)} {(rr '/ 4 \ nu t) ^ {3/2}}} \ dr', \\ Q_ {2} (r, \ mu, t) = {& \ frac {e ^ {- r ^ {2} / 8 \ nu t}} {32 (\ nu t) ^ {5/2}}} \ somma _ {n = 0} ^ {\ infty} C_ {2n} ^ {3/2} (\ mu) \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- r '^ {2} / 8 \ nu t} r' ^ {4} Q_ {2n} ^ {(2)} (r' ) {\ frac {I_ {2n + 3/2} (rr '/ 4 \ nu t)} {(rr' / 4 \ nu t) ^ {3/2}}} \ dr '\\ & \ 4 \ nu \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {dt '} {[8 \ pi \ nu (t-t')] ^ {5/2}}} \ int \ int \ int \ int \ int \ left ({\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} Q_ {1}} {\ partial \ mu ^ {2}}} \ right) _ {r '\ mu', t '} e ^ {- | r-r' | ^ {2} / 8 \ nu (t-t ')} \ dx_ {1}' dx_ {2} 'dx_ {3}' dx_ {4} 'dx_ {5}', \ end {allineata}}}

dove è la funzione di Bessel del primo tipo . Come , le soluzioni diventano indipendente , ${\ Displaystyle I_ {2n + 3/2}}$ ${\ Displaystyle t \ rightarrow \ infty}$ ${\ Displaystyle \ mu}$