Triangolo equilatero - Equilateral triangle

Triangolo equilatero
Triangolo.Equilatero.svg
Tipo Poligono regolare
Bordi e vertici 3
Schläfli simbolo {3}
Diagramma di Coxeter CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Gruppo di simmetria RE 3
La zona
Angolo interno ( gradi ) 60°

In geometria , un triangolo equilatero è un triangolo in cui tutti e tre i lati hanno la stessa lunghezza. Nella familiare geometria euclidea , anche un triangolo equilatero è equiangolo ; cioè, tutti e tre gli angoli interni sono anche congruenti tra loro e sono ciascuno di 60°. È anche un poligono regolare , quindi viene anche chiamato triangolo regolare .

Proprietà principali

Un triangolo equilatero. Ha lati uguali ( ), angoli uguali ( ) e altezze uguali ( ).

Denotando la lunghezza comune dei lati del triangolo equilatero come , possiamo determinare usando il teorema di Pitagora che:

  • La zona è ,
  • Il perimetro è
  • Il raggio del cerchio circoscritto è
  • Il raggio del cerchio inscritto è o
  • Il centro geometrico del triangolo è il centro dei cerchi circoscritti e inscritti
  • L' altitudine (altezza) da qualsiasi lato è

Denotando il raggio del cerchio circoscritto come R , possiamo determinare usando la trigonometria che:

  • L'area del triangolo è

Molte di queste quantità hanno semplici relazioni con l'altezza ("h") di ciascun vertice dal lato opposto:

  • La zona è
  • L'altezza del centro da ogni lato, o apotema , è
  • Il raggio del cerchio che circoscrive i tre vertici è
  • Il raggio del cerchio inscritto è

In un triangolo equilatero, le altezze, le bisettrici degli angoli, le bisettrici perpendicolari e le mediane a ciascun lato coincidono.

caratterizzazioni

Un triangolo ABC che ha i lati di un , b , c , semiperimeter s , zona T , exradii r un , r b , r c (tangente ad un , b , c rispettivamente), e dove R e R sono i raggi del cerchio circoscritto e incircle rispettivamente, è equilatero se e solo se una qualsiasi delle affermazioni nelle seguenti nove categorie è vera. Quindi queste sono proprietà che sono uniche per i triangoli equilateri, e sapere che ognuno di loro è vero implica direttamente che abbiamo un triangolo equilatero.

Lati

semiperimetro

angoli

La zona

  • ( Weitzenböck )

Circumradius, inradius ed exradii

ceviani uguali

Tre tipi di ceviani coincidono, e sono uguali, per (e solo per) i triangoli equilateri:

Centri triangolari coincidenti

Ogni centro triangolo di un triangolo equilatero coincide con il suo baricentro , il che implica che il triangolo equilatero è l'unico triangolo senza linea di Eulero che collega alcuni dei centri. Per alcune coppie di centri triangolari, il fatto che coincidano è sufficiente per garantire che il triangolo sia equilatero. In particolare:

Sei triangoli formati dalla partizione dalle mediane

Per ogni triangolo, le tre mediane dividono il triangolo in sei triangoli più piccoli.

  • Un triangolo è equilatero se e solo se tre dei triangoli più piccoli hanno lo stesso perimetro o lo stesso raggio.
  • Un triangolo è equilatero se e solo se i circocentri di tre qualsiasi dei triangoli più piccoli hanno la stessa distanza dal baricentro.

Punti nell'aereo

  • Un triangolo è equilatero se e solo se, per ogni punto P nel piano, con distanze p , q , e r dai lati del triangolo e distanze x , y , e z dai suoi vertici,

Teoremi notevoli

Dimostrazione visiva del teorema di Viviani
1. Sono mostrate le distanze più vicine dal punto P ai lati del triangolo equilatero ABC.
2. Le linee DE, FG e HI parallele ad AB, BC e CA, rispettivamente, definiscono triangoli più piccoli PHE, PFI e PDG.
3. Poiché questi triangoli sono equilateri, le loro altezze possono essere ruotate per essere verticali.
4. Poiché PGCH è un parallelogramma, il triangolo PHE può essere fatto scorrere verso l'alto per mostrare che le altezze si sommano a quelle del triangolo ABC.

Il teorema del trisettore di Morley afferma che, in ogni triangolo, i tre punti di intersezione dei trisettori degli angoli adiacenti formano un triangolo equilatero.

Il teorema di Napoleone afferma che, se si costruiscono triangoli equilateri sui lati di qualsiasi triangolo, tutti verso l'esterno o tutti verso l'interno, i centri di quei triangoli equilateri stessi formano un triangolo equilatero.

Una versione della disuguaglianza isoperimetrica per i triangoli afferma che il triangolo di area maggiore tra tutti quelli con un dato perimetro è equilatero.

Il teorema di Viviani afferma che, per ogni punto interno P in un triangolo equilatero con distanze d , e , ed f dai lati e altezza h ,

indipendente dalla posizione di P .

Il teorema di Pompeiu afferma che, se P è un punto arbitrario nel piano di un triangolo equilatero ABC ma non sul suo circumcerchio , allora esiste un triangolo con lati di lunghezze PA , PB e PC . Cioè, PA , PB e PC soddisfano la disuguaglianza triangolare secondo cui la somma di due qualsiasi di essi è maggiore del terzo. Se P è sul circumcircle allora la somma dei due più piccoli è uguale al più lungo e il triangolo è degenerato in una linea, questo caso è noto come teorema di Van Schooten .

Altre proprietà

Per la disuguaglianza di Eulero , il triangolo equilatero ha il rapporto più piccolo R / r del circumradius all'inradius di qualsiasi triangolo: in particolare, R / r = 2.

Il triangolo di area maggiore di tutti quelli inscritti in un dato cerchio è equilatero; e il triangolo di area più piccola di tutti quelli circoscritti ad un cerchio dato è equilatero.

Il rapporto tra l'area dell'incircle e l'area di un triangolo equilatero, , è maggiore di quello di qualsiasi triangolo non equilatero.

Il rapporto tra l'area e il quadrato del perimetro di un triangolo equilatero è maggiore di quello di qualsiasi altro triangolo.

Se un segmento divide un triangolo equilatero in due regioni con perimetri uguali e con aree A 1 e A 2 , allora

Se un triangolo è posto nel piano complesso con vertici complessi z 1 , z 2 e z 3 , allora per una radice cubica non reale di 1 il triangolo è equilatero se e solo se

Dato un punto P all'interno di un triangolo equilatero, il rapporto tra la somma delle sue distanze dai vertici e la somma delle sue distanze dai lati è maggiore o uguale a 2, l'uguaglianza vale quando P è il baricentro. In nessun altro triangolo c'è un punto per il quale questo rapporto sia piccolo come 2. Questa è la disuguaglianza di Erdős-Mordell ; una sua variante più forte è la disuguaglianza di Barrow , che sostituisce le distanze perpendicolari ai lati con le distanze da P ai punti in cui le bisettrici di ∠ APB , ∠ BPC e ∠ CPA attraversano i lati ( A , B e C essendo i vertici).

Per ogni punto P nel piano, con distanze p , q e t rispettivamente dai vertici A , B e C ,

Per ogni punto P nel piano, con distanze p , q e t dai vertici,

e

dove R è il raggio circoscritto e L è la distanza tra il punto P e il baricentro del triangolo equilatero.

Per ogni punto P sulla circonferenza inscritta di un triangolo equilatero, con distanze p , q , e t dai vertici,

e

Per ogni punto P sull'arco minore BC del circumcircle, con distanze p , q , e t rispettivamente da A, B e C,

e

inoltre, se il punto D del lato BC divide PA in segmenti PD e DA con DA di lunghezza ze PD di lunghezza y , allora

che vale anche se tq ; e

che è l' equazione ottica .

Ci sono numerose disuguaglianze triangolari che valgono con l'uguaglianza se e solo se il triangolo è equilatero.

Un triangolo equilatero è il triangolo più simmetrico, avendo 3 linee di riflessione e simmetria rotazionale di ordine 3 attorno al suo centro. Il suo gruppo di simmetria è il gruppo diedro di ordine 6 D 3 .

I triangoli equilateri sono gli unici triangoli la cui inellisse di Steiner è un cerchio (in particolare, è il cerchio).

Il triangolo equilatero con lati interi è l'unico triangolo con lati interi e tre angoli razionali misurati in gradi.

Il triangolo equilatero è l'unico triangolo acuto che è simile al suo triangolo ortico (con vertici ai piedi delle altitudini ) (il triangolo ettagonale è l'unico ottuso).

Un tetraedro regolare è formato da quattro triangoli equilateri.

I triangoli equilateri si trovano in molti altri costrutti geometrici. L'intersezione di cerchi i cui centri sono distanti tra loro un raggio è una coppia di archi equilateri, ciascuno dei quali può essere inscritto con un triangolo equilatero. Formano facce di poliedri regolari e uniformi . Tre dei cinque solidi platonici sono composti da triangoli equilateri. In particolare, il tetraedro regolare ha quattro triangoli equilateri per facce e può essere considerato l'analogo tridimensionale della forma. Il piano può essere piastrellato utilizzando triangoli equilateri che danno la piastrellatura triangolare .

Costruzione geometrica

Costruzione del triangolo equilatero con compasso e riga

Un triangolo equilatero si costruisce facilmente usando riga e compasso , perché 3 è un primo di Fermat . Disegna una linea retta e posiziona la punta del compasso su un'estremità della linea e fai oscillare un arco da quel punto all'altro punto del segmento di linea. Ripeti con l'altro lato della linea. Infine, collega il punto in cui i due archi si intersecano con ciascuna estremità del segmento di linea

Un metodo alternativo è disegnare un cerchio con raggio r , posizionare il punto cardinale sul cerchio e disegnare un altro cerchio con lo stesso raggio. I due cerchi si intersecheranno in due punti. Un triangolo equilatero può essere costruito prendendo i due centri dei cerchi e uno dei punti di intersezione.

In entrambi i metodi un sottoprodotto è la formazione di vesica piscis .

La prova che la figura risultante è un triangolo equilatero è la prima proposizione nel Libro I degli Elementi di Euclide .

Triangolo equilatero inscritto in un cerchio.gif

Formula di derivazione dell'area

La formula dell'area in termini di lunghezza del lato a può essere derivata direttamente usando il teorema di Pitagora o usando la trigonometria.

Usando il teorema di Pitagora

L'area di un triangolo è la metà di un lato a volte l'altezza h da quel lato:

Un triangolo equilatero di lato 2 ha l'altezza 3 , poiché il seno di 60° è 3 /2 .

I cateti di entrambi i triangoli rettangoli formati da un'altezza del triangolo equilatero sono la metà della base a , e l'ipotenusa è il lato a del triangolo equilatero. L'altezza di un triangolo equilatero può essere trovata usando il teorema di Pitagora

affinché

Sostituendo h nella formula dell'area (1/2) ah si ottiene la formula dell'area per il triangolo equilatero:

Usando la trigonometria

Usando la trigonometria , l'area di un triangolo con due lati a e b qualsiasi e un angolo C tra loro è

Ogni angolo di un triangolo equilatero è 60°, quindi

Il seno di 60° è . così

poiché tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali.

Nella cultura e nella società

I triangoli equilateri sono apparsi frequentemente nelle costruzioni artificiali:

Guarda anche

Riferimenti

link esterno

Famiglia un n B n I 2 (p) / D n MI 6 / MI 7 / MI 8 / FA 4 / SOL 2 H n
Poligono regolare Triangolo Quadrato p-gon Esagono Pentagono
Poliedro uniforme tetraedro OttaedroCubo Demicube DodecaedroIcosaedro
Policoron uniforme Pentachoron 16 celleTesseract Demitesseract 24 celle 120 celle600 celle
5-politopo uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cubo 5-semicubo
6 politopi uniformi 6-simplex 6-ortoplex6-cubo 6 semicubi 1 222 21
7-politopo uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cubo 7-demicube 1 322 313 21
8 politopi uniformi 8-simplex 8-ortoplex8-cubo 8-demicube 1 422 414 21
9 politopi uniformi 9-simplex 9-ortoplex9-cubo 9-demicube
Uniforme 10-politopo 10-simplex 10-ortoplex10-cubo 10 cubi
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplexn - cubo n - demicubo 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonale
Argomenti: famiglie politopopolitopo regolareLista delle politopi regolari e composti