Modellazione a grana grossa - Coarse-grained modeling

La modellazione a grana grossa , i modelli a grana grossa , mirano a simulare il comportamento di sistemi complessi usando la loro rappresentazione a grana grossa (semplificata). I modelli a grana grossa sono ampiamente utilizzati per la modellazione molecolare di biomolecole a vari livelli di granularità .

È stata proposta un'ampia gamma di modelli a grana grossa. Di solito sono dedicati alla modellazione computazionale di molecole specifiche: proteine, acidi nucleici, membrane lipidiche, carboidrati o acqua. In questi modelli, le molecole sono rappresentate non da singoli atomi, ma da "pseudoatomi" che approssimano gruppi di atomi, come l'intero residuo amminoacidico . Diminuendo i gradi di libertà si possono studiare tempi di simulazione molto più lunghi a scapito dei dettagli molecolari. I modelli a grana grossa hanno trovato applicazioni pratiche nelle simulazioni di dinamica molecolare . Un altro caso di interesse è la semplificazione di un dato sistema a stati discreti, poiché molto spesso sono possibili descrizioni dello stesso sistema a diversi livelli di dettaglio. Un esempio è dato dalla dinamica chemiomeccanica di una macchina molecolare, come la Kinesin.

La modellazione a grana grossa ha origine dal lavoro di Michael Levitt e Ariel Warshel negli anni '70. I modelli a grana grossa sono attualmente spesso utilizzati come componenti di protocolli di modellazione multiscala in combinazione con strumenti di ricostruzione (dalla rappresentazione a grana grossa a quella atomistica) e modelli di risoluzione atomistica. I soli modelli di risoluzione atomica attualmente non sono abbastanza efficienti per gestire grandi dimensioni di sistemi e tempi di simulazione.

La grana grossa e la grana fine nella meccanica statistica affrontano il tema dell'entropia , e quindi la seconda legge della termodinamica. Bisogna rendersi conto che il concetto di temperatura non può essere attribuito a una particella arbitrariamente microscopica poiché questa non irradia termicamente come un macroscopico o " corpo nero " . Tuttavia, si può attribuire un'entropia diversa da zero a un oggetto con solo due stati come un `` bit ´´ (e nient'altro). Le entropie dei due casi sono chiamate rispettivamente entropia termica e entropia di von Neumann. Si distinguono anche per i termini a grana grossa e grana fine rispettivamente. Quest'ultima distinzione è correlata all'aspetto sopra esposto e viene elaborata in seguito. ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

Il teorema di Liouville (a volte chiamato anche equazione di Liouville )

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\Delta q\Delta p)=0}$

afferma che un volume dello spazio delle fasi (attraversato da e , qui in una dimensione spaziale) rimane costante nel corso del tempo, indipendentemente da dove si muove il punto contenuto in . Questa è una considerazione nella meccanica classica. Per mettere in relazione questa visione con la fisica macroscopica si circonda ogni punto, ad esempio, con una sfera di un volume fisso - una procedura chiamata grana grossa che raggruppa punti o stati di comportamento simile. La traiettoria di questa sfera nello spazio delle fasi copre poi anche altri punti e quindi il suo volume nello spazio delle fasi cresce. L'entropia associata a questa considerazione, zero o meno, è chiamata entropia a grana grossa o entropia termica. Un gran numero di tali sistemi, cioè quello in esame insieme a molte copie, è chiamato insieme. Se questi sistemi non interagiscono tra loro o altro, e ognuno ha la stessa energia , l'insieme è chiamato insieme microcanonico. Ogni sistema di replica appare con la stessa probabilità e la temperatura non entra. ${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q, p}$${\ Displaystyle \ Delta q \ Delta p}$${\displaystyle q, p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$

Supponiamo ora di definire una densità di probabilità che descriva il moto del punto con l'elemento dello spazio delle fasi . Nel caso di equilibrio o moto stazionario l'equazione di continuità implica che la densità di probabilità è indipendente dal tempo . Prendiamo come diverso da zero solo all'interno del volume dello spazio delle fasi . Si definisce quindi l'entropia mediante la relazione ${\displaystyle \rho (q_{i},p_{i},t)}$${\displaystyle q_{i},p_{i}}$${\displaystyle \Delta q_{i}\Delta p_{i}}$${\displaystyle\rho}$${\displaystyle}$${\displaystyle \rho _{i}=\rho (q_{i},p_{i})}$${\displaystyle V_{\Gamma }}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-\Sigma _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i},\;\;}$ dove ${\displaystyle \;\;\Sigma _{i}\rho _{i}=1.}$

Allora, massimizzando per una data energia , cioè legando con dell'altra somma uguale a zero tramite un moltiplicatore di Lagrange , si ottiene (come nel caso di un reticolo di spin o con un bit in ogni punto del reticolo) ${\displaystyle E}$${\displaystyle \delta S=0}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle V_{\Gamma }=e^{(\lambda +1)}={\frac {1}{\rho }}}$ ${\displaystyle \;\;\;}$e ,${\displaystyle \;\;\;}$ ${\displaystyle S=\ln V_{\Gamma }}$

il volume di essere proporzionale all'esponenziale di S. Anche questa è una considerazione nella meccanica classica. ${\displaystyle \Gamma}$

In meccanica quantistica lo spazio delle fasi diventa uno spazio di stati e la densità di probabilità un operatore con un sottospazio di stati di dimensione o numero di stati specificato da un operatore di proiezione . Allora l'entropia è (ottenuta come sopra) ${\displaystyle\rho}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle N_{\Gamma }}$${\displaystyle P_{\Gamma }}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-Tr\rho \ln \rho =\ln N_{\Gamma},}$

ed è descritto come entropia a grana fine o di von Neumann. Se , l'entropia svanisce e si dice che il sistema è allo stato puro. Qui l'esponenziale di S è proporzionale al numero di stati. L'insieme microcanonico è di nuovo un gran numero di copie non interagenti del dato sistema e , energia ecc. diventano medie di insieme. ${\displaystyle N_{\Gamma }=1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$

Consideriamo ora l'interazione di un dato sistema con un altro - o nella terminologia d'insieme - il dato sistema e il gran numero di repliche tutte immerse in un grande chiamato bagno di calore caratterizzato da . Poiché i sistemi interagiscono solo tramite il bagno di calore, i singoli sistemi dell'insieme possono avere energie diverse a seconda dello stato energetico in cui si trovano. Questa interazione è descritta come entanglement e l'insieme come insieme canonico (l'insieme macrocanonico permette anche lo scambio di particelle ). ${\displaystyle\rho}$${\displaystyle E_{i},E_{j},...}$${\displaystyle E_{i},E_{j},...}$

L'interazione degli elementi dell'insieme tramite il bagno di calore porta alla temperatura , come ora mostriamo. Considerando due elementi con energie , la probabilità di trovarli nel bagno di calore è proporzionale a , e questo è proporzionale a se consideriamo il sistema binario come un sistema nello stesso bagno di calore definito dalla funzione . Ne consegue che (unico modo per soddisfare la proporzionalità), dove è una costante. La normalizzazione quindi implica ${\displaystyle T}$${\displaystyle E_{i},E_{j}}$${\displaystyle \rho (E_{i})\rho (E_{j})}$${\displaystyle \rho (E_{i}+E_{j})}$${\displaystyle\rho}$${\displaystyle \rho (E)\propto e^{-\mu E}}$${\displaystyle\mu}$

${\displaystyle \rho (E_{i})={\frac {e^{-\mu E_{i}}}{\Sigma _{j}e^{-\mu E_{j}}}},\ Sigma _{i}\rho (E_{i})=1.}$

Allora in termini di medie d'insieme

${\displaystyle {\overline {S}}=-{\overline {\ln \rho }}}$, e ${\displaystyle \mu \equiv {\frac {1}{T}},\;k_{B}=1,}$

o per confronto con il secondo principio della termodinamica. è ora l'entanglement entropia o entropia di von Neumann a grana fine. Questo è zero se il sistema è in uno stato puro ed è diverso da zero quando è in uno stato misto (entangled). ${\displaystyle {\overline {S}}}$

Sopra abbiamo considerato un sistema immerso in un altro enorme chiamato bagno di calore con la possibilità di permettere lo scambio termico tra di loro. Spesso si considera una situazione diversa, cioè due sistemi A e B con un piccolo foro nel tramezzo tra di loro. Supponiamo che B sia originariamente vuoto ma A contenga un dispositivo esplosivo che riempie istantaneamente A di fotoni. Originariamente A e B hanno rispettivamente energie e e non c'è interazione. Quindi originariamente entrambi sono in stati quantistici puri e hanno zero entropie a grana fine. Subito dopo l'esplosione A si riempie di fotoni, l'energia è ancora presente e anche quella di B (nessun fotone è ancora uscito). Poiché A è pieno di fotoni, questi obbediscono a una legge di distribuzione di Planck e quindi l'entropia termica a grana grossa di A è diversa da zero (ricorda: molte configurazioni dei fotoni in A, molti stati con un massimo), sebbene la meccanica quantistica a grana fine l'entropia è ancora zero (stesso stato energetico), come anche quella di B. Ora permetti ai fotoni di fuoriuscire lentamente (cioè senza perturbare l'equilibrio) da A a B. Con meno fotoni in A, la sua entropia a grana grossa diminuisce ma quella di B aumenta. Questo entanglement di A e B implica che ora sono meccanicamente quantistica in stati misti, e quindi le loro entropie a grana fine non sono più zero. Infine, quando tutti i fotoni sono in B, l'entropia a grana grossa di A così come la sua entropia a grana fine svaniscono e A è di nuovo allo stato puro ma con nuova energia. D'altra parte B ora ha un'entropia termica aumentata, ma poiché l'entanglement è finito, è di nuovo meccanicamente quantistica in uno stato puro, il suo stato fondamentale, e quello ha entropia di von Neumann a grana fine zero. Considera B: nel corso dell'entanglement con A la sua entropia fine o entanglement è iniziata e terminata in stati puri (quindi con zero entropie). La sua entropia a grana grossa, tuttavia, salì da zero al suo valore finale diverso da zero. Circa a metà della procedura l'entropia di entanglement di B raggiunge un massimo e poi scende a zero alla fine. ${\displaystyle E_{A}}$${\displaystyle E_{B}}$${\displaystyle E_{A}}$${\displaystyle E_{B}}$

L'entropia termica a grana grossa classica della seconda legge della termodinamica non è la stessa dell'entropia a grana fine (per lo più più piccola) della meccanica quantistica. La differenza si chiama informazione . Come si può dedurre dagli argomenti precedenti, questa differenza è approssimativamente zero prima che l'entropia di entanglement (che è la stessa per A e B) raggiunga il suo massimo. Un esempio di grana grossa è fornito dal moto browniano .

Pacchetti software

• Simulatore massivo parallelo atomico/molecolare su larga scala ( LAMMPS )
• Pacchetto di simulazione estensibile per la ricerca sulla materia morbida ESPResSo (link esterno)

Riferimenti