Categoria di gruppi - Category of groups

Struttura algebrica → Teoria dei gruppi Teoria dei gruppi
Nozioni di base Sottogruppo Sottogruppo normale Gruppo quoziente Prodotto (semi-) diretto Omomorfismi di gruppo kernel Immagine somma diretta prodotto corona semplice finito infinito continuo moltiplicativo additivo ciclico abeliano diedro nilpotente risolvibile azione Glossario della teoria dei gruppi Elenco degli argomenti di teoria dei gruppi
gruppi finiti Classificazione dei gruppi semplici finiti ciclico alternato Tipo di bugia sporadico Teorema di Cauchy Teorema di Lagrange teoremi di Sylow Teorema di Hall gruppo p Gruppo abeliano elementare Gruppo Frobenius Moltiplicatore Schur Gruppo simmetrico S n Klein quattro gruppi V Diedro gruppo D n Quaternione gruppo Q Gruppo diciclico Dic n
Gruppi discreti reticoli Interi ( )${\displaystyle \mathbb {Z}}$ Gruppo libero Gruppi modulari PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z}}$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z}}$ Gruppo aritmetico Reticolo gruppo iperbolico
Gruppi topologici e di Lie Solenoide Cerchio GL lineare generale ( n ) Lineare speciale SL( n ) Ortogonale O( n ) Euclidea E( n ) Speciale ortogonale SO( n ) U unitario ( n ) SU unitario speciale ( n ) Simplettico Sp( n ) Sol 2 FA 4 MI 6 MI 7 MI 8 Lorentz Poincaré conforme diffeomorfismo Ciclo continuo Gruppo di Lie dimensionale infinito O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Gruppi algebrici Gruppo algebrico lineare Gruppo riduttivo varietà abeliana Curva ellittica
v T e

In matematica , la categoria Grp (o Gp ) ha la classe di tutti i gruppi per gli oggetti e gli omomorfismi di gruppo per i morfismi . In quanto tale, è una categoria concreta . Lo studio di questa categoria è noto come teoria dei gruppi .

Relazione con altre categorie

Ci sono due funtori smemorati da Grp , M: Grp → Mon da gruppi a monoidi e U: Grp → Set da gruppi a insiemi . M ha due aggiunti : uno destro, I: Mon → Grp , e uno sinistro, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp è il funtore che invia ogni monoide al submonoide degli elementi invertibili e K: Mon → Grp è il funtore che invia ogni monoide al gruppo di Grothendieck di quel monoide. Il funtore dimentico U: Grp → Set ha un aggiunto sinistro dato dal composto KF: Set → Mon → Grp , dove F è il funtore libero ; questo funtore assegna ad ogni insieme S il gruppo libero su S.

Proprietà categoriali

I monomorfismi in Grp sono appunto gli omomorfismi iniettivi , gli epimorfismi sono appunto gli omomorfismi suriettivi , e gli isomorfismi sono appunto gli omomorfismi biiettivi .

La categoria Grp è sia completa che co-completa . Il prodotto teorico di categoria in Grp è solo il prodotto diretto di gruppi mentre il coprodotto teorico di categoria in Grp è il prodotto libero di gruppi. Gli oggetti zero in Grp sono i gruppi banali (costituiti solo da un elemento di identità).

Ogni morfismo f  : G → H in Grp ha un nucleo categoriale (dato dal nucleo ordinario dell'algebra ker f = { x in G | f ( x ) = e }), e anche un nucleo categoriale (dato da il gruppo fattoriale di H dalla chiusura normale di f ( G ) in H ). A differenza delle categorie abeliane, non è vero che ogni monomorfismo in Grp sia il nocciolo del suo cokernel.

Non additivo e quindi non abeliano

La categoria dei gruppi abeliani , Ab , è una sottocategoria completa di Grp . Ab è una categoria abeliana , ma Grp non lo è. In effetti, Grp non è nemmeno una categoria additiva , perché non esiste un modo naturale per definire la "somma" di due omomorfismi di gruppo. Una prova di ciò è la seguente: L'insieme dei morfismi dal gruppo simmetrico S ₃ di ordine tre a se stesso, , ha dieci elementi: un elemento z il cui prodotto su entrambi i lati con ogni elemento di E è z (l'omomorfismo inviando ogni elemento all'identità), tre elementi tali che il loro prodotto su un lato fisso sia sempre se stesso (le proiezioni sui tre sottogruppi di ordine due), e sei automorfismi. Se Grp fosse una categoria additiva, allora questo insieme E di dieci elementi sarebbe un anello . In ogni anello, l'elemento zero è individuato dalla proprietà che 0 x = x 0=0 per tutti gli x nell'anello, e quindi z dovrebbe essere lo zero di E . Tuttavia, non ci sono due elementi diversi da zero di E il cui prodotto è z , quindi questo anello finito non avrebbe divisori nulli . Un anello finito senza divisori nulli è un campo , ma non esiste un campo con dieci elementi perché ogni campo finito ha per ordine la potenza di un numero primo. ${\displaystyle E=\nomeoperatore {Hom} (S_{3},S_{3})}$

Sequenze esatte

La nozione di sequenza esatta è significativa in Grp , e alcuni risultati della teoria delle categorie abeliane, come il nove lemma , il cinque lemma , e le loro conseguenze sono vere in Grp . Il lemma serpente tuttavia non è vero in Grp .

Grp è una categoria normale .

Riferimenti

• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, l'Analisi Categoriale della Logica (Revised ed.). Pubblicazioni di Dover . ISBN 978-0-486-45026-1. Estratto il 25-11-2009 .