Il frutteto di Euclide - Euclid's orchard

Un angolo del frutteto di Euclide, in cui gli alberi sono etichettati con la coordinata x della loro proiezione sul piano x + y = 1 .

In matematica , parlando informalmente, il frutteto di Euclide è una serie di "alberi" unidimensionali di altezza unitaria piantati nei punti del reticolo in un quadrante di un reticolo quadrato . Più formalmente, il frutteto di Euclide è l'insieme dei segmenti di linea da ( i , j , 0) a ( i , j , 1) , dove i e j sono interi positivi.

Vista in pianta di un angolo del frutteto di Euclide. Gli alberi contrassegnati da un punto blu solido sono visibili dall'origine.

Vista prospettica del frutteto di Euclide dall'origine. Gli alberi rossi denotano le file due fuori dalla diagonale principale.

Gli alberi visibili dall'origine sono quelli ai punti reticolari ( m , n , 0) , dove m e n sono coprimi , cioè dove la frazionem/nè in forma ridotta . Il nome frutteto di Euclide deriva dall'algoritmo euclideo .

Se il frutteto è proiettato rispetto all'origine sul piano x + y = 1 (o, equivalentemente, disegnato in prospettiva da un punto di vista all'origine) le cime degli alberi formano un grafico della funzione di Thomae . Il punto ( m , n , 1) proietta a

${\displaystyle \left({\frac {m}{m+n}},{\frac {n}{m+n}},{\frac {1}{m+n}}\right).}$

La soluzione del problema di Basilea può essere utilizzata per mostrare che la proporzione di punti nella griglia che hanno alberi su di essi è approssimativamente e che l'errore di questa approssimazione va a zero nel limite come va all'infinito. ${\displaystyle n\volte n}$${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}}$${\displaystyle n}$

Guarda anche

• Problema foresta opaca

Riferimenti

link esterno

• Euclid's Orchard, attività di grado 9-11 e foglio dei problemi , Texas Instruments Inc.
• Problema relativo al progetto Eulero