Metodi di scomposizione del dominio - Domain decomposition methods

Metodi di scomposizione del dominio

In matematica , analisi numerica ed equazioni alle derivate parziali numeriche , i metodi di decomposizione del dominio risolvono un problema di valore limite suddividendolo in problemi di valore limite più piccoli su sottodomini e iterando per coordinare la soluzione tra sottodomini adiacenti. Un problema grossolano con uno o pochi sconosciuti per sottodominio viene utilizzato per coordinare ulteriormente la soluzione tra i sottodomini a livello globale. I problemi sui sottodomini sono indipendenti, il che rende i metodi di scomposizione del dominio adatti al calcolo parallelo . I metodi di decomposizione del dominio sono tipicamente usati come precondizionatori per i metodi iterativi spaziali di Krylov , come il metodo del gradiente coniugato , GMRES e LOBPCG .

Nei metodi di scomposizione del dominio sovrapposti, i sottodomini si sovrappongono per più dell'interfaccia. I metodi di decomposizione dei domini sovrapposti includono il metodo alternativo di Schwarz e il metodo additivo di Schwarz . Molti metodi di decomposizione del dominio possono essere scritti e analizzati come un caso speciale del metodo additivo astratto di Schwarz .

Nei metodi non sovrapposti, i sottodomini si intersecano solo sulla loro interfaccia. Nei metodi primari, come il bilanciamento della decomposizione del dominio e BDDC , la continuità della soluzione nell'interfaccia del sottodominio viene applicata rappresentando il valore della soluzione su tutti i sottodomini vicini dallo stesso sconosciuto. Nei metodi doppi, come FETI , la continuità della soluzione nell'interfaccia del sottodominio viene applicata dai moltiplicatori di Lagrange . Il metodo FETI-DP è ibrido tra un metodo duale e uno primitivo.

I metodi di decomposizione dei domini non sovrapposti sono anche chiamati metodi di sottostrutturazione iterativa .

I metodi mortaio sono metodi di discretizzazione per equazioni alle derivate parziali, che utilizzano la discretizzazione separata su sottodomini non sovrapposti. Le mesh sui sottodomini non corrispondono sull'interfaccia e l'uguaglianza della soluzione è imposta dai moltiplicatori di Lagrange, scelti con giudizio per preservare l'accuratezza della soluzione. Nella pratica ingegneristica del metodo degli elementi finiti, la continuità delle soluzioni tra sottodomini non corrispondenti è implementata da vincoli a più punti .

Le simulazioni agli elementi finiti di modelli di dimensioni moderate richiedono la risoluzione di sistemi lineari con milioni di incognite. Diverse ore per fase temporale sono un tempo di esecuzione sequenziale medio, pertanto il calcolo parallelo è una necessità. I metodi di decomposizione del dominio incorporano un grande potenziale per una parallelizzazione dei metodi degli elementi finiti e servono una base per calcoli paralleli distribuiti.

Esempio 1: BVP lineare 1D

${\ displaystyle u '' (x) -u (x) = 0}$
${\ displaystyle u (0) = 0, u (1) = 1}$
La soluzione esatta è: suddividere il dominio in due sottodomini, uno da e l'altro da . Nel sottodominio a sinistra definire la funzione di interpolazione e nella definizione a destra . All'interfaccia tra questi due sottodomini devono essere imposte le seguenti condizioni di interfaccia: Definiamo le funzioni di interpolazione come: Dov'è l'ennesima funzione cardinale dei polinomi chebyshev del primo tipo con argomento di input y. Se N = 4, con questo schema si ottiene la seguente approssimazione: Questa è stata ottenuta con il seguente codice MATLAB.
${\ displaystyle u (x) = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {1} -e ^ {- 1}}}}$
${\ displaystyle \ sinistra [0, {\ frac {1} {2}} \ right]}$${\ displaystyle \ sinistra [{\ frac {1} {2}}, 1 \ destra]}$${\ displaystyle v_ {1} (x)}$${\ displaystyle v_ {2} (x)}$
${\ displaystyle v_ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = v_ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}$
${\ displaystyle v_ {1} '\ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = v_ {2}' \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}$

${\ Displaystyle v_ {1} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} u_ {n} T_ {n} (y_ {1} (x))}$
${\ Displaystyle v_ {2} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} u_ {n + N} T_ {n} (y_ {2} (x))}$
${\ displaystyle y_ {1} (x) = 4x-1}$
${\ displaystyle y_ {2} (x) = 4x-3}$
${\ displaystyle T_ {n} (y)}$

${\ displaystyle u_ {1} = 0,06236}$
${\ displaystyle u_ {2} = 0,21495}$
${\ displaystyle u_ {3} = 0,37428}$
${\ displaystyle u_ {4} = 0,44341}$
${\ displaystyle u_ {5} = 0,51492}$
${\ displaystyle u_ {6} = 0,69972}$
${\ displaystyle u_ {7} = 0,90645}$

clear all
N = 4;
a1 = 0; b1 = 1/2; 

[T D1 D2 E1 E2 x xsub] = cheb(N,a1,b1); % the diff matrices on [0,1/2] are the same
%as those on [1/2 1].
I = eye(N+1);
H = D2-I;
H1 = [[1 zeros(1,N)]; H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1]];
H1 = [H1 [zeros(N,N+1); -[1 zeros(1,N)]]];
H2 = [D1(1,:); H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1]];
H2 = [[-D1(N+1,:); zeros(N,N+1)] H2];
K = [H1; H2];
F = [zeros(2*N+1,1); 1];
u = K\F;
xx = -cos(pi*(0:N)'/N);
x1 = 1/4*(xx+1); x2 = 1/4*(xx+3);
x = [x1; x2];
uex = (exp(x)-exp(-x))./(exp(1)-exp(-1));

Guarda anche

• Metodo multigrid

link esterno

• La pagina ufficiale dei metodi di decomposizione del dominio
• Decomposizione del dominio - pagina Simulazioni numeriche