Equazione del cabestano - Capstan equation

Un esempio di quando la conoscenza dell'equazione del cabestano sarebbe stata utile. Il tubo bianco piegato contiene una corda per alzare e abbassare una tenda. Il tubo è piegato di 40 gradi in due punti. La linea blu indica un design più efficiente.

Un esempio di argani di contenimento e un argano a motore utilizzato per alzare le vele su una nave alta.

L' equazione del cabestano o equazione dell'attrito della cinghia , nota anche come formula di Eytelwein (da Johann Albert Eytelwein ), mette in relazione la forza di tenuta con la forza di carico se una linea flessibile è avvolta attorno a un cilindro (un dissuasore , un argano o un argano ).

A causa dell'interazione delle forze di attrito e della tensione, la tensione su una linea avvolta attorno a un cabestano può essere diversa su entrambi i lati del cabestano. Una piccola forza di tenuta esercitata su un lato può portare una forza di carico molto maggiore sull'altro lato; questo è il principio in base al quale opera un dispositivo di tipo argano.

Un argano di tenuta è un dispositivo a cricchetto che può girare solo in una direzione; una volta che un carico viene tirato in posizione in quella direzione, può essere trattenuto con una forza molto minore. Un argano motorizzato, chiamato anche argano, ruota in modo che la tensione applicata venga moltiplicata per l'attrito tra fune e argano. Su una nave alta un argano di tenuta e un argano a motore vengono utilizzati in tandem in modo che una piccola forza possa essere usata per sollevare una vela pesante e quindi la fune può essere facilmente rimossa dal cabestano a motore e legata.

In arrampicata su roccia con i cosiddetti top-roping , una persona più leggero può tenere (sosta) una persona più pesante a causa di questo effetto.

La formula è

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}\ e^{\mu \phi }~,}$

dove è la tensione applicata sulla linea, è la forza risultante esercitata sull'altro lato del cabestano, è il coefficiente di attrito tra la fune e i materiali del cabestano, ed è l'angolo totale percorso da tutte le spire della fune, misurato in radianti (cioè, con un giro completo l'angolo ). ${\displaystyle T_{\text{load}}}$${\displaystyle T_{\text{tieni premuto}}}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi =2\pi\,}$

Affinché la formula sia valida, devono essere vere diverse ipotesi:

1. La fune è sull'orlo dello scorrimento completo, cioè è il carico massimo che si può sostenere. Possono essere mantenuti anche carichi più piccoli, ottenendo un angolo di contatto effettivo più piccolo .${\displaystyle T_{\text{load}}}$${\displaystyle \phi}$
2. È importante che la linea non sia rigida, nel qual caso si perderebbe una forza significativa nella piegatura della linea strettamente attorno al cilindro. (L'equazione deve essere modificata per questo caso.) Ad esempio, un cavo Bowden è in una certa misura rigido e non obbedisce ai principi dell'equazione del cabestano.
3. La linea non è elastica .

Si può osservare che il guadagno di forza aumenta esponenzialmente con il coefficiente di attrito, il numero di spire attorno al cilindro e l'angolo di contatto. Notare che il raggio del cilindro non ha alcuna influenza sul guadagno di forza .

La tabella seguente elenca i valori del fattore in base al numero di giri e al coefficiente di attrito μ . ${\displaystyle e^{\mu \phi }\,}$

Dalla tavola è evidente perché raramente si vede una scotta (una fune al lato lasco di una vela) avvolta per più di tre giri attorno ad un argano. Il guadagno di forza sarebbe estremo oltre ad essere controproducente poiché c'è il rischio di una virata di guida , il risultato è che il foglio si sporchi, formerà un nodo e non si esaurirà quando viene alleggerito (allentando la presa sulla coda (estremità libera)).

È pratica antica e moderna che i verricelli dell'ancora e gli argani del fiocco siano leggermente svasati alla base, anziché cilindrici, per evitare che la cima ( ordito dell'ancora o scotta) scivoli verso il basso. La ferita corda più volte intorno al verricello può scivolare verso l'alto gradualmente, con poco rischio di giro a cavallo, a condizione che sia coda (estremità libera è tirato chiaro), a mano o un self-tailer.

Ad esempio, il fattore "153.552.935" (5 giri intorno a un argano con un coefficiente di attrito di 0,6) significa, in teoria, che un neonato sarebbe in grado di sostenere (non muovere) il peso di due superportaerei USS  Nimitz (97.000 tonnellate ciascuno, ma per il bambino sarebbe solo poco più di 1 kg). L'elevato numero di spire attorno al cabestano combinato con un coefficiente di attrito così elevato significa che è necessaria una forza aggiuntiva molto ridotta per mantenere in posizione un peso così elevato. I cavi necessari per sostenere questo peso, così come la capacità del cabestano di resistere alla forza di schiacciamento di quei cavi, sono considerazioni separate.

Generalizzazione dell'equazione del cabestano per una cinghia trapezoidale

L'equazione di attrito della cinghia per una cinghia trapezoidale è:

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}{e}^{\mu \phi /\sin(\alpha /2)}}$

dove è l'angolo (in radianti) tra i due lati piatti della puleggia contro cui preme la cinghia trapezoidale. Una cintura piatta ha un angolo effettivo di . ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \alpha =\pi}$

Il materiale di una cinghia trapezoidale o a serpentina multi-V tende a incunearsi nella scanalatura di accoppiamento in una puleggia all'aumentare del carico, migliorando la trasmissione della coppia.

Per la stessa trasmissione di potenza, una cinghia trapezoidale richiede una tensione inferiore rispetto a una cinghia piatta, aumentando la durata del cuscinetto.

Generalizzazione dell'equazione del cabestano per una fune che giace su una superficie ortotropa arbitraria

Se una fune giace in equilibrio sotto forze tangenziali su una superficie ortotropa ruvida, tutte e tre le seguenti condizioni sono soddisfatte:

1. Nessuna separazione – la reazione normale è positiva per tutti i punti della curva della fune: ${\displaystyle N}$

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$, dove è una curvatura normale della curva della fune.${\displaystyle k_{n}}$

2. Il coefficiente di attrito e l'angolo di trascinamento soddisfano i seguenti criteri per tutti i punti della curva ${\displaystyle \mu _{g}}$${\displaystyle\alpha}$

   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$

3. Valori limite delle forze tangenziali:

   Le forze alle due estremità della fune e soddisfano la seguente disuguaglianza${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega ds}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega ds}}$

   insieme a ${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2} }}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2} }}}},}$

   dove è una curvatura geodetica della curva della fune, è una curvatura di una curva della fune, è un coefficiente di attrito nella direzione tangenziale.${\displaystyle k_{g}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu _{\tau}}$

   Se poi${\displaystyle \omega =const}$${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\ frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}.}$

Questa generalizzazione è stata ottenuta da Konyukhov.

Guarda anche

• Attrito della cinghia
• Meccanica del contatto di attrito
• Amplificatore di coppia , un dispositivo che sfrutta l'effetto argano

Riferimenti

Ulteriori letture

• Arne Kihlberg, Kompendium i Mekanik för E1, del II, Göteborg 1980, 60-62.

link esterno

• Calcolatrice dell'equazione del cabestano