Geometria calibrata - Calibrated geometry

Nel campo matematico della geometria differenziale , una varietà calibrata è una varietà Riemanniana ( M , g ) di dimensione n dotata di un differenziale p -form φ (per alcuni 0 ≤ p ≤ n ) che è una calibrazione, il che significa che:

• φ è chiuso: d φ = 0, dove d è la derivata esterna
• per ogni x ∈ M e ogni sottospazio p- dimensionale orientato ξ di T _x M , φ | _ξ = λ vol _ξ con λ ≤ 1. Qui vol _ξ è la forma volumetrica di ξ rispetto a g .

Poni G _x ( φ ) = { ξ come sopra: φ | _ξ = vol _ξ }. (Affinché la teoria di essere banale, dobbiamo G _x ( φ ) per essere non vuoto.) Sia G ( φ ) sia l'unione di G _x ( φ ) per x in M .

La teoria delle calibrazioni è dovuta a R. Harvey, B. Lawson e altri. Molto prima (nel 1966) Edmond Bonan ha introdotto la varietà G ₂ e la varietà Spin (7) , costruì tutte le forme parallele e dimostrò che quelle varietà erano ricci piatte. Le varietà Quaternion-Kähler furono studiate simultaneamente nel 1967 da Edmond Bonan e Vivian Yoh Kraines e costruirono la forma 4 parallela.

Sottovarietà calibrate

Una p dimensionale sottovariet'a Σ di M si dice che sia un sottovariet'a calibrato rispetto φ (o semplicemente φ -calibrated) se T Σ sta nel G ( φ ).

Un famoso argomento di una riga mostra che le sottovarietà p calibrate riducono al minimo il volume all'interno della loro classe di omologia . Supponiamo infatti che Σ sia calibrato e Σ  ′ sia una sottovarietà p nella stessa classe di omologia. Poi

${\ displaystyle \ int _ {\ Sigma} \ mathrm {vol} _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} \ varphi = \ int _ {\ Sigma '} \ varphi \ leq \ int _ {\ Sigma' } \ mathrm {vol} _ {\ Sigma '}}$

dove la prima uguaglianza vale perché Σ è calibrata, la seconda uguaglianza è il teorema di Stokes (poiché φ è chiuso), e la disuguaglianza vale perché φ è una calibrazione.

Esempi

• Su una varietà di Kähler , le potenze opportunamente normalizzate della forma di Kähler sono calibrazioni e le sottovarietà calibrate sono le sottovarietà complesse . Ciò deriva dalla disuguaglianza di Wirtinger .
• Su una varietà di Calabi-Yau , la parte reale di una forma di volume olomorfa (opportunamente normalizzata) è una calibrazione, e le sottovarietà calibrate sono speciali sottovarietà Lagrangiane .
• Su una varietà G ₂ , sia la forma 3 che la forma doppia Hodge 4 definiscono le calibrazioni. Le sottovarietà calibrate corrispondenti sono chiamate sottovarietà associative e coassociative.
• Su una varietà Spin (7) , la forma 4 che definisce, nota come forma di Cayley, è una calibrazione. Le sottovarietà calibrate corrispondenti sono chiamate sottovarietà di Cayley.

Riferimenti

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