Teoria del caos - Chaos theory

Un grafico dell'attrattore di Lorenz per valori r = 28 , σ = 10 , b = 8/3
Un'animazione di un pendolo a doppia asta a un'energia intermedia che mostra un comportamento caotico. Avviare il pendolo da una condizione iniziale leggermente diversa comporterebbe una traiettoria molto diversa . Il pendolo a doppia asta è uno dei sistemi dinamici più semplici con soluzioni caotiche.

La teoria del caos è una teoria interdisciplinare e una branca della matematica incentrata sullo studio del caos : sistemi dinamici i cui stati apparentemente casuali di disordine e irregolarità sono in realtà governati da schemi sottostanti e leggi deterministiche altamente sensibili alle condizioni iniziali . La teoria del caos afferma che all'interno dell'apparente casualità dei sistemi complessi caotici , ci sono schemi sottostanti, interconnessione, cicli di feedback costanti , ripetizione, autosomiglianza , frattali e auto-organizzazione . L' effetto farfalla , un principio alla base del caos, descrive come un piccolo cambiamento in uno stato di un sistema deterministico non lineare può comportare grandi differenze in uno stato successivo (il che significa che esiste una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali). Una metafora di questo comportamento è che una farfalla che sbatte le ali in Brasile può causare un tornado in Texas .

Piccole differenze nelle condizioni iniziali, come quelle dovute a errori nelle misurazioni oa errori di arrotondamento nel calcolo numerico, possono produrre risultati ampiamente divergenti per tali sistemi dinamici, rendendo in generale impossibile la previsione a lungo termine del loro comportamento. Ciò può accadere anche se questi sistemi sono deterministici , nel senso che il loro comportamento futuro segue un'evoluzione unica ed è completamente determinato dalle loro condizioni iniziali, senza elementi casuali coinvolti. In altre parole, la natura deterministica di questi sistemi non li rende prevedibili. Questo comportamento è noto come caos deterministico , o semplicemente caos . La teoria è stata riassunta da Edward Lorenz come:

Caos: quando il presente determina il futuro, ma il presente approssimativo non determina approssimativamente il futuro.

Il comportamento caotico esiste in molti sistemi naturali, inclusi il flusso dei fluidi, le irregolarità del battito cardiaco, il tempo e il clima. Si manifesta spontaneamente anche in alcuni sistemi con componenti artificiali, come la borsa e la circolazione stradale . Questo comportamento può essere studiato attraverso l'analisi di un modello matematico caotico , o attraverso tecniche analitiche come i grafici di ricorrenza e le mappe di Poincaré . La teoria del caos ha applicazioni in una varietà di discipline, tra cui meteorologia , antropologia , sociologia , scienze ambientali , informatica , ingegneria , economia , ecologia , gestione delle crisi pandemiche . La teoria ha costituito la base per campi di studio come i sistemi dinamici complessi , la teoria del confine del caos e i processi di autoassemblaggio .

introduzione

La teoria del caos riguarda i sistemi deterministici il cui comportamento può, in linea di principio, essere previsto. I sistemi caotici sono prevedibili per un po' e poi "sembrano" diventare casuali. La quantità di tempo in cui il comportamento di un sistema caotico può essere efficacemente previsto dipende da tre fattori: quanta incertezza può essere tollerata nella previsione, quanto accuratamente può essere misurato il suo stato attuale e una scala temporale che dipende dalla dinamica del sistema , chiamato il tempo di Lyapunov . Alcuni esempi di tempi di Lyapunov sono: circuiti elettrici caotici, circa 1 millisecondo; sistemi meteorologici, pochi giorni (non dimostrato); il sistema solare interno, da 4 a 5 milioni di anni. Nei sistemi caotici, l'incertezza in una previsione aumenta esponenzialmente con il tempo trascorso. Quindi, matematicamente, raddoppiare il tempo di previsione più del quadrato dell'incertezza proporzionale nella previsione. Ciò significa che, in pratica, non è possibile fare una previsione significativa su un intervallo di più di due o tre volte il tempo di Lyapunov. Quando non è possibile fare previsioni significative, il sistema appare casuale.

La teoria del caos è un metodo di analisi qualitativa e quantitativa per indagare il comportamento dei sistemi dinamici che non può essere spiegato e previsto da singole relazioni di dati, ma deve essere spiegato e previsto da intere relazioni di dati continue.

Dinamiche caotiche

La mappa definita da x → 4 x (1 – x ) e y → ( x + y) mod 1 mostra la sensibilità alle posizioni x iniziali. Qui, due serie di valori x e y divergono notevolmente nel tempo da una piccola differenza iniziale.

Nell'uso comune, "caos" significa "uno stato di disordine". Tuttavia, nella teoria del caos, il termine è definito in modo più preciso. Sebbene non esista una definizione matematica universalmente accettata di caos, una definizione comunemente usata, originariamente formulata da Robert L. Devaney , dice che per classificare un sistema dinamico come caotico, deve avere queste proprietà:

  1. deve essere sensibile alle condizioni iniziali ,
  2. deve essere topologicamente transitivo ,
  3. deve avere orbite periodiche dense .

In alcuni casi, è stato dimostrato che le ultime due proprietà di cui sopra implicano effettivamente sensibilità alle condizioni iniziali. Nel caso a tempo discreto, questo è vero per tutte le mappe continue su spazi metrici . In questi casi, anche se spesso è la proprietà più significativa dal punto di vista pratico, non è necessario indicare nella definizione la "sensibilità alle condizioni iniziali".

Se l'attenzione è ristretta agli intervalli , la seconda proprietà implica le altre due. Una definizione alternativa e generalmente più debole di caos utilizza solo le prime due proprietà nell'elenco precedente.

Il caos come rottura spontanea della supersimmetria topologica

Nei sistemi dinamici a tempo continuo, il caos è il fenomeno della rottura spontanea della supersimmetria topologica, che è una proprietà intrinseca degli operatori di evoluzione di tutte le equazioni differenziali stocastiche e deterministiche (parziali). Questa immagine del caos dinamico funziona non solo per i modelli deterministici, ma anche per i modelli con rumore esterno che è un'importante generalizzazione dal punto di vista fisico, poiché in realtà tutti i sistemi dinamici subiscono l'influenza dai loro ambienti stocastici. All'interno di questo quadro, il comportamento dinamico a lungo raggio associato alla dinamica caotica (ad esempio, l' effetto farfalla ) è una conseguenza del teorema di Goldstone , nell'applicazione alla rottura spontanea della supersimmetria topologica.

Sensibilità alle condizioni iniziali

Equazioni di Lorenz utilizzate per generare grafici per la variabile y. Le condizioni iniziali per x e z sono stati mantenuti uguali ma quelli per y vengono cambiati tra 1.001 , 1.0001 e 1,00,001 mila . I valori per , e erano rispettivamente 45,92 , 16 e 4 . Come si può notare dal grafico, anche la minima differenza nei valori iniziali provoca nei tre casi cambiamenti significativi dopo circa 12 secondi di evoluzione. Questo è un esempio di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

La sensibilità alle condizioni iniziali significa che ogni punto in un sistema caotico è arbitrariamente approssimato da altri punti che hanno percorsi o traiettorie future significativamente differenti. Pertanto, un cambiamento o una perturbazione arbitrariamente piccoli della traiettoria attuale può portare a comportamenti futuri significativamente diversi.

La sensibilità alle condizioni iniziali è popolarmente conosciuta come " effetto farfalla ", così chiamato per il titolo di un articolo dato da Edward Lorenz nel 1972 all'American Association for the Advancement of Science a Washington, DC, intitolato Predictability: Does the Flap delle ali di una farfalla in Brasile ha scatenato un Tornado in Texas? . L'ala battente rappresenta un piccolo cambiamento nella condizione iniziale del sistema, che provoca una catena di eventi che impedisce la prevedibilità di fenomeni su larga scala. Se la farfalla non avesse sbattuto le ali, la traiettoria dell'intero sistema avrebbe potuto essere molto diversa.

Una conseguenza della sensibilità alle condizioni iniziali è che se si parte da una quantità limitata di informazioni sul sistema (come di solito avviene nella pratica), allora oltre un certo tempo il sistema non sarebbe più prevedibile. Questo è più diffuso nel caso del tempo, che è generalmente prevedibile solo con circa una settimana di anticipo. Ciò non significa che non si possa affermare nulla su eventi lontani nel futuro, ma solo che sono presenti alcune restrizioni sul sistema. Ad esempio, sappiamo con il tempo che la temperatura non raggiungerà naturalmente i 100 °C o scenderà a −130 °C sulla terra (durante l'attuale era geologica ), ma ciò non significa che possiamo prevedere esattamente quale giorno avrà il temperatura più calda dell'anno.

In termini più matematici, l' esponente di Lyapunov misura la sensibilità alle condizioni iniziali, sotto forma di tasso di divergenza esponenziale dalle condizioni iniziali perturbate. In particolare, date due traiettorie di partenza nello spazio delle fasi infinitesimamente vicine, con separazione iniziale , le due traiettorie finiscono per divergere ad una velocità data da

dov'è il tempo ed è l'esponente di Lyapunov. La velocità di separazione dipende dall'orientamento del vettore di separazione iniziale, quindi può esistere un intero spettro di esponenti di Lyapunov. Il numero di esponenti di Lyapunov è uguale al numero di dimensioni dello spazio delle fasi, sebbene sia comune riferirsi solo a quello più grande. Ad esempio, l'esponente massimo di Lyapunov (MLE) viene utilizzato più spesso, poiché determina la prevedibilità complessiva del sistema. Un MLE positivo è generalmente considerato un'indicazione che il sistema è caotico.

Oltre alla proprietà di cui sopra, esistono anche altre proprietà relative alla sensibilità delle condizioni iniziali. Questi includono, ad esempio, misura-teorico miscelazione (come discusso in ergodico teoria) e proprietà di un K-sistema .

Non periodicità

Un sistema caotico può avere sequenze di valori per la variabile in evoluzione che si ripetono esattamente, dando un comportamento periodico a partire da qualsiasi punto in quella sequenza. Tuttavia, tali sequenze periodiche sono repulsive piuttosto che attraenti, il che significa che se la variabile in evoluzione è al di fuori della sequenza, per quanto vicina, non entrerà nella sequenza e infatti diverrà da essa. Quindi per quasi tutte le condizioni iniziali, la variabile evolve caoticamente con comportamento non periodico.

Miscelazione topologica

Sei iterazioni di un insieme di stati sono passate attraverso la mappa logistica. La prima iterazione (blu) è la condizione iniziale, che essenzialmente forma un cerchio. L'animazione mostra dalla prima alla sesta iterazione delle condizioni iniziali circolari. Si può vedere che la miscelazione avviene man mano che si procede nelle iterazioni. La sesta iterazione mostra che i punti sono quasi completamente sparsi nello spazio delle fasi. Se avessimo progredito ulteriormente nelle iterazioni, la miscelazione sarebbe stata omogenea e irreversibile. La mappa logistica ha equazione . Per espandere lo spazio degli stati della mappa logistica in due dimensioni , è stato creato un secondo stato, , come , se e altrimenti.
La mappa definita da x → 4 x (1 – x ) e y → ( x + y) mod 1 mostra anche la miscelazione topologica . Qui, la regione blu viene trasformata dalle dinamiche prima nella regione viola, poi nelle regioni rosa e rosse, e infine in una nuvola di linee verticali sparse nello spazio.

Il mescolamento topologico (o la condizione più debole della transitività topologica) significa che il sistema evolve nel tempo in modo che ogni data regione o insieme aperto del suo spazio delle fasi alla fine si sovrapponga a qualsiasi altra data regione. Questo concetto matematico di "miscelazione" corrisponde all'intuizione standard e la miscelazione di coloranti o fluidi colorati è un esempio di sistema caotico.

La miscelazione topologica è spesso omessa dai resoconti popolari del caos, che equiparano il caos alla sola sensibilità alle condizioni iniziali. Tuttavia, la dipendenza sensibile dalle sole condizioni iniziali non dà caos. Si consideri, ad esempio, il semplice sistema dinamico prodotto raddoppiando ripetutamente un valore iniziale. Questo sistema ha una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ovunque, poiché ogni coppia di punti vicini alla fine diventa ampiamente separata. Tuttavia, questo esempio non ha mescolamento topologico e quindi non ha caos. In effetti, ha un comportamento estremamente semplice: tutti i punti tranne 0 tendono all'infinito positivo o negativo.

Transitività topologica

Una mappa si dice topologicamente transitiva se per ogni coppia di insiemi aperti non vuoti esiste tale che . La transitività topologica è una versione più debole del mescolamento topologico . Intuitivamente, se una mappa è topologicamente transitiva quindi dati un punto x e una regione V , esiste un punto y vicino a x la cui orbita passa per V . Ciò implica che è impossibile scomporre il sistema in due insiemi aperti.

Un importante teorema correlato è il teorema di transitività di Birkhoff. È facile vedere che l'esistenza di un'orbita densa implica nella transitività topologica. Il Birkhoff transitività teorema afferma che se X è un secondo numerabile , spazio metrico completo , quindi transitività topologica implica l'esistenza di un insieme denso di punti in X che hanno orbite dense.

Densità delle orbite periodiche

Per un sistema caotico avere orbite periodiche dense significa che ogni punto nello spazio è avvicinato arbitrariamente da vicino da orbite periodiche. La mappa logistica unidimensionale definita da x → 4 x (1 – x ) è uno dei sistemi più semplici con densità di orbite periodiche. Ad esempio,  →  → (o circa 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) è un'orbita (instabile) del periodo 2, e orbite simili esistono per i periodi 4, 8, 16, ecc. (anzi, per tutti i periodi specificati dal teorema di Sharkovskii ) .

Il teorema di Sharkovskii è la base della prova di Li e Yorke (1975) che qualsiasi sistema unidimensionale continuo che esibisce un ciclo regolare di periodo tre mostrerà anche cicli regolari di ogni altra lunghezza, così come orbite completamente caotiche.

Attrattori strani

L' attrattore di Lorenz mostra un comportamento caotico. Questi due grafici dimostrano una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali all'interno della regione dello spazio delle fasi occupata dall'attrattore.

Alcuni sistemi dinamici, come la mappa logistica unidimensionale definita da x → 4 x (1 – x ), sono caotici ovunque, ma in molti casi il comportamento caotico si trova solo in un sottoinsieme dello spazio delle fasi. I casi di maggior interesse si presentano quando il comportamento caotico avviene su un attrattore , poiché allora un ampio insieme di condizioni iniziali porta ad orbite che convergono verso questa regione caotica.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico è iniziare con un punto nel bacino di attrazione dell'attrattore e quindi tracciare semplicemente la sua orbita successiva. A causa della condizione di transitività topologica, è probabile che ciò produca un'immagine dell'intero attrattore finale, e infatti entrambe le orbite mostrate nella figura a destra danno un'immagine della forma generale dell'attrattore di Lorenz. Questo attrattore risulta da un semplice modello tridimensionale del sistema meteorologico Lorenz . L'attrattore di Lorenz è forse uno dei diagrammi di sistemi caotici più conosciuti, probabilmente perché non è solo uno dei primi, ma è anche uno dei più complessi, e come tale dà origine a uno schema molto interessante che, con un poca fantasia, sembra le ali di una farfalla.

A differenza degli attrattori a virgola fissa e dei cicli limite , gli attrattori che derivano da sistemi caotici, noti come attrattori strani , hanno grande dettaglio e complessità. Attrattori strani si verificano sia in sistemi dinamici continui (come il sistema di Lorenz) che in alcuni sistemi discreti (come la mappa di Hénon ). Altri sistemi dinamici discreti hanno una struttura repulsiva chiamata insieme di Julia , che si forma al confine tra bacini di attrazione di punti fissi. I set di Julia possono essere pensati come strani repellenti. Sia gli attrattori strani che gli insiemi di Julia hanno tipicamente una struttura frattale e la dimensione frattale può essere calcolata per loro.

Complessità minima di un sistema caotico

Diagramma di biforcazione della mappa logistica xr x (1 – x ). Ogni sezione verticale mostra l'attrattore per un valore specifico di r . Il diagramma mostra periodo raddoppio come r aumenta, fino a produrre caos.

Sistemi caotici discreti, come la mappa logistica , possono esibire strani attrattori qualunque sia la loro dimensionalità . L'universalità delle mappe unidimensionali con massimi parabolici e costanti di Feigenbaum , è ben visibile con la mappa proposta come modello giocattolo per la dinamica laser discreta: , dove sta per ampiezza del campo elettrico, è il guadagno laser come parametro di biforcazione. Il graduale aumento di a intervalli cambia la dinamica da regolare a caotica con qualitativamente lo stesso diagramma di biforcazione di quelli per la mappa logistica .

Al contrario, per i sistemi dinamici continui , il teorema di Poincaré-Bendixson mostra che uno strano attrattore può sorgere solo in tre o più dimensioni. I sistemi lineari a dimensione finita non sono mai caotici; affinché un sistema dinamico mostri un comportamento caotico, deve essere non lineare o infinito dimensionale.

Il teorema di Poincaré-Bendixson afferma che un'equazione differenziale bidimensionale ha un comportamento molto regolare. L'attrattore di Lorenz discusso di seguito è generato da un sistema di tre equazioni differenziali come:

dove , , e costituiscono lo stato del sistema , è il tempo e , , sono i parametri di sistema . Cinque dei termini a destra sono lineari, mentre due sono quadratici; un totale di sette termini. Un altro noto attrattore caotico è generato dalle equazioni di Rössler , che hanno un solo termine non lineare su sette. Sprott ha trovato un sistema tridimensionale con solo cinque termini, che aveva un solo termine non lineare, che mostra il caos per determinati valori di parametro. Zhang e Heidel hanno mostrato che, almeno per i sistemi quadratici dissipativi e conservativi, i sistemi quadratici tridimensionali con solo tre o quattro termini sul lato destro non possono esibire un comportamento caotico. La ragione è, in poche parole, che le soluzioni di tali sistemi sono asintotiche per una superficie bidimensionale e quindi le soluzioni si comportano bene.

Mentre il teorema di Poincaré-Bendixson mostra che un sistema dinamico continuo sul piano euclideo non può essere caotico, i sistemi continui bidimensionali con geometria non euclidea possono esibire un comportamento caotico. Forse sorprendentemente, il caos può verificarsi anche nei sistemi lineari, purché di dimensione infinita. Una teoria del caos lineare è in fase di sviluppo in un ramo dell'analisi matematica noto come analisi funzionale .

Mappe dimensionali infinite

La semplice generalizzazione delle mappe discrete accoppiate si basa sull'integrale di convoluzione che media l'interazione tra mappe spazialmente distribuite: ,

dove kernel è propagatore derivato come funzione di Green di un sistema fisico rilevante, potrebbe essere una mappa logistica simile o una mappa complessa . Per esempi di mappe complesse possono servire il set di Julia o la mappa di Ikeda . Quando si considerano problemi di propagazione delle onde a distanza con lunghezza d'onda, il kernel può avere una forma di funzione di Green per l'equazione di Schrödinger :.

.

Sistemi a strappo

In fisica , il jerk è la terza derivata della posizione , rispetto al tempo. Come tali, equazioni differenziali della forma

sono talvolta chiamate equazioni di jerk . È stato dimostrato che un'equazione di jerk, che è equivalente a un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine, ordinarie, non lineari, è in un certo senso l'impostazione minima per soluzioni che mostrano un comportamento caotico. Questo motiva l'interesse matematico per i sistemi jerk. I sistemi che coinvolgono una derivata quarta o superiore sono chiamati di conseguenza sistemi hyperjerk.

Il comportamento di un sistema jerk è descritto da un'equazione jerk e, per alcune equazioni jerk, semplici circuiti elettronici possono modellare le soluzioni. Questi circuiti sono noti come circuiti jerk.

Una delle proprietà più interessanti dei circuiti jerk è la possibilità di un comportamento caotico. Infatti, alcuni noti sistemi caotici, come l'attrattore di Lorenz e la mappa di Rössler , sono convenzionalmente descritti come un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine che possono combinarsi in un'unica (sebbene piuttosto complicata) equazione di jerk. Un altro esempio di equazione jerk con non linearità nella grandezza di è:

Qui, A è un parametro regolabile. Questa equazione ha una soluzione caotica per A =3/5 e può essere implementata con il seguente circuito jerk; la non linearità richiesta è determinata dai due diodi:

JerkCircuit01.png

Nel circuito sopra, tutti i resistori hanno lo stesso valore, eccetto , e tutti i condensatori hanno le stesse dimensioni. La frequenza dominante è . L'uscita dell'amplificatore operazionale 0 corrisponderà alla variabile x, l'uscita di 1 corrisponde alla prima derivata di x e l'uscita di 2 corrisponde alla seconda derivata.

Circuiti simili richiedono solo un diodo o nessun diodo.

Vedi anche il famoso circuito di Chua , una base per i veri generatori di numeri casuali caotici. La facilità di costruzione del circuito lo ha reso un onnipresente esempio del mondo reale di un sistema caotico.

Ordine spontaneo

Nelle giuste condizioni, il caos si evolve spontaneamente in uno schema di blocco. Nel modello Kuramoto , quattro condizioni sono sufficienti per produrre la sincronizzazione in un sistema caotico. Gli esempi includono l' oscillazione accoppiata dei pendoli, delle lucciole, dei neuroni di Christiaan Huygens , la risonanza del London Millennium Bridge e grandi schiere di giunzioni Josephson .

Storia

Felce di Barnsley creata usando il gioco del caos . Le forme naturali (felci, nuvole, montagne, ecc.) possono essere ricreate attraverso un sistema di funzioni iterate (IFS).

Uno dei primi sostenitori della teoria del caos fu Henri Poincaré . Nel 1880, mentre studiava il problema dei tre corpi , scoprì che possono esistere orbite non periodiche, e tuttavia non sempre crescenti né avvicinandosi a un punto fisso. Nel 1898, Jacques Hadamard pubblicò uno studio influente sul movimento caotico di una particella libera che scivola senza attrito su una superficie di curvatura negativa costante, chiamato " Biliardo di Hadamard ". Hadamard è stato in grado di dimostrare che tutte le traiettorie sono instabili, in quanto tutte le traiettorie delle particelle divergono in modo esponenziale l'una dall'altra, con un esponente di Lyapunov positivo .

La teoria del caos è iniziata nel campo della teoria ergodica . Studi successivi, anche sul tema delle equazioni differenziali non lineari , furono condotti da George David Birkhoff , Andrey Nikolaevich Kolmogorov , Mary Lucy Cartwright e John Edensor Littlewood e Stephen Smale . Ad eccezione di Smale, questi studi erano tutti direttamente ispirati alla fisica: il problema dei tre corpi nel caso di Birkhoff, turbolenza e problemi astronomici nel caso di Kolmogorov, e l'ingegneria radiofonica nel caso di Cartwright e Littlewood. Sebbene il movimento planetario caotico non fosse stato osservato, gli sperimentali avevano riscontrato turbolenze nel moto dei fluidi e oscillazioni non periodiche nei circuiti radio senza il beneficio di una teoria per spiegare ciò che stavano vedendo.

Nonostante le intuizioni iniziali nella prima metà del ventesimo secolo, la teoria del caos fu formalizzata come tale solo dopo la metà del secolo, quando divenne evidente per la prima volta ad alcuni scienziati che la teoria lineare , la teoria dei sistemi prevalente a quel tempo, semplicemente non poteva spiegare l'osservato comportamento di alcuni esperimenti come quello della mappa logistica . Ciò che era stato attribuito alla misura dell'imprecisione e del semplice " rumore " era considerato dai teorici del caos come una componente completa dei sistemi studiati.

Il principale catalizzatore per lo sviluppo della teoria del caos è stato il computer elettronico. Gran parte della matematica della teoria del caos implica l' iterazione ripetuta di semplici formule matematiche, cosa che sarebbe poco pratica da fare a mano. I computer elettronici hanno reso pratici questi calcoli ripetuti, mentre le figure e le immagini hanno permesso di visualizzare questi sistemi. Come studente laureato nel laboratorio di Chihiro Hayashi all'Università di Kyoto, Yoshisuke Ueda stava sperimentando con computer analogici e notò, il 27 novembre 1961, ciò che chiamò "fenomeni di transizione casuale". Eppure il suo consigliere non era d'accordo con le sue conclusioni in quel momento e non gli permise di riferire le sue scoperte fino al 1970.

Turbolenza nel vortice di punta da un'ala di aeroplano . Gli studi del punto critico oltre il quale un sistema crea turbolenza erano importanti per la teoria del caos, analizzati ad esempio dal fisico sovietico Lev Landau , che sviluppò la teoria della turbolenza Landau-Hopf . David Ruelle e Floris Takens in seguito predissero, contro Landau, che la turbolenza dei fluidi si sarebbe potuta sviluppare attraverso uno strano attrattore , un concetto fondamentale della teoria del caos.

Edward Lorenz è stato uno dei primi pionieri della teoria. Il suo interesse per il caos è nato accidentalmente attraverso il suo lavoro sulla previsione del tempo nel 1961. Lorenz stava usando un semplice computer digitale, un Royal McBee LGP-30 , per eseguire la sua simulazione meteorologica. Voleva vedere di nuovo una sequenza di dati e per risparmiare tempo ha avviato la simulazione a metà del suo corso. Lo ha fatto inserendo una stampa dei dati che corrispondeva alle condizioni nel mezzo della simulazione originale. Con sua sorpresa, il tempo che la macchina iniziò a prevedere era completamente diverso dal calcolo precedente. Lorenz lo ha rintracciato nella stampa del computer. Il computer ha funzionato con una precisione di 6 cifre, ma la stampa ha arrotondato le variabili a un numero di 3 cifre, quindi un valore come 0,506127 stampato come 0,506. Questa differenza è minuscola e l'opinione comune all'epoca sarebbe stata che non avrebbe dovuto avere alcun effetto pratico. Tuttavia, Lorenz ha scoperto che piccoli cambiamenti nelle condizioni iniziali producevano grandi cambiamenti nei risultati a lungo termine. La scoperta di Lorenz, che ha dato il nome agli attrattori di Lorenz , ha mostrato che anche una modellazione atmosferica dettagliata non può, in generale, fare previsioni meteorologiche precise a lungo termine.

Nel 1963, Benoit Mandelbrot trovò modelli ricorrenti a ogni scala nei dati sui prezzi del cotone. In precedenza aveva studiato la teoria dell'informazione e aveva concluso che il rumore era strutturato come un insieme di Cantor : su qualsiasi scala la proporzione dei periodi contenenti rumore rispetto ai periodi privi di errori era una costante, quindi gli errori erano inevitabili e dovevano essere pianificati incorporando la ridondanza. Mandelbrot descrisse sia l'"effetto Noè" (in cui possono verificarsi improvvisi cambiamenti discontinui) sia l'"effetto Joseph" (in cui la persistenza di un valore può verificarsi per un po', ma poi cambiare improvvisamente). Ciò ha messo in discussione l'idea che le variazioni di prezzo fossero normalmente distribuite . Nel 1967 pubblicò " Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? Autosimilarità statistica e dimensione frazionaria ", mostrando che la lunghezza di una costa varia con la scala dello strumento di misura, assomiglia a se stessa a tutte le scale ed è infinita in lunghezza per un dispositivo di misura infinitamente piccolo. Sostenendo che un gomitolo di spago appare come un punto se visto da lontano (0-dimensionale), una palla se visto da abbastanza vicino (tridimensionale), o un filo curvo (1-dimensionale), ha sostenuto che le dimensioni di un oggetto sono relativi all'osservatore e possono essere frazionari. Un oggetto la cui irregolarità è costante su diverse scale ("auto-similarità") è un frattale (esempi includono la spugna di Menger , la guarnizione di Sierpiński e la curva o fiocco di neve di Koch , che è infinitamente lungo ma racchiude uno spazio finito e ha un frattale dimensione di circa 1.2619). Nel 1982, Mandelbrot pubblicò The Fractal Geometry of Nature , che divenne un classico della teoria del caos. I sistemi biologici come la ramificazione dei sistemi circolatorio e bronchiale si sono rivelati adatti a un modello frattale.

Nel dicembre 1977, l' Accademia delle scienze di New York organizzò il primo simposio sul caos, cui parteciparono David Ruelle, Robert May , James A. Yorke (coniatore del termine "caos" usato in matematica), Robert Shaw e il meteorologo Edward Lorenz. L'anno successivo Pierre Coullet e Charles Tresser pubblicarono "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", e l'articolo di Mitchell Feigenbaum "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations" apparve finalmente su una rivista, dopo 3 anni di reiezioni da parte di un referente. Così Feigenbaum (1975) e Coullet & Tresser (1978) scoprirono l' universalità nel caos, consentendo l'applicazione della teoria del caos a molti fenomeni diversi.

Nel 1979, Albert J. Libchaber , durante un simposio organizzato ad Aspen da Pierre Hohenberg , presentò la sua osservazione sperimentale della cascata di biforcazione che porta al caos e alla turbolenza nei sistemi convettivi di Rayleigh-Bénard . È stato insignito del Wolf Prize in Physics nel 1986 insieme a Mitchell J. Feigenbaum per i loro entusiasmanti risultati.

Nel 1986, la New York Academy of Sciences organizzò con il National Institute of Mental Health e l' Office of Naval Research la prima importante conferenza sul caos in biologia e medicina. Lì, Bernardo Huberman ha presentato un modello matematico del disturbo del tracciamento oculare tra gli schizofrenici . Ciò ha portato a un rinnovamento della fisiologia negli anni '80 attraverso l'applicazione della teoria del caos, ad esempio, nello studio dei cicli cardiaci patologici .

Nel 1987, Per Bak , Chao Tang e Kurt Wiesenfeld pubblicarono un articolo su Physical Review Letters che descriveva per la prima volta la criticità auto-organizzata (SOC), considerata uno dei meccanismi con cui sorge la complessità in natura.

Accanto ad approcci in gran parte basati sul laboratorio come il mucchio di sabbia di Bak-Tang-Wiesenfeld , molte altre indagini si sono concentrate su sistemi naturali o sociali su larga scala che sono noti (o sospettati) per mostrare un comportamento invariante di scala . Sebbene questi approcci non siano stati sempre accolti (almeno inizialmente) dagli specialisti nelle materie esaminate, SOC si è comunque affermato come un forte candidato per spiegare una serie di fenomeni naturali, inclusi i terremoti , (che, molto prima che SOC fosse scoperto, erano noti come fonte di comportamento invariante di scala come la legge di Gutenberg-Richter che descrive la distribuzione statistica delle dimensioni dei terremoti e la legge di Omori che descrive la frequenza delle scosse di assestamento), brillamenti solari , fluttuazioni nei sistemi economici come i mercati finanziari (i riferimenti al SOC sono comune in econofisica ), formazione del paesaggio, incendi boschivi , frane , epidemie ed evoluzione biologica (dove il SOC è stato invocato, ad esempio, come meccanismo dinamico alla base della teoria degli " equilibri punteggiati " avanzata da Niles Eldredge e Stephen Jay Gould ) . Date le implicazioni di una distribuzione senza scala delle dimensioni degli eventi, alcuni ricercatori hanno suggerito che un altro fenomeno che dovrebbe essere considerato un esempio di SOC è il verificarsi di guerre . Queste indagini di SOC hanno incluso sia tentativi di modellazione (sviluppando nuovi modelli o adattando quelli esistenti alle specificità di un dato sistema naturale), sia un'ampia analisi dei dati per determinare l'esistenza e/o le caratteristiche delle leggi di scala naturali.

Nello stesso anno, James Gleick pubblicò Chaos: Making a New Science , che divenne un best-seller e introdusse al grande pubblico i principi generali della teoria del caos e la sua storia, sebbene la sua storia abbia sottovalutato importanti contributi sovietici. Inizialmente dominio di pochi individui isolati, la teoria del caos è emersa progressivamente come disciplina transdisciplinare e istituzionale, principalmente sotto il nome di analisi dei sistemi non lineari . Alludendo al concetto di Thomas Kuhn di un cambiamento di paradigma esposto in La struttura delle rivoluzioni scientifiche (1962), molti "caologi" (come alcuni si sono descritti) hanno affermato che questa nuova teoria era un esempio di tale cambiamento, una tesi sostenuta da Gleick .

La disponibilità di computer più economici e più potenti amplia l'applicabilità della teoria del caos. Attualmente, la teoria del caos rimane un'area di ricerca attiva, che coinvolge molte discipline diverse come matematica , topologia , fisica , sistemi sociali , modellizzazione della popolazione , biologia , meteorologia , astrofisica , teoria dell'informazione , neuroscienze computazionali , gestione delle crisi pandemiche , ecc.

Applicazioni

Un guscio tessile conus , simile nell'aspetto alla Regola 30 , un automa cellulare con comportamento caotico.

Sebbene la teoria del caos sia nata dall'osservazione dei modelli meteorologici, è diventata applicabile a una varietà di altre situazioni. Alcune aree che beneficiano oggi della teoria del caos sono la geologia , la matematica , la biologia , l' informatica , l' economia , l' ingegneria , la finanza , il commercio algoritmico , la meteorologia , la filosofia , l' antropologia , la fisica , la politica , la dinamica della popolazione , la psicologia e la robotica . Alcune categorie sono elencate di seguito con esempi, ma questo non è affatto un elenco completo poiché stanno comparendo nuove applicazioni.

Crittografia

La teoria del caos è stata utilizzata per molti anni in crittografia . Negli ultimi decenni, il caos e le dinamiche non lineari sono state utilizzate nella progettazione di centinaia di primitive crittografiche . Questi algoritmi includono algoritmi di crittografia delle immagini , funzioni hash , generatori di numeri pseudo-casuali sicuri , cifrari a flusso , watermarking e steganografia . La maggior parte di questi algoritmi si basa su mappe caotiche unimodali e gran parte di questi algoritmi utilizzano i parametri di controllo e la condizione iniziale delle mappe caotiche come chiavi. Da una prospettiva più ampia, senza perdita di generalità, le somiglianze tra le mappe caotiche ei sistemi crittografici è la motivazione principale per la progettazione di algoritmi crittografici basati sul caos. Un tipo di crittografia, chiave segreta o chiave simmetrica , si basa sulla diffusione e sulla confusione , che è ben modellata dalla teoria del caos. Un altro tipo di calcolo, il calcolo del DNA , se abbinato alla teoria del caos, offre un modo per crittografare immagini e altre informazioni. Molti degli algoritmi crittografici del DNA-Chaos si sono dimostrati non sicuri o la tecnica applicata è suggerita come non efficiente.

Robotica

La robotica è un'altra area che ha recentemente beneficiato della teoria del caos. Invece di robot che agiscono in un tipo di raffinamento per tentativi ed errori per interagire con il loro ambiente, la teoria del caos è stata utilizzata per costruire un modello predittivo . Dinamiche caotiche sono state esibite da robot bipedi passivi .

Biologia

Da oltre cento anni i biologi tengono traccia di popolazioni di specie diverse con modelli di popolazione . La maggior parte dei modelli sono continui , ma recentemente gli scienziati sono stati in grado di implementare modelli caotici in determinate popolazioni. Ad esempio, uno studio sui modelli di lince canadese ha mostrato che c'era un comportamento caotico nella crescita della popolazione. Il caos si può trovare anche nei sistemi ecologici, come l' idrologia . Mentre un modello caotico per l'idrologia ha i suoi difetti, c'è ancora molto da imparare guardando i dati attraverso la lente della teoria del caos. Un'altra applicazione biologica si trova nella cardiotocografia . La sorveglianza fetale è un delicato equilibrio tra l'ottenimento di informazioni accurate pur essendo il più non invasivo possibile. Modelli migliori dei segnali di allarme dell'ipossia fetale possono essere ottenuti attraverso modelli caotici.

Economia

È possibile che i modelli economici possano essere migliorati anche attraverso un'applicazione della teoria del caos, ma prevedere la salute di un sistema economico e quali fattori lo influenzano maggiormente è un compito estremamente complesso. I sistemi economici e finanziari sono fondamentalmente diversi da quelli delle scienze naturali classiche poiché i primi sono intrinsecamente di natura stocastica, poiché risultano dalle interazioni delle persone, e quindi è improbabile che i modelli deterministici puri forniscano rappresentazioni accurate dei dati. La letteratura empirica che verifica il caos in economia e finanza presenta risultati molto contrastanti, in parte a causa della confusione tra test specifici per caos e test più generali per relazioni non lineari.

Il caos può essere trovato in economia attraverso l' analisi della quantificazione delle ricorrenze . Infatti Orlando et al. per mezzo del cosiddetto indice di correlazione di quantificazione della ricorrenza sono stati in grado di rilevare cambiamenti nascosti nelle serie temporali. Quindi, la stessa tecnica è stata impiegata per rilevare le transizioni da fasi laminari (cioè regolari) a fasi turbolente (cioè caotiche), nonché differenze tra variabili macroeconomiche ed evidenziare caratteristiche nascoste delle dinamiche economiche. Infine, il caos potrebbe aiutare a modellare il funzionamento dell'economia e a incorporare shock dovuti a eventi esterni come il COVID-19. Per un resoconto aggiornato sugli strumenti e sui risultati ottenuti calibrando empiricamente e testando modelli caotici deterministici (es. Kaldor-Kalecki, Goodwin, Harrod), si veda Orlando et al.

Altre aree

In chimica, la previsione della solubilità del gas è essenziale per la produzione di polimeri , ma i modelli che utilizzano l' ottimizzazione dello sciame di particelle (PSO) tendono a convergere nei punti sbagliati. È stata creata una versione migliorata di PSO introducendo il caos, che impedisce alle simulazioni di bloccarsi. Nella meccanica celeste , specialmente quando si osservano gli asteroidi, l'applicazione della teoria del caos porta a previsioni migliori su quando questi oggetti si avvicineranno alla Terra e ad altri pianeti. Quattro delle cinque lune di Plutone ruotano caoticamente. Nella fisica quantistica e nell'ingegneria elettrica , lo studio di grandi serie di giunzioni Josephson ha beneficiato notevolmente della teoria del caos. Più vicino a casa, le miniere di carbone sono sempre state luoghi pericolosi dove frequenti fughe di gas naturale causano molti morti. Fino a poco tempo, non c'era un modo affidabile per prevedere quando si sarebbero verificati. Ma queste perdite di gas hanno tendenze caotiche che, se adeguatamente modellate, possono essere previste in modo abbastanza accurato.

La teoria del caos può essere applicata al di fuori delle scienze naturali, ma storicamente quasi tutti questi studi hanno sofferto di mancanza di riproducibilità; scarsa validità esterna; e/o disattenzione alla convalida incrociata, con conseguente scarsa accuratezza predittiva (se è stata anche tentata una previsione fuori campione). Glass, Mandell e Selz hanno scoperto che nessuno studio EEG ha ancora indicato la presenza di strani attrattori o altri segni di comportamento caotico.

I ricercatori hanno continuato ad applicare la teoria del caos alla psicologia. Ad esempio, nel modellare il comportamento di gruppo in cui membri eterogenei possono comportarsi come se condividessero in gradi diversi ciò che nella teoria di Wilfred Bion è un presupposto di base, i ricercatori hanno scoperto che la dinamica di gruppo è il risultato delle dinamiche individuali dei membri: ogni l'individuo riproduce le dinamiche di gruppo in una scala diversa e il comportamento caotico del gruppo si riflette in ogni membro.

Redington e Reidbord (1992) hanno tentato di dimostrare che il cuore umano può mostrare tratti caotici. Hanno monitorato i cambiamenti negli intervalli tra i battiti cardiaci per una singola paziente in psicoterapia mentre si muoveva attraverso periodi di varia intensità emotiva durante una sessione di terapia. I risultati sono stati certamente inconcludenti. Non solo c'erano ambiguità nei vari grafici prodotti dagli autori per mostrare presumibilmente prove di dinamiche caotiche (analisi spettrale, traiettoria di fase e grafici di autocorrelazione), ma anche quando hanno tentato di calcolare un esponente di Lyapunov come conferma più definitiva del comportamento caotico, il gli autori hanno scoperto di non poterlo fare in modo affidabile.

Nel loro articolo del 1995, Metcalf e Allen sostenevano di aver scoperto nel comportamento animale uno schema di sdoppiamento del periodo che portava al caos. Gli autori hanno esaminato una risposta ben nota chiamata polidipsia indotta da programma, per cui un animale privato del cibo per un certo periodo di tempo berrà quantità insolite di acqua quando il cibo viene finalmente presentato. Il parametro di controllo (r) operante qui era la lunghezza dell'intervallo tra le poppate, una volta ripreso. Gli autori sono stati attenti a testare un gran numero di animali e a includere molte repliche, e hanno progettato il loro esperimento in modo da escludere la probabilità che i cambiamenti nei modelli di risposta fossero causati da diversi punti di partenza per r.

Le serie temporali e i grafici del primo ritardo forniscono il miglior supporto per le affermazioni fatte, mostrando una marcia abbastanza chiara dalla periodicità all'irregolarità all'aumentare dei tempi di alimentazione. I vari grafici della traiettoria di fase e le analisi spettrali, d'altra parte, non combaciano abbastanza bene con gli altri grafici o con la teoria complessiva per portare inesorabilmente a una diagnosi caotica. Ad esempio, le traiettorie di fase non mostrano una progressione definita verso una complessità sempre maggiore (e lontano dalla periodicità); il processo sembra abbastanza confuso. Inoltre, dove Metcalf e Allen hanno visto periodi di due e sei nelle loro trame spettrali, c'è spazio per interpretazioni alternative. Tutta questa ambiguità richiede una spiegazione tortuosa e post-hoc per mostrare che i risultati si adattano a un modello caotico.

Adattando un modello di consulenza professionale per includere un'interpretazione caotica della relazione tra dipendenti e mercato del lavoro, Amundson e Bright hanno scoperto che si possono dare suggerimenti migliori alle persone alle prese con decisioni di carriera. Le organizzazioni moderne sono sempre più viste come sistemi adattivi complessi aperti con strutture non lineari naturali fondamentali, soggette a forze interne ed esterne che possono contribuire al caos. Ad esempio, il team building e lo sviluppo del gruppo vengono sempre più ricercati come un sistema intrinsecamente imprevedibile, poiché l'incertezza di diversi individui che si incontrano per la prima volta rende inconoscibile la traiettoria della squadra.

Alcuni dicono che la metafora del caos, usata nelle teorie verbali, basata su modelli matematici e aspetti psicologici del comportamento umano fornisce utili spunti per descrivere la complessità di piccoli gruppi di lavoro, che vanno oltre la metafora stessa.

Le auto rosse e le auto blu si alternano per muoversi;  quelli rossi si muovono solo verso l'alto e quelli blu si muovono verso destra.  Ogni volta, tutte le auto dello stesso colore cercano di fare un passo se non ci sono auto davanti.  Qui, il modello si è auto-organizzato in uno schema un po' geometrico in cui ci sono alcuni ingorghi e alcune aree in cui le auto possono muoversi alla massima velocità.

La previsione del traffico può trarre vantaggio dalle applicazioni della teoria del caos. Migliori previsioni su quando si verificherà il traffico consentirebbero di adottare misure per disperderlo prima che si verifichi. La combinazione dei principi della teoria del caos con alcuni altri metodi ha portato a un modello di previsione a breve termine più accurato (vedi il grafico del modello di traffico BML a destra).

La teoria del caos è stata applicata ai dati del ciclo dell'acqua ambientale (noti anche come dati idrologici), come le precipitazioni e il flusso dei corsi d' acqua . Questi studi hanno prodotto risultati controversi, perché i metodi per rilevare una firma caotica sono spesso relativamente soggettivi. I primi studi tendevano a "riuscire" a trovare il caos, mentre studi successivi e meta-analisi hanno messo in discussione quegli studi e hanno fornito spiegazioni sul perché questi set di dati non hanno probabilmente dinamiche caotiche di bassa dimensione.

Guarda anche

Esempi di sistemi caotici
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Le persone

Riferimenti

Ulteriori letture

Articoli

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