C*-algebra - C*-algebra

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale , una C ^∗ -algebra (pronunciata "C-stella") è un'algebra di Banach insieme a un'involuzione che soddisfa le proprietà dell'aggiunto . Un caso particolare è quello di un'algebra complessa A di operatori lineari continui su uno spazio di Hilbert complesso con due proprietà aggiuntive:

• A è un insieme topologicamente chiuso nella topologia norma degli operatori.
• A è chiuso sotto l'operazione di prendere aggiunti di operatori.

Un'altra importante classe di C*-algebre non di Hilbert include l'algebra delle funzioni continue a valori complessi su X che si annullano all'infinito, dove X è uno spazio di Hausdorff localmente compatto . ${\displaystyle C_{0}(X)}$

Le C*-algebre sono state inizialmente considerate principalmente per il loro uso nella meccanica quantistica per modellare le algebre di osservabili fisici . Questa linea di ricerca iniziò con la meccanica delle matrici di Werner Heisenberg e in una forma più sviluppata matematicamente con Pascual Jordan intorno al 1933. Successivamente, John von Neumann tentò di stabilire un quadro generale per queste algebre, che culminò in una serie di articoli sugli anelli di operatori. Questi articoli consideravano una classe speciale di C*-algebre che ora sono conosciute come algebre di von Neumann .

Intorno al 1943, il lavoro di Israel Gelfand e Mark Naimark ha prodotto una caratterizzazione astratta delle C*-algebre senza alcun riferimento agli operatori su uno spazio di Hilbert.

Le C*-algebre sono ora uno strumento importante nella teoria delle rappresentazioni unitarie di gruppi localmente compatti , e sono usate anche nelle formulazioni algebriche della meccanica quantistica. Un'altra area di ricerca attiva è il programma per ottenere la classificazione, o per determinare l'estensione di quale classificazione è possibile, per C*-algebre nucleari semplici separabili .

Caratterizzazione astratta

Iniziamo con la caratterizzazione astratta delle C*-algebre data nel documento del 1943 di Gelfand e Naimark.

AC*-algebra, A , è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi , insieme a una mappa per con le seguenti proprietà: ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$${\textstyle x\in A}$

• È un'involuzione , per ogni x in A :

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• Per tutti x , y in A :

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Per ogni numero complesso in C e ogni x in A :

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$

• Per tutte le x in A :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Nota. Le prime tre identità dicono che A è una *-algebra . L'ultima identità è chiamata identità C* ed è equivalente a:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

che a volte è chiamata identità B*. Per la storia dietro i nomi C*- e B*-algebre, vedere la sezione della storia di seguito.

L'identità C* è un requisito molto forte. Ad esempio, insieme alla formula del raggio spettrale , implica che la norma C* è determinata in modo univoco dalla struttura algebrica:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ è non invertibile}}\}.}$

Una mappa delimitata lineare , π  : A → B , tra C * -algebre A e B è chiamato -homomorphism * se

• Per x ed y in A

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,}$

• Per x in A

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,}$

Nel caso delle C*-algebre, qualsiasi *-omomorfismo π tra C*-algebre è contrattivo , cioè limitato con norma ≤ 1. Inoltre, un *-omomorfismo iniettivo tra C*-algebre è isometrico . Queste sono conseguenze dell'identità C*.

Un *-omomorfismo biunivoco π è chiamato C*-isomorfismo , nel qual caso A e B sono detti isomorfi .

Un po' di storia: B*-algebre e C*-algebre

Il termine B*-algebra è stato introdotto da CE Rickart nel 1946 per descrivere le *-algebre di Banach che soddisfano la condizione:

• ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}$per ogni x nella data B*-algebra. (condizione B*)

Questa condizione implica automaticamente che l'involuzione * sia isometrica, cioè . Quindi, e quindi, una B*-algebra è anche una C*-algebra. Al contrario, la condizione C* implica la condizione B*. Questo non è banale e può essere dimostrato senza usare la condizione . Per questi motivi, il termine B*-algebra è usato raramente nella terminologia corrente ed è stato sostituito dal termine 'C*-algebra'. ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }$${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$

Il termine C*-algebra è stato introdotto da IE Segal nel 1947 per descrivere le sottoalgebre chiuse in norma di B ( H ), cioè lo spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert H . 'C' stava per 'chiuso'. Nel suo articolo Segal definisce una C*-algebra come "un'algebra uniformemente chiusa, autoaggiunta di operatori limitati su uno spazio di Hilbert".

Struttura delle C*-algebre

Le C*-algebre hanno un gran numero di proprietà tecnicamente convenienti. Alcune di queste proprietà possono essere stabilite utilizzando il calcolo funzionale continuo o mediante riduzione ad algebre C* commutative. In quest'ultimo caso, possiamo sfruttare il fatto che la struttura di questi è completamente determinata dall'isomorfismo di Gelfand .

Elementi autoaggiunti

Gli elementi autoaggiunti sono quelli della forma x = x *. L'insieme degli elementi di una C*-algebra A della forma x*x forma un cono convesso chiuso . Questo cono è identico agli elementi della forma xx* . Gli elementi di questo cono sono chiamati non negativi (o talvolta positivi , anche se questa terminologia è in conflitto con il suo uso per elementi di R ).

L'insieme degli elementi autoaggiunti di una C*-algebra A ha naturalmente la struttura di uno spazio vettoriale parzialmente ordinato ; l'ordinamento è solitamente indicato con ≥. In questo ordinamento, un elemento autoaggiunto x di A soddisfa x ≥ 0 se e solo se lo spettro di x è non negativo, se e solo se x = s*s per alcuni s . Due elementi autoaggiunti x e y di A soddisfano x ≥ y se x − y ≥ 0.

Questo sottospazio parzialmente ordinato permette la definizione di un funzionale lineare positivo su una C*-algebra, che a sua volta è usata per definire gli stati di una C*-algebra, che a sua volta può essere usata per costruire lo spettro di una C*- algebra usando la costruzione GNS .

Quozienti e identità approssimative

Qualsiasi C*-algebra A ha un'identità approssimata . Esiste infatti una famiglia diretta { e _λ } _λ∈I di elementi autoaggiunti di A tale che

${\displaystyle xe_{\lambda}\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ ogni volta che }}\lambda \leq \mu.}$

Nel caso A è separabile, A ha un'identità approssimata sequenziale. Più in generale, A avrà un'identità approssimata sequenziale se e solo se A contiene un elemento strettamente positivo , cioè un elemento h positivo tale che hAh è denso in A .

Usando identità approssimate, si può dimostrare che il quoziente algebrico di una C*-algebra per un ideale bilaterale proprio chiuso , con la norma naturale, è una C*-algebra.

Allo stesso modo, un ideale chiuso a due lati di una C*-algebra è esso stesso una C*-algebra.

Esempi

C*-algebre di dimensione finita

L'algebra M( n , C ) di n × n matrici su C diventa una C*-algebra se consideriamo le matrici come operatori sullo spazio euclideo, C ⁿ , e usiamo l' operatore norma ||·|| su matrici. L'involuzione è data dalla trasposta coniugata . Più in generale, si possono considerare somme dirette finite di algebre di matrici. Infatti, tutte le C*-algebre che sono di dimensione finita come spazi vettoriali sono di questa forma, fino all'isomorfismo. Il requisito autoaggiunto significa che le C*-algebre di dimensione finita sono semisemplici , da cui si può dedurre il seguente teorema di tipo Artin-Wedderburn :

Teorema. Una C*-algebra di dimensione finita, A , è canonicamente isomorfa a una somma diretta finita

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

dove min A è l'insieme delle proiezioni centrali autoaggiunte minime diverse da zero di A .

Ogni C*-algebra, Ae , è isomorfa (in modo non canonico) all'algebra a matrice completa M(dim( e ), C ). La famiglia finita indicizzata su min A data da {dim( e )} _e è detta vettore dimensione di A . Questo vettore determina in modo univoco la classe di isomorfismo di una C*-algebra di dimensione finita. Nel linguaggio di K-teoria , questo vettore è il cono positivo del K ₀ gruppo di A .

Una †-algebra (o, più esplicitamente, una -algebra chiusa ) è il nome usato occasionalmente in fisica per una C*-algebra di dimensione finita. Il pugnale , †, è usato nel nome perché i fisici usano tipicamente il simbolo per denotare un'aggiunta hermitiana e spesso non sono preoccupati per le sottigliezze associate a un numero infinito di dimensioni. (I matematici di solito usano l'asterisco, *, per denotare l'aggiunta hermitiana.) Le †-algebre hanno un posto di rilievo nella meccanica quantistica , e in particolare nella scienza dell'informazione quantistica .

Una generalizzazione immediata delle C*-algebre di dimensione finita sono le C*-algebre di dimensione approssimativamente finita .

C*-algebre di operatori

L'esempio prototipico di una C*-algebra è l'algebra B(H) di operatori lineari limitati (equivalentimente continui) definiti su uno spazio di Hilbert complesso H ; qui x* denota l' operatore aggiunto dell'operatore x  : H → H . Infatti, ogni C*-algebra, A , è *-isomorfa a una sottoalgebra chiusa aggiunta norma-chiusa di B ( H ) per un opportuno spazio di Hilbert, H ; questo è il contenuto del teorema di Gelfand-Naimark .

C*-algebre di operatori compatti

Lasciate che H sia un separabili spazio infinito-dimensionale di Hilbert. L'algebra K ( H ) degli operatori compatti su H è una sottoalgebra chiusa norma di B ( H ). È anche chiuso per involuzione; quindi è una C*-algebra.

Le C*-algebre concrete di operatori compatti ammettono una caratterizzazione simile al teorema di Wedderburn per le C*-algebre di dimensione finita:

Teorema. Se A è una C*-subalgebra di K ( H ), allora esistono spazi di Hilbert { H _i } _{i ∈ I} tali che

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

dove la somma (C*-)diretta è costituita dagli elementi ( T _i ) del prodotto cartesiano Π K ( H _i ) con || T _io || → 0.

Sebbene K ( H ) non abbia un elemento di identità, può essere sviluppata un'identità approssimata sequenziale per K ( H ). Nello specifico, H è isomorfo allo spazio delle successioni quadrate sommabili l ² ; possiamo assumere che H = l ² . Per ogni numero naturale n sia H _n il sottospazio di successioni di l ² che si annullano per indici k ≥ n e sia e _n la proiezione ortogonale su H _n . La successione { e _n } _n è un'identità approssimata per K ( H ).

K ( H ) è un ideale chiuso a due lati di B ( H ). Per spazi di Hilbert separabili, è l'ideale unico. Il quoziente di B ( H ) per K ( H ) è l' algebra di Calkin .

C*-algebre commutative

Lasciate che X sia un localmente compatto spazio di Hausdorff. Lo spazio delle funzioni continue a valori complessi su X che si annullano all'infinito (definito nell'articolo sulla compattezza locale ) forma una C*-algebra commutativa per moltiplicazione e addizione puntuale. L'involuzione è coniugazione puntuale. ha un elemento moltiplicativo unitario se e solo se è compatto. Come ogni C*-algebra, ha un'identità approssimata . Nel caso di questo è immediata: considerare l'insieme diretto di sottoinsiemi compatti di , e per ogni compatto let essere una funzione di supporto compatto che è identicamente 1 su . Tali funzioni esistono per il teorema di estensione di Tietze , che si applica a spazi di Hausdorff localmente compatti. Qualsiasi sequenza di funzioni del genere è un'identità approssimativa. ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{f_{K}\}}$

La rappresentazione di Gelfand afferma che ogni C*-algebra commutativa è *-isomorfa all'algebra , dove è lo spazio dei caratteri dotati della topologia debole* . Inoltre, se è isomorfo a as C*-algebre, ne consegue che e sono omeomorfi . Questa caratterizzazione è una delle motivazioni per i programmi di topologia non commutativa e geometria non commutativa . ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

C*-algebra avvolgente

Data una *-algebra A di Banach con identità approssimata , esiste un unico (fino a C*-isomorfismo) C*-algebra E ( A ) e *-morfismo π da A in E ( A ) che è universale , cioè , ogni altro *-morfismo continuo π ' : A → B fattorizza unicamente attraverso π. L'algebra E ( A ) è detta algebra C*-enveloping della *-algebra A di Banach .

Di particolare importanza è la C*-algebra di un gruppo localmente compatto G . Questa è definita come la C*-algebra avvolgente dell'algebra dei gruppi di G . L'algebra C* di G fornisce il contesto per l' analisi armonica generale di G nel caso G non sia abeliano. In particolare, il duale di un gruppo localmente compatto è definito come lo spazio ideale primitivo del gruppo C*-algebra. Vedi spettro di una C*-algebra .

Algebre di von Neumann

Le algebre di von Neumann , note come algebre W* prima degli anni '60, sono un tipo speciale di algebra C*. Devono essere chiusi nella topologia dell'operatore debole , che è più debole della topologia della norma.

Il teorema di Sherman-Takeda implica che ogni C*-algebra ha una W*-algebra avvolgente universale, tale che qualsiasi omomorfismo ad una W*-algebra fattorizza attraverso di essa.

Tipo per C*-algebre

AC*-algebra A è di tipo I se e solo se per tutte le rappresentazioni non degeneri π di A l'algebra di von Neumann π( A )′′ (cioè il bicommutante di π( A )) è di tipo I von Neumann algebra. Infatti è sufficiente considerare solo rappresentazioni fattoriali, cioè rappresentazioni π per le quali π( A )′′ è un fattore.

Un gruppo localmente compatto si dice di tipo I se e solo se il suo gruppo C*-algebra è di tipo I.

Tuttavia, se una C*-algebra ha rappresentazioni non di tipo I, allora per i risultati di James Glimm ha anche rappresentazioni di tipo II e di tipo III. Quindi per C*-algebre e gruppi localmente compatti, ha senso solo parlare di proprietà di tipo I e non di tipo I.

C*-algebre e teoria quantistica dei campi

In meccanica quantistica , si descrive tipicamente un sistema fisico con una C*-algebra A con elemento unitario; gli elementi autoaggiunti di A (elementi x con x* = x ) sono pensati come gli osservabili , le quantità misurabili, del sistema. Uno stato del sistema è definito come un funzionale positivo su A (un'applicazione C -lineare φ : A → C con φ( u*u ) ≥ 0 per ogni u ∈ A ) tale che φ(1) = 1. il valore dell'osservabile x , se il sistema è nello stato φ, è allora φ( x ).

Questo approccio C*-algebra è utilizzato nell'assiomatizzazione di Haag-Kastler della teoria quantistica locale dei campi , dove ogni insieme aperto dello spaziotempo di Minkowski è associato a una C*-algebra.

Guarda anche

• Algebra di Banach
• Banach *-algebra
• *-algebra
• Hilbert C*-modulo
• Operatore K-teoria
• Sistema di operatori , un sottospazio unitario di una C*-algebra che è *-chiusa.
• Costruzione Gelfand-Naimark-Segal

Appunti

Riferimenti

• Arveson, W. (1976), Un invito a C*-Algebra , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. Un'eccellente introduzione all'argomento, accessibile a coloro che hanno una conoscenza dell'analisi funzionale di base .
• Connes, Alain , Geometria non commutativa , ISBN 0-12-185860-X. Questo libro è ampiamente considerato come una fonte di nuovo materiale di ricerca, fornendo molte intuizioni di supporto, ma è difficile.
• Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1. Questo è un riferimento un po' datato, ma è ancora considerato un'esposizione tecnica di alta qualità. È disponibile in inglese dalla stampa dell'Olanda settentrionale.
• Doran, Robert S .; Belfi, Victor A. (1986), Caratterizzazioni di C*-algebre: I teoremi di Gelfand-Naimark , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
• Emch, G. (1972), Metodi algebrici in meccanica statistica e teoria quantistica dei campi , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3. Riferimento matematicamente rigoroso che fornisce un ampio background di fisica.
• AI Shtern (2001) [1994], "C*-algebra" , Enciclopedia della matematica , EMS Press
• Sakai, S. (1971), C*-algebre e W*-algebre , Springer, ISBN 3-540-63633-1.
• Segal, Irving (1947), "rappresentazioni irriducibili di algebre operatorie", Bulletin of the American Mathematical Society , 53 (2): 73-88, doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.