Einstein solido - Einstein solid

Il solido di Einstein è un modello di un solido cristallino che contiene un gran numero di oscillatori armonici quantistici tridimensionali indipendenti della stessa frequenza. Il presupposto di indipendenza è rilassato nel modello Debye .

Mentre il modello fornisce un accordo qualitativo con i dati sperimentali, specialmente per il limite di alta temperatura, queste oscillazioni sono in realtà fononi , o modi collettivi che coinvolgono molti atomi. Einstein sapeva che sarebbe stato difficile ottenere la frequenza delle oscillazioni effettive, ma nondimeno propose questa teoria perché era una dimostrazione particolarmente chiara che la meccanica quantistica poteva risolvere il problema del calore specifico nella meccanica classica.

Impatto storico

La teoria originale proposta da Einstein nel 1907 ha una grande rilevanza storica. La capacità termica dei solidi prevista dalla legge empirica di Dulong-Petit era richiesta dalla meccanica classica , il calore specifico dei solidi dovrebbe essere indipendente dalla temperatura. Ma esperimenti a basse temperature hanno mostrato che la capacità termica cambia, andando a zero allo zero assoluto. All'aumentare della temperatura, il calore specifico sale fino a quando non si avvicina alla previsione di Dulong e Petit ad alta temperatura.

Utilizzando l' ipotesi di quantizzazione di Planck , la teoria di Einstein ha rappresentato per la prima volta la tendenza sperimentale osservata. Insieme all'effetto fotoelettrico , questo è diventato una delle prove più importanti per la necessità della quantizzazione. Einstein usò i livelli dell'oscillatore quantistico molti anni prima dell'avvento della moderna meccanica quantistica .

Capacità termica

Per un approccio termodinamico, la capacità termica può essere derivata utilizzando diversi insiemi statistici . Tutte le soluzioni sono equivalenti al limite termodinamico .

Insieme microcanonico

Capacità termica di un solido di Einstein in funzione della temperatura. Il valore sperimentale di 3 Nk viene recuperato ad alte temperature.

La capacità termica di un oggetto a volume costante V è definita attraverso l' energia interna U as

{\ Displaystyle C_ {V} = \ left ({\ partial U \ over \ partial T} \ right) _ {V}.}

${\ displaystyle T}$ , la temperatura del sistema, può essere trovata dall'entropia

{\ displaystyle {1 \ over T} = {\ partial S \ over \ partial U}.}

Per trovare l'entropia si consideri un solido fatto di atomi, ognuno dei quali ha 3 gradi di libertà. Quindi ci sono oscillatori armonici quantistici (di seguito SHO per "Oscillatori armonici semplici"). ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle 3N}$

{\ displaystyle N ^ {\ prime} = 3N}

Le possibili energie di un SHO sono date da

{\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ left (n + {1 \ over 2} \ right)}

o, in altre parole, i livelli di energia sono uniformemente distanziati e si può definire un quantum di energia

{\ displaystyle \ varepsilon = \ hbar \ omega}

che è la più piccola e unica quantità di cui l'energia di un SHO viene aumentata. Successivamente, dobbiamo calcolare la molteplicità del sistema. Cioè, calcola il numero di modi per distribuire i quanti di energia tra gli SHO. Questo compito diventa più semplice se si pensa di distribuire i ciottoli sulle scatole ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$

o separare pile di ciottoli con tramezzi ${\ displaystyle N ^ {\ prime} -1}$

o disponendo ciottoli e tramezzi ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime} -1}$

L'ultima immagine è la più significativa. Il numero di disposizioni degli oggetti è . Quindi il numero di possibili disposizioni di ciottoli e tramezzi è . Tuttavia, se la partizione n. 3 e la partizione n. 5 si scambiassero, nessuno se ne accorgerebbe. Lo stesso argomento vale per i quanti. Per ottenere il numero di accordi distinguibili è necessario dividere il numero totale di accordi per il numero di accordi indistinguibili . Esistono arrangiamenti di quanti identici e accordi di partizione identici. Pertanto, la molteplicità del sistema è data da ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime} -1}$ ${\ displaystyle \ sinistra (q + N ^ {\ prime} -1 \ destra)!}$ ${\ displaystyle q!}$ ${\ displaystyle (N ^ {\ prime} -1)!}$

{\ displaystyle \ Omega = {\ sinistra (q + N ^ {\ prime} -1 \ destra)! \ su q! (N ^ {\ prime} -1)!}}

che, come accennato prima, è il numero di modi per depositare quanti di energia negli oscillatori. L'entropia del sistema ha la forma ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$

{\ Displaystyle S / k = \ ln \ Omega = \ ln {\ sinistra (q + N ^ {\ prime} -1 \ destra)! \ over q! (N ^ {\ prime} -1)!}.}

${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$ è un numero enorme: sottrarre uno da esso non ha alcun effetto complessivo:

{\ Displaystyle S / k \ approx \ ln {\ sinistra (q + N ^ {\ prime} \ destra)! \ over q! N ^ {\ prime}!}}

Con l'aiuto dell'approssimazione di Stirling , l'entropia può essere semplificata:

{\ Displaystyle S / k \ approx \ left (q + N ^ {\ prime} \ right) \ ln \ left (q + N ^ {\ prime} \ right) -N ^ {\ prime} \ ln N ^ { \ prime} -q \ ln q.}

L'energia totale del solido è data da

{\ displaystyle U = {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ over 2} + q \ varepsilon,}

poiché ci sono q quanti di energia in totale nel sistema oltre all'energia dello stato fondamentale di ciascun oscillatore. Alcuni autori, come Schroeder, omettono questa energia dello stato fondamentale nella loro definizione dell'energia totale di un solido di Einstein.

Siamo ora pronti per calcolare la temperatura

{\ displaystyle {1 \ over T} = {\ partial S \ over \ partial U} = {\ partial S \ over \ partial q} {dq \ over dU} = {1 \ over \ varepsilon} {\ partial S \ su \ partial q} = {k \ over \ varepsilon} \ ln \ left (1 + N ^ {\ prime} / q \ right)}

L'eliminazione di q tra le due formule precedenti dà per U:

{\ displaystyle U = {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ over 2} + {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ over e ^ {\ varepsilon / kT} -1}.}

Il primo termine è associato all'energia del punto zero e non contribuisce al calore specifico. Sarà quindi perso nella fase successiva.

Differenziando rispetto alla temperatura per trovare si ottiene: ${\ displaystyle C_ {V}}$

{\ displaystyle C_ {V} = {\ partial U \ over \ partial T} = {N ^ {\ prime} \ varepsilon ^ {2} \ over kT ^ {2}} {e ^ {\ varepsilon / kT} \ sopra \ sinistra (e ^ {\ varepsilon / kT} -1 \ destra) ^ {2}}}

o

${\ Displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ varepsilon \ over kT} \ right) ^ {2} {e ^ {\ varepsilon / kT} \ over \ left (e ^ {\ varepsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}.}$

Sebbene il modello di Einstein del solido preveda accuratamente la capacità termica alle alte temperature e in questo limite

${\ displaystyle \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} C_ {V} = 3Nk}$ ,

che è equivalente alla legge Dulong – Petit .

Tuttavia, la capacità termica si discosta notevolmente dai valori sperimentali a basse temperature. Vedere il modello di Debye per come calcolare le capacità di calore a bassa temperatura accurate.

Insieme canonico

La capacità termica è ottenuta attraverso l'uso della funzione di partizione canonica di un semplice oscillatore armonico quantistico.

{\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- E_ {n} / kT}}

dove

{\ displaystyle E_ {n} = \ varepsilon \ left (n + {1 \ over 2} \ right)}

sostituendolo nella formula della funzione di partizione si ottiene

{\ displaystyle {\ begin {align} Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ varepsilon \ left (n + 1/2 \ right) / kT} = e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ varepsilon / kT} = e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- \ varepsilon / kT} \ right) ^ {n} \\ = {e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ over 1-e ^ {- \ varepsilon / kT}} = {1 \ su e ^ {\ varepsilon / 2kT} -e ^ {- \ varepsilon / 2kT}} = {1 \ over 2 \ sinh \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)}. \ end {align}}}

Questa è la funzione di partizione di un oscillatore armonico. Poiché, statisticamente, la capacità termica, l'energia e l'entropia del solido sono equamente distribuite tra i suoi atomi, possiamo lavorare con questa funzione di partizione per ottenere quelle quantità e poi moltiplicarle semplicemente per ottenere il totale. Successivamente, calcoliamo l'energia media di ogni oscillatore ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = U = - {1 \ over Z} \ partial _ {\ beta} Z}

dove

{\ displaystyle \ beta = {1 \ over kT}.}

Perciò,

{\ Displaystyle U = -2 \ sinh \ sinistra ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) {- \ cosh \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) \ over 2 \ sinh ^ {2} \ sinistra ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)} {\ varepsilon \ over 2} = {\ varepsilon \ over 2} \ coth \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right).}

La capacità termica di un oscillatore è quindi

{\ displaystyle c_ {V} = {\ partial U \ over \ partial T} = - {\ varepsilon \ over 2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) } \ left (- {\ varepsilon \ over 2kT ^ {2}} \ right) = k \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) ^ {2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)}.}

Fino ad ora, abbiamo calcolato la capacità termica di un grado di libertà unico, che è stato modellato come un'armonica quantistica. La capacità termica dell'intero solido è quindi data da , dove il numero totale di gradi di libertà del solido è tre (per i tre gradi di libertà direzionali) volte , il numero di atomi nel solido. Si ottiene così ${\ displaystyle C_ {V} = 3NC_ {V}}$ ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) ^ {2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)} .}$

che è algebricamente identico alla formula derivata nella sezione precedente.

La quantità ha le dimensioni della temperatura ed è una proprietà caratteristica di un cristallo. È conosciuta come la temperatura di Einstein . Quindi, il modello del cristallo di Einstein prevede che l'energia e le capacità termiche di un cristallo sono funzioni universali del rapporto adimensionale . Allo stesso modo, il modello di Debye prevede una funzione universale del rapporto , dov'è la temperatura di Debye. ${\ displaystyle T _ {\ rm {E}} = \ varepsilon / k}$ ${\ displaystyle T / T _ {\ rm {E}}}$ ${\ displaystyle T / T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

Limitazioni e modello successivo

Nel modello di Einstein, il calore specifico si avvicina a zero in modo esponenziale velocemente a basse temperature. Questo perché tutte le oscillazioni hanno una frequenza comune. Il comportamento corretto si trova quantizzando i modi normali del solido nello stesso modo suggerito da Einstein. Quindi le frequenze delle onde non sono tutte uguali e il calore specifico va a zero come legge di potenza, che corrisponde all'esperimento. Questa modifica è chiamata modello Debye , apparso nel 1912. ${\ displaystyle T ^ {3}}$

Quando Walther Nernst venne a sapere dell'articolo del 1906 di Einstein sul calore specifico, era così eccitato che viaggiò da Berlino a Zurigo per incontrarlo.

Guarda anche

Teoria cinetica dei solidi

Riferimenti

link esterno

Zeleny, Enrique. "The Wolfram Demonstrations Project - Einstein Solid" . Estratto 2016/03/18 . .

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