coomologia di De Rham - De Rham cohomology

Campo vettoriale corrispondente a una forma differenziale sul piano perforato che è chiusa ma non esatta, mostrando che la coomologia di de Rham di questo spazio non è banale.

In matematica , la coomologia di de Rham (dal nome di Georges de Rham ) è uno strumento appartenente sia alla topologia algebrica che alla topologia differenziale , in grado di esprimere informazioni topologiche di base su varietà lisce in una forma particolarmente adatta al calcolo e alla rappresentazione concreta di classi di coomologia . È una teoria di coomologia basata sull'esistenza di forme differenziali con proprietà prescritte.

Ogni forma esatta è chiusa, ma non è necessariamente vero il contrario. D'altra parte, c'è una relazione tra mancanza di esattezza ed esistenza di "buchi". I gruppi di coomologia di De Rham sono un insieme di invarianti di varietà lisce che rendono quantitativa la suddetta relazione, e saranno discussi in questo articolo.

Il concetto di integrazione sulle forme è di fondamentale importanza nella topologia differenziale, nella geometria e nella fisica, e fornisce anche uno dei più importanti esempi di coomologia , vale a dire la coomologia di de Rham , che (in parole povere) misura precisamente la misura in cui il teorema fondamentale di il calcolo fallisce in dimensioni superiori e su varietà generali.
—  Terence Tao , Forme differenziali e integrazione

Definizione

Il complesso di de Rham è il complesso cochain delle forme differenziali su una varietà liscia M , con la derivata esterna come differenziale:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

dove Ω ⁰ ( M ) è lo spazio delle funzioni regolari su M , Ω ¹ ( M ) è lo spazio delle 1 -forme, e così via. Forme che sono l'immagine di altre forme sotto la derivata esterna , più la costante 0 funzione Ω ⁰ ( M ) , sono chiamati esatta e forme quali la derivata esterna è 0 sono chiamati chiuse (vedi chiuso e forme esatta differenziali ); la relazione d ² = 0 allora dice che le forme esatte sono chiuse.

Al contrario, le forme chiuse non sono necessariamente esatte. Un caso illustrativo è un cerchio come varietà, e la forma 1 corrispondente alla derivata dell'angolo da un punto di riferimento al suo centro, tipicamente scritto come dθ (descritto in Forme differenziali chiuse ed esatte ). Non esiste una funzione θ definita sull'intero cerchio tale che dθ sia la sua derivata; l'aumento di 2 π ad andare una volta attorno al cerchio nella direzione positiva implica una funzione multivalore θ . La rimozione di un punto del cerchio ovvia a ciò, modificando allo stesso tempo la topologia della varietà.

L'idea alla base della coomologia di de Rham è definire classi di equivalenza di forme chiuse su una varietà. Si classificano due forme chiuse α , β ∈ Ω ^k ( M ) come coomologhe se differiscono per una forma esatta, cioè se α − β è esatta. Questa classificazione induce una relazione di equivalenza sullo spazio di forme chiuse in Ω ^k ( M ) . Uno poi definisce il k -esimo de gruppo cohomology Rham come l'insieme di classi di equivalenza, cioè l'insieme di forme chiuse in Ω ^k ( M ) MODULO forme esatti. ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

Si noti che, per ogni varietà M composta da m componenti sconnessi, ciascuno dei quali è connesso , si ha che

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

Ciò segue dal fatto che qualsiasi funzione regolare su M con derivata zero ovunque è separatamente costante su ciascuna delle componenti connesse di M .

Coomologia di De Rham calcolata

Si possono spesso trovare le coomologie generali di de Rham di una varietà usando il fatto di cui sopra sulla coomologia zero e una sequenza di Mayer-Vietoris . Un altro fatto utile è che la coomologia di de Rham è un'omotopia invariante. Sebbene il calcolo non sia dato, le seguenti sono le coomologie di de Rham calcolate per alcuni oggetti topologici comuni :

La n- sfera

Per la n- sfera , , e anche quando presi insieme ad un prodotto di intervalli aperti, si ha quanto segue. Lasciate n > 0, m ≥ 0 , e io sarò un vero e proprio intervallo aperto. Quindi ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR}}^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{casi}\mathbb {R} &k=0{\text{ o }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ e }}k\neq n.\end{casi}}}$

Il n- torus

Il -torus è il prodotto cartesiano: . Allo stesso modo, permettendo qui, otteniamo ${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

Possiamo anche trovare generatori espliciti per la coomologia di de Rham del toro utilizzando direttamente forme differenziali. Data una varietà quoziente e una forma differenziale possiamo dire che è -invariante se dato qualsiasi diffeomorfismo indotto da , abbiamo . In particolare, il pullback di qualsiasi form su è -invariant. Inoltre, il pullback è un morfismo iniettivo. Nel nostro caso le forme differenziali sono -invarianti poiché . Ma, nota che for non è una forma invariante . Questo con l'iniettività implica che ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$${\displaystyle\omega}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot g:X\to X}$${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega)=\omega}$${\displaystyle X/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$${\displaystyle x_{i}+\alpha }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Poiché l'anello di coomologia di un toro è generato da , prendendo i prodotti esterni di queste forme si ottengono tutti i rappresentanti espliciti per la coomologia di de Rham di un toro. ${\displaystyle H^{1}}$

Spazio euclideo perforato

Lo spazio euclideo perforato è semplicemente con l'origine rimossa. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2} &n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{casi}}.}$

Il nastro di Möbius

Possiamo dedurre dal fatto che il nastro di Möbius , M , può essere per deformazione retratto alla 1 -sfera (cioè il cerchio unitario reale), che:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

Il teorema di De Rham

Il teorema di Stokes è un'espressione della dualità tra la coomologia di de Rham e l' omologia delle catene . Dice che l'accoppiamento di forme differenziali e catene, tramite integrazione, dà un omomorfismo dalla coomologia di de Rham ai gruppi di coomologia singolare Il teorema di De Rham , dimostrato da Georges de Rham nel 1931, afferma che per una varietà liscia M , questa mappa è infatti un isomorfismo . ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R}).}$

Più precisamente, considera la mappa

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R}),}$

definito come segue: per qualsiasi , sia I ( ω ) l'elemento di che agisce come segue: ${\displaystyle [\omega]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R})\simeq H^{p}(M;\mathbb {R})}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

Il teorema di de Rham afferma che questo è un isomorfismo tra la coomologia di de Rham e la coomologia singolare.

Il prodotto esterno conferisce alla somma diretta di questi gruppi una struttura ad anello . Un ulteriore risultato del teorema è che i due anelli di coomologia sono isomorfi (come anelli graduati ), dove il prodotto analogo sulla coomologia singolare è il prodotto della coppa .

Isomorfismo di de Rham della teoria del fascio

La coomologia di de Rham è isomorfa alla coomologia di Čech , dove il fascio di gruppi abeliani è determinato da per tutti gli insiemi aperti connessi , e per gli insiemi aperti tali che il morfismo di gruppo è dato dalla mappa identità su e dove è un buon coperchio aperto di (cioè tutti gli insiemi aperti nella copertura aperta sono contrattili a un punto, e tutte le intersezioni finite di insiemi in sono o vuote o contrattili a un punto). In altre parole è il fascio costante dato dalla sheafificazione dell'assegnamento del prefascio costante . ${\displaystyle H^{*}({\mathcal {U}},F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(U)=\mathbb {R}}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(U)=\mathbb {R}}$

Detto in altro modo, se è una varietà compatta C ^{m +1} di dimensione , allora per ogni , esiste un isomorfismo ${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k\leq m}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong {\check {H}}^{k}(M, {\underline {\mathbb {R} }})}$

dove il membro di sinistra è il -esimo gruppo di coomologia di Rham e il membro di destra è la coomologia di Čech per il fascio costante con fibra${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R}.}$

Prova

Lasciate che indicano il fascio di germi di -forme su (con il fascio di funzioni ). Per il lemma di Poincaré è esatta la seguente sequenza di fasci (nella categoria dei fasci): ${\displaystyle \Omega ^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega ^{0}}$${\displaystyle C^{m+1}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R}}}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d} \,\ Omega ^{2}\,\xrightarrow {d} \dots \xrightarrow {d} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Questa sequenza ora si suddivide in brevi sequenze esatte

${\displaystyle 0\to d\Omega ^{k-1}\,{\xrightarrow {\subset }}\,\Omega ^{k}\,{\xrightarrow {d}}\,d\Omega ^{k }\a 0.}$

Ognuno di questi induce una lunga sequenza esatta in coomologia. Poiché il fascio di funzioni su una varietà ammette partizioni di unità , la coomologia del fascio si annulla per . Quindi le sequenze coomologiche lunghe esatte stesse alla fine si separano in una catena di isomorfismi. Ad un'estremità della catena c'è la coomologia di Čech e all'altra si trova la coomologia di de Rham. ${\displaystyle C^{m+1}}$${\displaystyle H^{i}(\Omega ^{k})}$${\displaystyle i>0}$

Idee correlate

La coomologia di de Rham ha ispirato molte idee matematiche, tra cui la coomologia di Dolbeault , la teoria di Hodge e il teorema dell'indice di Atiyah-Singer . Tuttavia, anche in contesti più classici, il teorema ha ispirato numerosi sviluppi. In primo luogo, la teoria di Hodge dimostra che esiste un isomorfismo tra la coomologia costituita da forme armoniche e la coomologia di de Rham costituita da forme chiuse modulo forme esatte. Ciò si basa su un'opportuna definizione delle forme armoniche e del teorema di Hodge. Per ulteriori dettagli vedere la teoria di Hodge .

Forme armoniche

Se M è una varietà Riemanniana compatta , allora ogni classe di equivalenza in contiene esattamente una forma armonica . Cioè, ogni membro di una data classe di equivalenza di forme chiuse può essere scritto come ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$${\displaystyle\omega}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma}$

dove è esatto ed è armonico: . ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

Qualsiasi funzione armonica su una varietà Riemanniana connessa compatta è una costante. Quindi, questo particolare elemento rappresentativo può essere inteso come un estremo (un minimo) di tutte le forme coomologicamente equivalenti sulla varietà. Ad esempio, su un 2 - toro , si può immaginare una costante 1- forma come una in cui tutti i "capelli" sono pettinati ordinatamente nella stessa direzione (e tutti i "capelli" hanno la stessa lunghezza). In questo caso si hanno due pettinature coomologicamente distinte; tutti gli altri sono combinazioni lineari. In particolare, ciò implica che il 1° numero di Betti di un 2- toro è due. Più in generale, su un toro -dimensionale , si possono considerare le varie pettinature di -forme sul toro. Ci sono scegliere tali pettinature che possono essere utilizzate per formare i vettori di base per ; si sceglie quindi il -esimo numero di Betti per il gruppo coomologico di de Rham per il -toro . ${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Più precisamente, per una varietà differenziale M , si può dotarla di qualche metrica Riemanniana ausiliaria . Allora il Laplaciano è definito da ${\displaystyle \Delta}$

${\ Displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$

con la derivata esterna e il codifferenziale . Il Laplaciano è un operatore differenziale lineare omogeneo (in grading ) che agisce sull'algebra esterna delle forme differenziali : possiamo osservare la sua azione su ciascuna componente di grado separatamente. ${\displaystyle d}$${\displaystyle \delta}$ ${\displaystyle k}$

Se è compatto e orientato , la dimensione del nucleo del Laplaciano che agisce sullo spazio delle k- forme è allora uguale (per la teoria di Hodge ) a quella del gruppo coomologico di de Rham in grado : il Laplaciano individua un'unica forma armonica in ogni classe di coomologia di forme chiuse . In particolare, lo spazio di tutte le forme armoniche su è isomorfo a La dimensione di ciascuno di tali spazi è finita, ed è data dal -esimo numero di Betti . ${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R}).}$${\displaystyle k}$

Decomposizione Hodge

Sia una varietà Riemanniana orientata compatta . La scomposizione di Hodge afferma che qualsiasi -form su si divide in modo univoco nella somma di tre componenti L ² : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma,}$

dove è esatto, è coesatto ed è armonico. ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma}$

Si dice che una forma è co-chiusa se e coesatta se per qualche forma , e che è armonica se il Laplaciano è zero, . Ciò segue notando che le forme esatte e co-esatte sono ortogonali; il complemento ortogonale consiste allora di forme chiuse e co-chiuse: cioè di forme armoniche. Qui, l'ortogonalità è definita rispetto al prodotto interno L ² su : ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \delta \beta =0}$${\displaystyle \beta =\delta \eta}$${\displaystyle\eta}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Delta \gamma =0}$${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta}.}$

Utilizzando spazi o distribuzioni di Sobolev , la scomposizione può essere estesa ad esempio ad una varietà Riemanniana completa (orientata o no).

Guarda anche

• teoria di Hodge
• Integrazione lungo le fibre (per la coomologia di de Rham, il pushforward è dato dall'integrazione )

citazioni

Riferimenti

link esterno

• Idea del De Rham Coomology in Mathifold Project
• "Coomologia di De Rham" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]