Teorema di Brianchon - Brianchon's theorem

Teorema di Brianchon

In geometria , il teorema di Brianchon è un teorema che afferma che quando un esagono è circoscritto attorno a una sezione conica , le sue diagonali principali (quelle che collegano i vertici opposti) si incontrano in un unico punto. Prende il nome da Charles Julien Brianchon (1783–1864).

Dichiarazione formale

Sia un esagono formato da sei linee tangenti di una sezione conica . Quindi le linee (diagonali estese che collegano ciascuna vertici opposti) si intersecano in un unico punto , il punto Brianchon . ${\ displaystyle P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4} P_ {5} P_ {6}}$${\ displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {4}}}, \; {\ overline {P_ {2} P_ {5}}}, \; {\ overline {P_ {3} P_ {6}} }}$ ${\ displaystyle B}$

Connessione al teorema di Pascal

Il duale polare reciproco e proiettivo di questo teorema fornisce il teorema di Pascal .

Degenerazioni

Degenerazione a 3 tangenti del teorema di Brianchon

Come per il teorema di Pascal esistono anche degenerazioni per il teorema di Brianchon: facciamo coincidere due tangenti vicine. Il loro punto di intersezione diventa un punto della conica. Nel diagramma tre coppie di tangenti vicine coincidono. Questa procedura si traduce in una dichiarazione sulle inellipses dei triangoli. Da un punto di vista proiettiva due triangoli e giacciono prospetticamente con il centro . Ciò significa che esiste una collineazione centrale, che mappa l'una sull'altro triangolo. Ma solo in casi speciali questa collineation è un ridimensionamento affine. Ad esempio per un'inellipse di Steiner, dove il punto di Brianchon è il centroide. ${\ displaystyle P_ {1} P_ {3} P_ {5}}$${\ displaystyle P_ {2} P_ {4} P_ {6}}$${\ displaystyle B}$

Nell'aereo affine

Il teorema di Brianchon è vero sia nel piano affine ed il vero e proprio piano proiettivo . Tuttavia, la sua dichiarazione sul piano affine è in un certo senso meno informativa e più complicata di quella sul piano proiettivo . Considera, ad esempio, cinque linee tangenti a una parabola . Questi possono essere considerati lati di un esagono il cui sesto lato è la linea all'infinito , ma non c'è linea all'infinito nel piano affine. In due casi, una linea da un vertice (inesistente) al vertice opposto sarebbe una linea parallela a una delle cinque linee tangenti. Il teorema di Brianchon affermato solo per il piano affine dovrebbe quindi essere affermato diversamente in una situazione del genere.

Il duale proiettivo del teorema di Brianchon ha eccezioni nel piano affine ma non nel piano proiettivo.

Prova

Il teorema di Brianchon può essere dimostrato dall'idea di asse radicale o reciprocazione.

Guarda anche

• Teorema dei sette cerchi
• Teorema di Pascal

Riferimenti