Equazione di Clairaut (analisi matematica) - Clairaut's equation (mathematical analysis)

Nell'analisi matematica , l'equazione di Clairaut (o l' equazione di Clairaut ) è un'equazione differenziale della forma

${\ displaystyle y (x) = x {\ frac {dy} {dx}} + f \ sinistra ({\ frac {dy} {dx}} \ right)}$

dove f è continuamente differenziabile . È un caso particolare dell'equazione differenziale di Lagrange. Prende il nome dal matematico francese Alexis Clairaut , che lo introdusse nel 1734.

Definizione

Per risolvere l'equazione di Clairaut, si differenzia rispetto a x , cedendo

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {dx}} + x {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + f '\ sinistra ({\ frac {dy} {dx}} \ right) {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}},}$

così

${\ displaystyle \ left [x + f '\ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) \ right] {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = 0 .}$

Quindi neanche

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = 0}$

o

${\ Displaystyle x + f '\ sinistra ({\ frac {dy} {dx}} \ right) = 0.}$

Nel primo caso, C = dy / dx per qualche costante C . Sostituendo questo nell'equazione di Clairaut, si ottiene la famiglia di funzioni rette data da

${\ displaystyle y (x) = Cx + f (C), \,}$

la cosiddetta soluzione generale dell'equazione di Clairaut.

Quest'ultimo caso,

${\ displaystyle x + f '\ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) = 0,}$

definisce una sola soluzione y ( x ), la cosiddetta soluzione singolare , il cui grafico è l' inviluppo dei grafici delle soluzioni generali. La soluzione singolare è solitamente rappresentata usando la notazione parametrica, come ( x ( p ), y ( p )), dove p = dy / dx .

Esempi

Le curve seguenti rappresentano le soluzioni a due equazioni di Clairaut:

• 

  ${\ displaystyle f (p) = p ^ {2}}$
• 

  ${\ displaystyle f (p) = p ^ {3}}$

In ogni caso, le soluzioni generali sono rappresentate in nero mentre la soluzione singolare è in viola.

Estensione

Per estensione, un'equazione differenziale parziale del primo ordine della forma

${\ displaystyle \ displaystyle u = xu_ {x} + yu_ {y} + f (u_ {x}, u_ {y})}$

è anche conosciuta come equazione di Clairaut.

Guarda anche

• L'equazione di D'Alembert
• L'equazione di Chrystal
• Trasformazione di Legendre

Appunti

Riferimenti

• Clairaut, Alexis Claude (1734), "Solution de plusieurs problèmes où the s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste in una certa relazione tra leurs branch, exprimée par une Équation donnée". , Histoire de l'Académie royale des sciences : 196–215 .

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (in tedesco), 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell .

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Clairaut equation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .