Chiliagon - Chiliagon
| peperoncino regolare | |
|---|---|
 Un peperoncino normale
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| Tipo | Poligono regolare |
| Bordi e vertici | 1000 |
| Schläfli simbolo | {1000}, t{500}, tt{250}, tt{125} |
| Diagramma di Coxeter |
    
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| Gruppo di simmetria | Diedro (D 1000 ), ordine 2×1000 |
| Angolo interno ( gradi ) | 179,64° |
| Doppio poligono | Se stesso |
| Proprietà | Convesso , ciclico , equilatero , isogonale , isotossale |
In geometria , un chiliagono ( / k ɪ l i ə ɡ ɒ n / ) o 1000 gon è un poligono con 1.000 lati. I filosofi si riferiscono comunemente ai chiliagoni per illustrare idee sulla natura e sul funzionamento del pensiero, del significato e della rappresentazione mentale.
peperoncino regolare
Un chiliagon regolare è rappresentato dal simbolo Schläfli {1,000} e può essere costruito come un 500 gon troncato , t{500}, o un 250 gon troncato due volte, tt{250}, o un 125 gon tre volte troncato, tt{125}.
La misura di ciascun angolo interno in un chiliagon regolare è 179,64°. L' area di un chiliagon regolare con lati di lunghezza a è data da
Questo risultato differisce dall'area del suo cerchio circoscritto di meno di 4 parti per milione .
Poiché 1.000 = 2 3 × 5 3 , il numero dei lati non è né un prodotto di distinti primi di Fermat né una potenza di due. Quindi il chiliagono regolare non è un poligono costruibile . In effetti, non è nemmeno costruibile con l'uso di neusis o di un trisettore d'angolo, poiché il numero di lati non è né un prodotto di primi di Pierpont distinti , né un prodotto di potenze di due e tre. Pertanto, la costruzione di un chiliagon richiede altre tecniche come la quadratrice di Ippia , la spirale di Archimede o altre curve ausiliarie. Ad esempio, un angolo di 9° può essere prima costruito con compasso e riga, che può poi essere quintisezionato (diviso in cinque parti uguali) due volte utilizzando una curva ausiliaria per produrre l'angolo interno di 0,36° richiesto.
Applicazione filosofica
René Descartes usa il chiliagon come esempio nella sua sesta meditazione per dimostrare la differenza tra pura intelletto e immaginazione. Dice che, quando si pensa a un chiliagon, "non immagina i mille lati o li vede come se fossero presenti" davanti a lui – come fa quando si immagina un triangolo, per esempio. L'immaginazione costruisce una "rappresentazione confusa", che non è diversa da quella che costruisce di un miriagono (un poligono con diecimila lati). Tuttavia, capisce chiaramente cos'è un chiliagon, proprio come capisce cos'è un triangolo ed è in grado di distinguerlo da un miriagono. Pertanto, l'intelletto non dipende dall'immaginazione, afferma Cartesio, poiché è in grado di intrattenere idee chiare e distinte quando l'immaginazione non è in grado di farlo. Il filosofo Pierre Gassendi , contemporaneo di Cartesio, era critico di questa interpretazione, ritenendo che mentre Cartesio poteva immaginare un chiliagon, non poteva capirlo: si poteva "percepire che la parola 'chiliagon' significa una figura dai mille angoli [ma] questo è proprio il significato del termine, e non ne consegue che tu comprenda i mille angoli della figura meglio di quanto li immagini."
L'esempio di un chiliagon è citato anche da altri filosofi, come Immanuel Kant . David Hume sottolinea che è "impossibile per l'occhio determinare che gli angoli di un chiliagon siano uguali agli angoli retti del 1996, o fare qualsiasi congettura, che si avvicini a questa proporzione". Gottfried Leibniz commenta un uso del chiliagono da parte di John Locke , osservando che si può avere un'idea del poligono senza averne un'immagine, e quindi distinguendo le idee dalle immagini.
Henri Poincaré usa il chiliagon come prova che "l'intuizione non è necessariamente fondata sull'evidenza dei sensi" perché "non possiamo rappresentarci un chiliagon, eppure ragioniamo per intuizione sui poligoni in generale, che includono il chiliagon come particolare Astuccio."
Ispirato dall'esempio chiliagone di Cartesio, Roderick Chisholm e altri filosofi del 20 ° secolo hanno usato esempi simili per fare punti simili. La " gallina maculata " di Chisholm , che non necessita di un determinato numero di macchioline per essere immaginata con successo, è forse la più famosa di queste.
Simmetria
Il chiliagono regolare ha simmetria diedrica Dih 1000 , ordine 2000, rappresentata da 1.000 linee di riflessione. Dih 100 ha 15 sottogruppi diedri: Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 200 , Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 e Dih 1 . Ha anche altre 16 simmetrie cicliche come sottogruppi: Z 1000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 8 , Z 4 , Z 2 e Z 1 , con Z n che rappresenta π/ n simmetria rotazionale radiante.
John Conway etichetta queste simmetrie inferiori con una lettera e l'ordine della simmetria segue la lettera. Dà d (diagonale) con linee speculari attraverso i vertici, p con linee speculari attraverso i bordi (perpendicolari), i con linee speculari attraverso sia i vertici che i bordi e g per la simmetria rotazionale. a1 etichetta nessuna simmetria.
Queste simmetrie inferiori consentono gradi di libertà nella definizione di chiliagoni irregolari. Solo il sottogruppo g1000 non ha gradi di libertà ma può essere visto come bordi orientati .
Chiliagramma
Un chiliagramma è un poligono stellato di 1.000 lati . Ci sono 199 forme regolari date da simboli Schläfli della forma {1000/ n }, dove n è un intero compreso tra 2 e 500 che è coprimo con 1.000. Ci sono anche 300 figure stellari regolari nei casi rimanenti.
Ad esempio, il poligono stella regolare {1000/499} è costituito da 1000 bordi quasi radiali. Ogni vertice della stella ha un angolo interno di 0,36 gradi.
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 Zona centrale con motivi moiré |