Dodecaedro - Dodecahedron
io h , ordine 120 | |||
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Regolare- | Piccolo stellato- | Grande- | Grande stellato- |
T h , ordina 24 | T, ordine 12 | O h , fine 48 | Johnson (J 84 ) |
piritoedro | Tetartoide | rombico- | Triangolare- |
D 4h , ordine 16 | G 3h , ordine 12 | ||
Rombo-esagonale- | Rombo-quadrato- | Trapezo-rombico- | Rombo-triangolare- |
In geometria , un dodecaedro (dal greco δωδεκάεδρον , da δώδεκα dōdeka "dodici" + ἕδρα hédra "base", "sede" o "faccia") o duodecaedro è un qualsiasi poliedro con dodici facce piatte. Il dodecaedro più familiare è il dodecaedro regolare con pentagoni regolari come facce, che è un solido platonico . Ci sono anche tre dodecaedri a stella regolari , che sono costruiti come stellazioni di forma convessa. Tutti questi hanno simmetria icosaedrica , ordine 120.
Alcuni dodecaedri hanno la stessa struttura combinatoria del dodecaedro regolare (in termini di grafo formato dai suoi vertici e bordi), ma le loro facce pentagonali non sono regolari: il piritoedro , una forma cristallina comune nella pirite , ha simmetria piritoedrica , mentre il tetartoide ha simmetria tetraedrica .
Il dodecaedro rombico può essere visto come un caso limite del piritoedro, e ha simmetria ottaedrica . Il dodecaedro allungato e le variazioni del dodecaedro trapezo-rombico , insieme al dodecaedro rombico, riempiono lo spazio . Ci sono numerosi altri dodecaedri .
Mentre il dodecaedro regolare condivide molte caratteristiche con altri solidi platonici, una sua proprietà unica è che si può iniziare da un angolo della superficie e disegnare un numero infinito di linee rette attraverso la figura che ritornano al punto originale senza incrociarsi con nessun altro angolo.
dodecaedri regolari
Il dodecaedro regolare convesso è uno dei cinque solidi platonici regolari e può essere rappresentato dal suo simbolo Schläfli {5, 3}.
Il poliedro duale è l' icosaedro regolare {3, 5}, avente cinque triangoli equilateri attorno a ciascun vertice.
Dodecaedro regolare convesso |
Piccolo dodecaedro stellato |
Grande dodecaedro |
Grande dodecaedro stellato |
Il dodecaedro regolare convesso ha anche tre stellazioni , tutte dodecaedri a stella regolari. Formano tre dei quattro poliedri Keplero-Poinsot . Sono il piccolo dodecaedro stellato {5/2, 5}, il grande dodecaedro {5, 5/2} e il grande dodecaedro stellato {5/2, 3}. Il piccolo dodecaedro stellato e il grande dodecaedro sono doppi tra loro; il grande dodecaedro stellato è duale al grande icosaedro {3, 5/2}. Tutti questi dodecaedri a stella regolari hanno facce regolari pentagonali o pentagrammiche . Il dodecaedro regolare convesso e il dodecaedro grande stellato sono realizzazioni differenti dello stesso poliedro regolare astratto ; il piccolo dodecaedro stellato e il grande dodecaedro sono diverse realizzazioni di un altro poliedro regolare astratto.
Altro dodecaedro pentagonale
In cristallografia , due importanti dodecaedri possono presentarsi come forme cristalline in alcune classi di simmetria del sistema cristallino cubico che sono topologicamente equivalenti al dodecaedro regolare ma meno simmetrici: il piritoedro con simmetria piritoedrica e il tetartoide con simmetria tetraedrica :
piritoedro
piritoedro | |
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(Vedi qui per un modello rotante.) |
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Poligono della faccia | pentagono irregolare |
diagrammi di Coxeter |
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Facce | 12 |
bordi | 30 (6 + 24) |
vertici | 20 (8 + 12) |
Gruppo di simmetria | T h , [4,3 + ], (3*2), ordine 24 |
Gruppo di rotazione | T , [3,3] + , (332), ordine 12 |
Doppio poliedro | Pseudoicosaedro |
Proprietà | faccia transitiva |
Netto |
Un piritoedro è un dodecaedro con simmetria piritoedrica (T h ). Come il dodecaedro regolare , ha dodici facce pentagonali identiche , con tre che si incontrano in ciascuno dei 20 vertici (vedi figura). Tuttavia, i pentagoni non sono vincolati ad essere regolari e la disposizione atomica sottostante non ha un vero asse di simmetria quintuplo. I suoi 30 bordi sono divisi in due set, contenenti 24 e 6 bordi della stessa lunghezza. Gli unici assi di simmetria rotazionale sono tre doppi assi reciprocamente perpendicolari e quattro tripli assi.
Sebbene i dodecaedri regolari non esistano nei cristalli, la forma piritoedrica si verifica nei cristalli del minerale pirite e potrebbe essere un'ispirazione per la scoperta della forma solida platonica regolare . Il vero dodecaedro regolare può presentarsi come una forma per quasicristalli (come quasicristallo olmio-magnesio-zinco ) con simmetria icosaedrica , che include veri cinque assi di rotazione.
pirite di cristallo
Il nome pirite di cristallo deriva da una delle due comuni abitudini di cristallo mostrate dalla pirite (l'altra è il cubo ). Nella pirite piritoedrica, le facce hanno un indice di Miller di (210), il che significa che l' angolo diedro è 2·arctan(2) 126,87° e ciascuna faccia pentagonale ha un angolo di circa 121,6° tra due angoli di circa 106,6° e opposti a due angoli di circa 102,6°. Le formule seguenti mostrano le misure per la faccia di un cristallo perfetto (che raramente si trova in natura).
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coordinate cartesiane
Gli otto vertici di un cubo hanno le coordinate (±1, ±1, ±1).
Le coordinate dei 12 vertici aggiuntivi sono ( 0, ±(1 + h ), ±(1 − h 2 ) ) , ( ±(1 + h ), ±(1 − h 2 ), 0 ) e ( ±(1 − h 2 ), 0, ±(1 + h ) ) .
h è l'altezza del "tetto" a forma di cuneo sopra le facce di quel cubo con lunghezza del bordo 2.
Un caso importante è h =1/2(un quarto della lunghezza dello spigolo del cubo) per pirite naturale perfetto (anche il pyritohedron nella struttura Weaire-Phelan ).
Un altro è h =1/?= 0,618... per il dodecaedro regolare . Vedere la sezione Libertà geometrica per altri casi.
Due piritoedri con coordinate diverse da zero scambiate sono in doppia posizione l'uno rispetto all'altro come i dodecaedri nel composto di due dodecaedri .
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Animazioni | |
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Favo di piritoedri alternati convessi e concavi con altezze comprese tra ±1/? | Altezze comprese tra 0 (cubo) e 1 (dodecaedro rombico) |
Libertà geometrica
Il piritoedro ha un grado di libertà geometrica con casi limite di un inviluppo cubico convesso in corrispondenza di un limite di bordi collineari e un dodecaedro rombico come l'altro limite poiché 6 bordi sono degenerati a lunghezza zero. Il dodecaedro regolare rappresenta un caso intermedio speciale in cui tutti i bordi e gli angoli sono uguali.
È possibile superare questi casi limite, creando piritoedri concavi o non convessi. L' endododecaedro è concavo ed equilatero; può tessere lo spazio con il dodecaedro regolare convesso. Proseguendo da lì in quella direzione, passiamo attraverso un caso degenere in cui dodici vertici coincidono al centro, e al grande dodecaedro stellato regolare dove tutti i bordi e gli angoli sono di nuovo uguali, e le facce sono state distorte in pentagrammi regolari . Dall'altro lato, oltre il dodecaedro rombico, otteniamo un dodecaedro equilatero non convesso con facce pentagonali equilatere autointersecanti a forma di pesce.
Casi speciali del piritoedro | |||||||
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Versioni con uguali valori assoluti e segni contrapposti formano insieme un nido d'ape. (Confronta questa animazione .) Il rapporto mostrato è quello delle lunghezze degli spigoli, ovvero quelle in un insieme di 24 (vertici del cubo che si toccano) a quelle in un insieme di 6 (corrispondenti alle facce del cubo). |
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Rapporto | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 | 2 : 1 | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 |
h | −√ 5 + 1/2 | −1 | - √ 5 + 1/2 | 0 | √ 5 - 1/2 | 1 | √ 5 + 1/2 |
−1.618... | -0,618... | 0,618... | 1.618... | ||||
Immagine |
Stella regolare, grande dodecaedro stellato , con facce regolari di pentagramma |
Degenerato, 12 vertici al centro |
Il dodecaedro equilatero concavo, detto endo-dodecaedro . |
Un cubo può essere diviso in un piritoedro bisecando tutti i bordi e le facce in direzioni alterne. |
Un dodecaedro regolare è un caso intermedio con lunghezze degli spigoli uguali. |
Un dodecaedro rombico è un caso degenere con i 6 incroci ridotti a lunghezza zero. |
Dodecaedro equilatero autointersecante |
Tetartoide
Tetartoide Dodecaedro pentagonale tetragonale |
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(Vedi qui per un modello rotante.) |
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Poligono della faccia | pentagono irregolare |
notazione Conway | gT |
Facce | 12 |
bordi | 30 (6+12+12) |
vertici | 20 (4+4+12) |
Gruppo di simmetria | T , [3,3] + , (332), ordine 12 |
Proprietà | convesso , faccia transitiva |
Un tetartoide (anche dodecaedro pentagonale tetragonale , pentagono-tritetraedro e dodecaedro pentagono tetraedrico ) è un dodecaedro con simmetria tetraedrica chirale (T). Come il dodecaedro regolare , ha dodici facce pentagonali identiche , con tre che si incontrano in ciascuno dei 20 vertici. Tuttavia, i pentagoni non sono regolari e la figura non ha cinque assi di simmetria.
Sebbene i dodecaedri regolari non esistano nei cristalli, la forma tetartoide sì. Il nome tetartoide deriva dalla radice greca per un quarto perché ha un quarto di simmetria ottaedrica completa e metà di simmetria piritoedrica. Il minerale cobaltite può avere questa forma di simmetria.
Astrazioni condivisione del solido topologia e la simmetria possono essere creati dal cubo e il tetraedro. Nel cubo ogni faccia è divisa in due da un bordo inclinato. Nel tetraedro ogni spigolo è trisecato e ciascuno dei nuovi vertici è connesso a un centro della faccia. (Nella notazione poliedrica di Conway questo è un giroscopio tetraedro.)
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Relazione con il dyakis dodecaedro | ||
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Un tetartoide può essere creato ingrandendo 12 delle 24 facce di un dyakis dodecaedro . (Il tetartoide mostrato qui si basa su uno che è esso stesso creato ingrandendo 24 delle 48 facce del disdyakis dodecaedro .)
Il modello in cristallo a destra mostra un tetartoide creato ingrandendo le facce blu del nucleo dodecaedrico del dyakis. Pertanto i bordi tra le facce blu sono coperti dai bordi dello scheletro rosso. |
coordinate cartesiane
I seguenti punti sono vertici di un pentagono tetartoide sotto simmetria tetraedrica :
- ( a , b , c ); (− a , − b , c ); (-n/d 1, −n/d 1, n/d 1); (- c , - un , b ); (-n/d 2, n/d 2, n/d 2),
alle seguenti condizioni:
- 0 ≤ a ≤ b ≤ c ,
- n = a 2 c − bc 2 ,
- d 1 = a 2 − ab + b 2 + ac − 2 bc ,
- d 2 = a 2 + ab + b 2 − ac − 2 bc ,
- nd 1 d 2 ≠ 0 .
Libertà geometrica
Il dodecaedro regolare è un tetartoide con più della simmetria richiesta. Il tetraedro triakis è un caso degenere con 12 bordi di lunghezza zero. (In termini di colori usati sopra questo significa che i vertici bianchi e i bordi verdi sono assorbiti dai vertici verdi.)
Variazioni tetartoidi dal dodecaedro regolare al tetraedro triakis | |||||||
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Doppio di girobianticupola triangolare
Una forma di simmetria inferiore del dodecaedro regolare può essere costruita come il duale di un poliedro costituito da due anticupole triangolari collegate base a base, chiamata girobianticupola triangolare. Ha simmetria D 3d , ordine 12. Ha 2 serie di 3 pentagoni identici in alto e in basso, collegati 6 pentagoni attorno ai lati che si alternano verso l'alto e verso il basso. Questa forma ha una sezione trasversale esagonale e copie identiche possono essere collegate come un nido d'ape esagonale parziale, ma tutti i vertici non corrisponderanno.
Dodecaedro rombico
Il dodecaedro rombico è uno zonohedron con dodici facce rombiche e simmetria ottaedrica. È duale al quasiregular cubottaedro (a Archimede solido ) e si verifica in natura come forma cristallina. Il dodecaedro rombico si raggruppa per riempire lo spazio.
Il dodecaedro rombico può essere visto come un piritoedro degenere in cui i 6 bordi speciali sono stati ridotti a lunghezza zero, riducendo i pentagoni a facce rombiche.
Il dodecaedro rombico ha diverse stellazioni , la prima delle quali è anch'essa un riempitivo spaziale paralleloedrico .
Un altro importante dodecaedro rombico, il dodecaedro di Bilinski , ha dodici facce congruenti a quelle del triacontaedro rombico , cioè le diagonali sono nel rapporto aureo . È anche uno zonohedron ed è stato descritto da Bilinski nel 1960. Questa figura è un altro spacefiller e può anche verificarsi in spacefilling non periodici insieme al triacontaedro rombico, all'icosaedro rombico e all'esaedro rombico.
Altri dodecaedri
Ci sono 6.384.634 dodecaedri convessi topologicamente distinti , escluse le immagini speculari: il numero di vertici varia da 8 a 20. (Due poliedri sono "topologicamente distinti" se hanno disposizioni intrinsecamente diverse di facce e vertici, in modo tale che è impossibile distorcerne uno in l'altro semplicemente modificando le lunghezze dei bordi o gli angoli tra bordi o facce.)
Dodecaedri topologicamente distinti (escluse le forme pentagonali e rombiche)
- Poliedri uniformi:
- Prisma decagonale – 10 quadrati, 2 decagoni, D 10h simmetria, ordine 40.
- Antiprisma pentagonale – 10 triangoli equilateri, 2 pentagoni, simmetria D 5d , ordine 20
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Solidi Johnson (faccia normale):
- Cupola pentagonale – 5 triangoli, 5 quadrati, 1 pentagono, 1 decagono, simmetria C 5v , ordine 10
- Disfenoide camuso – 12 triangoli, D 2d , ordine 8
- Piramide quadrata allungata – 8 triangoli e 4 quadrati, D 4h simmetria, ordine 16
- Icosaedro metabidiminuito – 10 triangoli e 2 pentagoni, simmetria C 2v , ordine 4
- Faccia irregolare congruente: ( faccia transitiva )
- Bipiramide esagonale – 12 triangoli isosceli , doppio di prisma esagonale , D 6h simmetria, ordine 24
- Trapezio esagonale – 12 aquiloni , doppio di antiprisma esagonale , simmetria D 6d , ordine 24
- Triakis tetraedro – 12 triangoli isosceli, duali di tetraedro troncato , simmetria T d , ordine 24
- Altri volti meno regolari:
- Piramide endecagonale – 11 triangoli isosceli e 1 endecagono regolare , C 11v , ordine 11
- Dodecaedro trapezo-rombico – 6 rombi, 6 trapezi – duale di ortobicupola triangolare , D 3h simmetria, ordine 12
- Dodecaedro rombo-esagonale o Dodecaedro allungato – 8 rombi e 4 esagoni equilateri , D 4h simmetria, ordine 16
- Trapezio pentagonale troncato , D 5d , ordine 20, topologicamente equivalente al dodecaedro regolare
Utilizzo pratico
Armand Spitz ha utilizzato un dodecaedro come equivalente "globale" per il suo proiettore planetario Digital Dome . sulla base di un suggerimento di Albert Einstein .
Guarda anche
- 120 celle − Un policoro regolare (politopo 4D) la cui superficie è costituita da 120 celle dodecaedriche.
- Braarudosphaera bigelowii - Un coccolitoforo a forma di dodecaedro( un'alga fitoplanctonica unicellulare ).
- Pentakis dodecaedro
- dodecaedro romano
- Dodecaedro snobbato
- Dodecaedro troncato
Riferimenti
link esterno
- Il quarto solido di Platone e il "piritoedro" , di Paul Stephenson, 1993, The Mathematical Gazette, vol. 77, n. 479 (luglio 1993), pp. 220-226 [1]
- Stellazione del piritoedro Modelli VRML e animazioni del piritoedro e delle sue stellazioni
- Klitzing, Richard. "Poliedri uniformi convessi 3D o3o5x – daina" .
- Rete stampabile modificabile di un dodecaedro con vista 3D interattiva
- Il Poliedro Uniforme
- Poliedri Origami – Modelli realizzati con Origami Modulari
- Realtà Virtuale Poliedri L'Enciclopedia dei Poliedri
- KJM MacLean, un'analisi geometrica dei cinque solidi platonici e altri poliedri semi-regolari
- Visualizzazione 3D del dodecaedro
- Stella: Polyhedron Navigator : Software utilizzato per creare alcune delle immagini in questa pagina.
- Come fare un dodecaedro da un cubo di polistirolo?
- Dodecaedri romani: oggetti misteriosi che sono stati trovati in tutto il territorio dell'Impero Romano