geometria euclidea - Euclidean geometry

Dettaglio da Raphael s' La scuola di Atene con un matematico greco - forse rappresenta Euclide o Archimede  - utilizzando una bussola per disegnare una costruzione geometrica.

La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico greco alessandrino Euclide , che descrisse nel suo libro di testo sulla geometria : gli Elementi . Il metodo di Euclide consiste nell'assumere un piccolo insieme di assiomi intuitivamente accattivanti e nel dedurne molte altre proposizioni ( teoremi ). Sebbene molti dei risultati di Euclide fossero stati affermati da matematici precedenti, Euclide fu il primo a mostrare come queste proposizioni potessero inserirsi in un sistema deduttivo e logico completo . Gli Elementi inizia con la geometria piana , ancora insegnata nella scuola secondaria (liceo) come primo sistema assiomatico e primi esempi di dimostrazioni matematiche . Si passa alla geometria solida di tre dimensioni . Gran parte degli Elementi riporta i risultati di quella che oggi viene chiamata algebra e teoria dei numeri , spiegata in linguaggio geometrico.

Per più di duemila anni l'aggettivo "euclidea" non è stato necessario perché nessun altro tipo di geometria era stato concepito. Gli assiomi di Euclide sembravano così intuitivamente ovvi (con la possibile eccezione del postulato parallelo ) che qualsiasi teorema dimostrato da essi era ritenuto vero in senso assoluto, spesso metafisico. Oggi, tuttavia, sono note molte altre geometrie non euclidee autoconsistenti , le prime scoperte all'inizio del XIX secolo. Un'implicazione della teoria della relatività generale di Albert Einstein è che lo spazio fisico in sé non è euclideo, e lo spazio euclideo ne è una buona approssimazione solo su brevi distanze (rispetto alla forza del campo gravitazionale ).

La geometria euclidea è un esempio di geometria sintetica , in quanto procede logicamente da assiomi che descrivono proprietà di base di oggetti geometrici come punti e linee, a proposizioni su quegli oggetti, il tutto senza l'uso di coordinate per specificare quegli oggetti. Questo è in contrasto con la geometria analitica , che usa le coordinate per tradurre proposizioni geometriche in formule algebriche.

Gli elementi

Gli Elementi è principalmente una sistematizzazione della precedente conoscenza della geometria. Il suo miglioramento rispetto ai trattamenti precedenti è stato rapidamente riconosciuto, con il risultato che c'era poco interesse a preservare quelli precedenti, e ora sono quasi tutti persi.

Ci sono 13 libri negli Elementi :

I libri I-IV e VI trattano la geometria piana. Vengono dimostrati molti risultati sulle figure piane, ad esempio: "In qualsiasi triangolo due angoli presi insieme in qualsiasi modo sono inferiori a due angoli retti". (Libro I proposizione 17) e il teorema di Pitagora "Nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo retto è uguale ai quadrati sui lati che contengono l'angolo retto". (Libro I, proposizione 47)

I libri V e VII-X trattano della teoria dei numeri, con i numeri trattati geometricamente come lunghezze di segmenti di linea o aree di regioni. Vengono introdotte nozioni come numeri primi e numeri razionali e irrazionali . È dimostrato che esistono infiniti numeri primi.

I libri XI-XIII riguardano la geometria solida . Un risultato tipico è il rapporto 1:3 tra il volume di un cono e un cilindro con la stessa altezza e base. I solidi platonici sono costruiti.

assiomi

Il postulato parallelo (Postulato 5): Se due rette intersecano una terza in modo tale che la somma degli angoli interni da un lato sia minore di due angoli retti, allora le due rette devono inevitabilmente intersecarsi da quel lato se estese lontano abbastanza.

La geometria euclidea è un sistema assiomatico , in cui tutti i teoremi ("enunciati veri") sono derivati ​​da un piccolo numero di semplici assiomi. Fino all'avvento della geometria non euclidea , questi assiomi erano considerati ovviamente veri nel mondo fisico, così che tutti i teoremi sarebbero stati ugualmente veri. Tuttavia, il ragionamento di Euclide dalle ipotesi alle conclusioni rimane valido indipendentemente dalla loro realtà fisica.

All'inizio del primo libro degli Elementi , Euclide dà cinque postulati (assiomi) per la geometria piana, espressi in termini di costruzioni (come tradotto da Thomas Heath):

Sia postulato quanto segue:
  1. Tracciare una linea retta da qualsiasi punto a qualsiasi punto.
  2. Produrre (estendere) una retta finita in modo continuo in una retta.
  3. Per descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio).
  4. Che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
  5. [ Postulato delle parallele ]: Che, se una retta cadendo su due rette forma gli angoli interni dalla stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, se prodotte indefinitamente, si incontrano da quella parte in cui gli angoli sono minori di due angoli retti.

Sebbene Euclide affermi solo esplicitamente l'esistenza degli oggetti costruiti, nel suo ragionamento sono implicitamente assunti come unici.

Gli Elementi includono anche le seguenti cinque "nozioni comuni":

  1. Cose che sono uguali alla stessa cosa sono anche uguali tra loro ( proprietà transitiva di una relazione euclidea ).
  2. Se gli uguali vengono aggiunti agli uguali, allora gli interi sono uguali (proprietà di addizione dell'uguaglianza).
  3. Se gli uguali vengono sottratti dagli uguali, allora le differenze sono uguali (proprietà di sottrazione dell'uguaglianza).
  4. Le cose che coincidono sono uguali tra loro (proprietà riflessiva).
  5. Il tutto è maggiore della parte.

Gli studiosi moderni concordano sul fatto che i postulati di Euclide non forniscono il fondamento logico completo che Euclide richiedeva per la sua presentazione. I trattamenti moderni utilizzano insiemi di assiomi più estesi e completi.

Postulato parallelo

Agli antichi il postulato del parallelo sembrava meno ovvio degli altri. Aspiravano a creare un sistema di proposizioni assolutamente certe, ea loro sembrava che il postulato della linea parallela richiedesse una prova da affermazioni più semplici. È ormai noto che tale dimostrazione è impossibile, poiché si possono costruire sistemi geometrici coerenti (obbedendo agli altri assiomi) in cui il postulato delle parallele è vero, ed altri in cui è falso. Lo stesso Euclide sembra averlo considerato qualitativamente diverso dagli altri, come dimostra l'organizzazione degli Elementi : le sue prime 28 proposizioni sono quelle che possono essere dimostrate senza di essa.

Si possono formulare molti assiomi alternativi logicamente equivalenti al postulato parallelo (nel contesto degli altri assiomi). Ad esempio, l'assioma di Playfair afferma:

In un piano , per un punto non su una retta data, si può tracciare al massimo una retta che non incontra mai la retta data.

La clausola "al massimo" è tutto ciò che è necessario poiché si può dimostrare dagli assiomi rimanenti che esiste almeno una retta parallela.

Una dimostrazione dagli Elementi di Euclide che, dato un segmento di retta, si può costruire un triangolo equilatero che include il segmento come uno dei suoi lati: un triangolo equilatero ΑΒΓ si ottiene tracciando i cerchi Δ e centrati sui punti Α e Β, e prendendo un'intersezione dei cerchi come terzo vertice del triangolo.

Metodi di prova

La geometria euclidea è costruttiva . I postulati 1, 2, 3 e 5 affermano l'esistenza e l'unicità di certe figure geometriche, e queste affermazioni sono di natura costruttiva: cioè non solo ci viene detto che certe cose esistono, ma ci vengono dati anche metodi per crearle con non più di un compasso e di un righello non segnato . In questo senso, la geometria euclidea è più concreta di molti moderni sistemi assiomatici come la teoria degli insiemi , che spesso affermano l'esistenza di oggetti senza dire come costruirli, o addirittura affermano l'esistenza di oggetti che non possono essere costruiti all'interno della teoria. A rigor di termini, le linee sulla carta sono modelli degli oggetti definiti all'interno del sistema formale, piuttosto che istanze di quegli oggetti. Ad esempio, una linea retta euclidea non ha larghezza, ma qualsiasi linea tracciata reale sì. Sebbene quasi tutti i matematici moderni considerino i metodi non costruttivi altrettanto validi di quelli costruttivi, le dimostrazioni costruttive di Euclide spesso soppiantavano quelle fallaci non costruttive, ad esempio, alcune delle dimostrazioni dei pitagorici che coinvolgevano i numeri irrazionali, che di solito richiedevano un'affermazione come "Trova la misura comune più grande di ..."

Euclide usava spesso la dimostrazione per assurdo . La geometria euclidea consente anche il metodo della sovrapposizione, in cui una figura viene trasferita in un altro punto nello spazio. Ad esempio, la proposizione I.4, congruenza lato-angolo-lato dei triangoli, si dimostra spostando uno dei due triangoli in modo che uno dei suoi lati coincida con il lato uguale dell'altro triangolo, e quindi dimostrando che anche gli altri lati coincidono . Alcuni trattamenti moderni aggiungono un sesto postulato, la rigidità del triangolo, che può essere utilizzato come alternativa alla sovrapposizione.

Sistema di misura e aritmetica

La geometria euclidea ha due tipi fondamentali di misurazioni: angolo e distanza . La scala degli angoli è assoluta, ed Euclide usa l' angolo retto come sua unità di base, così che, per esempio, un angolo di 45 gradi sarebbe indicato come metà di un angolo retto. La scala delle distanze è relativa; si sceglie arbitrariamente un segmento di linea con una certa lunghezza diversa da zero come unità, e altre distanze sono espresse in relazione ad esso. L'addizione di distanze è rappresentata da una costruzione in cui un segmento di linea viene copiato sull'estremità di un altro segmento di linea per estenderne la lunghezza e, allo stesso modo, per la sottrazione.

Le misurazioni dell'area e del volume sono derivate dalle distanze. Ad esempio, un rettangolo con una larghezza di 3 e una lunghezza di 4 ha un'area che rappresenta il prodotto, 12. Poiché questa interpretazione geometrica della moltiplicazione era limitata a tre dimensioni, non esisteva un modo diretto per interpretare il prodotto di quattro o più numeri, ed Euclide ha evitato tali prodotti, sebbene siano impliciti, ad esempio nella dimostrazione del libro IX, proposizione 20.

Un esempio di congruenza. Le due figure a sinistra sono congruenti, mentre la terza è ad esse simile . L'ultima cifra non è né l'una né l'altra. Le congruenze alterano alcune proprietà, come la posizione e l'orientamento, ma ne lasciano altre invariate, come la distanza e gli angoli . Quest'ultimo tipo di proprietà sono chiamate invarianti e studiarle è l'essenza della geometria.

Euclide si riferisce a una coppia di linee, oa una coppia di figure piane o solide, come "uguali" (ἴσος) se le loro lunghezze, aree o volumi sono uguali rispettivamente, e allo stesso modo per gli angoli. Il termine più forte " congruente " si riferisce all'idea che un'intera figura ha le stesse dimensioni e forma di un'altra figura. In alternativa, due figure sono congruenti se una può essere spostata sopra l'altra in modo che corrisponda esattamente ad essa. (È consentito capovolgerlo.) Così, ad esempio, un rettangolo 2x6 e un rettangolo 3x4 sono uguali ma non congruenti e la lettera R è congruente alla sua immagine speculare. Le cifre che sarebbero congruenti tranne che per le loro diverse dimensioni sono indicate come simili . Gli angoli corrispondenti in una coppia di forme simili sono congruenti e i lati corrispondenti sono in proporzione tra loro.

Notazione e terminologia

Denominazione di punti e figure

I punti vengono solitamente denominati utilizzando le lettere maiuscole dell'alfabeto. Altre figure, come linee, triangoli o cerchi, sono nominate elencando un numero sufficiente di punti per selezionarle in modo univoco dalla figura pertinente, ad esempio, il triangolo ABC sarebbe tipicamente un triangolo con vertici nei punti A, B e C .

Angoli complementari e supplementari

Gli angoli la cui somma è un angolo retto si dicono complementari . Gli angoli complementari si formano quando un raggio condivide lo stesso vertice ed è puntato in una direzione che si trova tra i due raggi originali che formano l'angolo retto. Il numero di raggi tra i due raggi originali è infinito.

Gli angoli la cui somma è un angolo retto sono supplementari . Gli angoli supplementari si formano quando un raggio condivide lo stesso vertice ed è puntato in una direzione che si trova tra i due raggi originali che formano l'angolo retto (angolo di 180 gradi). Il numero di raggi tra i due raggi originali è infinito.

Versioni moderne della notazione di Euclide

Nella terminologia moderna, gli angoli sarebbero normalmente misurati in gradi o radianti .

I libri di testo scolastici moderni spesso definiscono figure separate chiamate linee (infinite), raggi (semi-infinite) e segmenti di linea (di lunghezza finita). Euclide, piuttosto che discutere un raggio come un oggetto che si estende all'infinito in una direzione, normalmente usa locuzioni come "se la linea è estesa a una lunghezza sufficiente", sebbene occasionalmente si riferisca a "linee infinite". Una "linea" in Euclide poteva essere diritta o curva, e usava il termine più specifico "linea retta" quando necessario.

Alcuni risultati importanti o ben noti

Pons Asinorum

Il pons asinorum ( ponte degli asini ) afferma che nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali tra loro, e, se le rette uguali sono ulteriormente prodotte, allora gli angoli sotto la base sono uguali tra loro. Il suo nome può essere attribuito al suo frequente ruolo di prima vera prova negli Elementi dell'intelligenza del lettore e di ponte verso le proposizioni più dure che seguirono. Potrebbe anche essere chiamato così per la somiglianza della figura geometrica con un ripido ponte che solo un asino dal passo sicuro potrebbe attraversare.

Congruenza dei triangoli

La congruenza dei triangoli è determinata specificando due lati e l'angolo tra loro (SAS), due angoli e il lato tra loro (ASA) o due angoli e un lato adiacente corrispondente (AAS). Specificare due lati e un angolo adiacente (SSA), tuttavia, può produrre due possibili triangoli distinti, a meno che l'angolo specificato non sia un angolo retto.

I triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati uguali (SSS), due lati e l'angolo tra loro uguali (SAS), o due angoli e un lato uguale (ASA) (Libro I, Proposizioni 4, 8 e 26). I triangoli con tre angoli uguali (AAA) sono simili, ma non necessariamente congruenti. Inoltre, i triangoli con due lati uguali e un angolo adiacente non sono necessariamente uguali o congruenti.

Somma angolo triangolo

La somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo retto (180 gradi). Questo fa sì che un triangolo equilatero abbia tre angoli interni di 60 gradi. Inoltre, fa sì che ogni triangolo abbia almeno due angoli acuti e fino a un angolo ottuso o retto .

teorema di Pitagora

Il celebre teorema di Pitagora (libro I, proposizione 47) afferma che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato il cui lato è l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati i cui lati sono le due gambe (i due lati che si incontrano ad angolo retto).

teorema di Talete

Il teorema di Talete , che prende il nome da Talete di Mileto, afferma che se A, B e C sono punti su un cerchio in cui la linea AC è un diametro del cerchio, allora l'angolo ABC è un angolo retto. Cantore supponeva che Talete dimostrasse il suo teorema per mezzo di Euclide Libro I, Prop. 32 alla maniera di Euclide Libro III, Prop. 31.

Ridimensionamento di area e volume

Nella terminologia moderna, l'area di una figura piana è proporzionale al quadrato di una qualsiasi delle sue dimensioni lineari, , e il volume di un solido al cubo, . Euclide dimostrò questi risultati in vari casi speciali come l'area di un cerchio e il volume di un solido parallelepipedo. Euclide determinò alcune, ma non tutte, delle relative costanti di proporzionalità. Ad esempio, fu il suo successore Archimede a dimostrare che una sfera ha 2/3 del volume del cilindro circoscritto.

Applicazioni

A causa dello status fondamentale della geometria euclidea in matematica, non è pratico fornire qui più di un campione rappresentativo delle applicazioni.

Come suggerito dall'etimologia della parola, uno dei primi motivi di interesse per la geometria era il rilevamento , e alcuni risultati pratici della geometria euclidea, come la proprietà dell'angolo retto del triangolo 3-4-5, furono usati molto prima che fossero sono stati formalmente provati. I tipi fondamentali di misurazioni nella geometria euclidea sono le distanze e gli angoli, entrambi i quali possono essere misurati direttamente da un geometra. Storicamente, le distanze erano spesso misurate da catene, come la catena di Gunter , e angoli usando cerchi graduati e, successivamente, il teodolite .

Un'applicazione della geometria solida euclidea è la determinazione delle disposizioni di impaccamento , come il problema di trovare l' impaccamento più efficiente di sfere in n dimensioni. Questo problema ha applicazioni nel rilevamento e nella correzione degli errori .

L'ottica geometrica utilizza la geometria euclidea per analizzare la focalizzazione della luce da lenti e specchi.

La geometria è ampiamente utilizzata in architettura .

La geometria può essere utilizzata per disegnare origami . Alcuni problemi di costruzione classici della geometria sono impossibili usando compasso e riga , ma possono essere risolti usando l'origami .

Molti CAD (progettazione assistita da computer) e CAM (produzione assistita da computer) si basano sulla geometria euclidea. La geometria del design consiste tipicamente di forme delimitate da piani, cilindri, coni, tori, ecc. Al giorno d'oggi, il CAD/CAM è essenziale nella progettazione di quasi tutto, comprese automobili, aeroplani, navi e smartphone. Alcuni decenni fa, sofisticati disegnatori impararono una geometria euclidea abbastanza avanzata, incluse cose come il teorema di Pascal e il teorema di Brianchon . Ma ora non è necessario, perché le costruzioni geometriche sono tutte eseguite da programmi CAD.

Come descrizione della struttura dello spazio

Euclide credeva che i suoi assiomi fossero affermazioni evidenti sulla realtà fisica. Le dimostrazioni di Euclide dipendono da assunzioni forse non ovvie negli assiomi fondamentali di Euclide, in particolare che certi movimenti di figure non cambiano le loro proprietà geometriche come le lunghezze dei lati e gli angoli interni, i cosiddetti moti euclidei , che includono traslazioni, riflessioni e rotazioni di figure. Preso come descrizione fisica dello spazio, il postulato 2 (estensione di una linea) afferma che lo spazio non ha buchi o confini; il postulato 4 (uguaglianza degli angoli retti) dice che lo spazio è isotropo e le figure possono essere spostate in qualsiasi luogo pur mantenendo la congruenza ; e postulato 5 (il postulato parallelo ) che lo spazio è piatto (non ha curvatura intrinseca ).

Come discusso più dettagliatamente in seguito, la teoria della relatività di Albert Einstein modifica significativamente questa visione.

Il carattere ambiguo degli assiomi come originariamente formulato da Euclide rende possibile che diversi commentatori non siano d'accordo su alcune delle loro altre implicazioni per la struttura dello spazio, come se sia infinito o meno (vedi sotto) e quale sia la sua topologia . Riformulazioni moderne e più rigorose del sistema in genere mirano a una separazione più netta di questi problemi. Interpretando gli assiomi di Euclide nello spirito di questo approccio più moderno, gli assiomi 1-4 sono coerenti con lo spazio infinito o finito (come nella geometria ellittica ), e tutti e cinque gli assiomi sono coerenti con una varietà di topologie (ad esempio, un piano, un cilindro , o un toro per la geometria euclidea bidimensionale).

Lavoro successivo

Archimede e Apollonio

Una sfera ha 2/3 del volume e della superficie del suo cilindro circoscritto. Una sfera e un cilindro furono posti sulla tomba di Archimede su sua richiesta.

Archimede (c. 287 a.C. – c. 212 a.C.), una figura pittoresca su cui sono registrati molti aneddoti storici, è ricordato insieme a Euclide come uno dei più grandi matematici antichi. Sebbene le fondamenta del suo lavoro siano state poste da Euclide, si ritiene che la sua opera, a differenza di quella di Euclide, sia stata del tutto originale. Dimostrò equazioni per i volumi e le aree di varie figure in due e tre dimensioni, e enunciando la proprietà di Archimede dei numeri finiti.

Apollonio di Perga (c. 262 a.C. - c. 190 a.C.) è principalmente noto per le sue indagini sulle sezioni coniche.

René Descartes. Ritratto dopo Frans Hals , 1648.

XVII secolo: Cartesio

René Descartes (1596-1650) sviluppò la geometria analitica , un metodo alternativo per formalizzare la geometria che si concentrava sulla trasformazione della geometria in algebra.

In questo approccio, un punto su un piano è rappresentato dalle sue coordinate cartesiane ( x , y ), una linea è rappresentata dalla sua equazione e così via.

Nell'approccio originale di Euclide, il teorema di Pitagora segue dagli assiomi di Euclide. Nell'approccio cartesiano, gli assiomi sono gli assiomi dell'algebra, e l'equazione che esprime il teorema di Pitagora è quindi una definizione di uno dei termini negli assiomi di Euclide, che ora sono considerati teoremi.

L'equazione

definire la distanza tra due punti P = ( p x , p y ) e Q = ( q x , q y ) è quindi nota come metrica euclidea , e altre metriche definiscono geometrie non euclidee .

In termini di geometria analitica, la restrizione della geometria classica alle costruzioni riga e compasso significa restrizione alle equazioni del primo e del secondo ordine, ad esempio y = 2 x + 1 (una retta), o x 2 + y 2 = 7 ( un cerchio).

Sempre nel XVII secolo, Girard Desargues , motivato dalla teoria della prospettiva , introdusse il concetto di punti, linee e piani idealizzati all'infinito. Il risultato può essere considerato come un tipo di geometria generalizzata, geometria proiettiva , ma può anche essere utilizzato per produrre dimostrazioni nella geometria euclidea ordinaria in cui il numero dei casi speciali è ridotto.

Quadratura del cerchio: le aree di questo quadrato e di questo cerchio sono uguali. Nel 1882 fu dimostrato che questa figura non può essere costruita in un numero finito di passi con compasso e riga idealizzati .

18mo secolo

I geometri del XVIII secolo faticarono a definire i confini del sistema euclideo. Molti hanno cercato invano di dimostrare il quinto postulato dei primi quattro. Nel 1763 erano state pubblicate almeno 28 diverse prove, ma tutte furono trovate errate.

Prima di questo periodo, i geometri cercarono anche di determinare quali costruzioni potevano essere realizzate nella geometria euclidea. Ad esempio, il problema della trisezione di un angolo con riga e compasso è un problema che si presenta naturalmente all'interno della teoria, poiché gli assiomi si riferiscono a operazioni costruttive che possono essere eseguite con quegli strumenti. Tuttavia, secoli di sforzi non sono riusciti a trovare una soluzione a questo problema, fino a quando Pierre Wantzel ha pubblicato una prova nel 1837 che una tale costruzione era impossibile. Altre costruzioni che si sono rivelate impossibili includono il raddoppio del cubo e la quadratura del cerchio . Nel caso del raddoppio del cubo, l'impossibilità della costruzione deriva dal fatto che il metodo compasso e riga implicano equazioni il cui ordine è una potenza integrale di due, mentre raddoppiare un cubo richiede la soluzione di un'equazione di terzo grado.

Eulero ha discusso una generalizzazione della geometria euclidea chiamata geometria affine , che mantiene inalterato il quinto postulato mentre indebolisce i postulati tre e quattro in un modo che elimina le nozioni di angolo (da cui i triangoli rettangoli diventano privi di significato) e di uguaglianza di lunghezza dei segmenti di linea in generale ( da cui i cerchi diventano privi di significato) pur mantenendo le nozioni di parallelismo come relazione di equivalenza tra rette e uguaglianza di lunghezza dei segmenti di retta paralleli (così i segmenti di retta continuano ad avere un punto medio).

XIX secolo e geometria non euclidea

Confronto di geometrie ellittiche, euclidee e iperboliche in due dimensioni

All'inizio del XIX secolo, Carnot e Möbius svilupparono sistematicamente l'uso di angoli segnati e segmenti di linea come un modo per semplificare e unificare i risultati.

Lo sviluppo più significativo del secolo in geometria si ebbe quando, intorno al 1830, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky pubblicarono separatamente un lavoro sulla geometria non euclidea , in cui il postulato del parallelo non è valido. Poiché la geometria non euclidea è dimostrabilmente relativamente coerente con la geometria euclidea, il postulato parallelo non può essere dimostrato dagli altri postulati.

Nel XIX secolo si comprese anche che i dieci assiomi e le nozioni comuni di Euclide non sono sufficienti per dimostrare tutti i teoremi enunciati negli Elementi . Per esempio, Euclide assumeva implicitamente che ogni retta contenesse almeno due punti, ma questa ipotesi non può essere dimostrata dagli altri assiomi, e quindi deve essere essa stessa un assioma. La primissima prova geometrica negli Elementi, mostrata nella figura sopra, è che ogni segmento di linea fa parte di un triangolo; Euclide lo costruisce nel solito modo, disegnando cerchi attorno a entrambi i punti finali e prendendo la loro intersezione come terzo vertice . I suoi assiomi, però, non garantiscono che i cerchi si intersechino effettivamente, perché non asseriscono la proprietà geometrica della continuità, che in termini cartesiani equivale alla proprietà di completezza dei numeri reali. A partire da Moritz Pasch nel 1882, sono stati proposti molti sistemi assiomatici migliorati per la geometria, i più noti sono quelli di Hilbert , George Birkhoff e Tarski .

XX secolo e relatività

Una confutazione della geometria euclidea come descrizione dello spazio fisico. In un test del 1919 della teoria della relatività generale, le stelle (contrassegnate da brevi linee orizzontali) furono fotografate durante un'eclissi solare . I raggi di luce delle stelle sono stati piegati dalla gravità del Sole nel loro cammino verso la Terra. Questo è interpretato come una prova a favore della previsione di Einstein che la gravità avrebbe causato deviazioni dalla geometria euclidea.

La teoria della relatività speciale di Einstein coinvolge uno spazio-tempo quadridimensionale , lo spazio di Minkowski , che non è euclideo . Ciò mostra che le geometrie non euclidee, introdotte qualche anno prima per dimostrare che il postulato delle parallele non può essere dimostrato, sono utili anche per descrivere il mondo fisico.

Tuttavia, la "parte spaziale" tridimensionale dello spazio di Minkowski rimane lo spazio della geometria euclidea. Non è questo il caso della relatività generale , per la quale la geometria della parte spaziale dello spazio-tempo non è geometria euclidea. Ad esempio, se un triangolo è costituito da tre raggi di luce, in generale gli angoli interni non si sommano a 180 gradi a causa della gravità. Un campo gravitazionale relativamente debole, come quello della Terra o del Sole, è rappresentato da una metrica che è approssimativamente, ma non esattamente, euclidea. Fino al XX secolo non esisteva una tecnologia in grado di rilevare queste deviazioni nei raggi di luce dalla geometria euclidea, ma Einstein predisse che tali deviazioni sarebbero esistite. Successivamente sono stati verificati da osservazioni come la leggera flessione della luce stellare da parte del Sole durante un'eclissi solare nel 1919, e tali considerazioni sono ora parte integrante del software che gestisce il sistema GPS .

Trattamento dell'infinito

Oggetti infiniti

Euclide distingue talvolta esplicitamente tra "linee finite" (es. Postulato 2) e " linee infinite " (libro I, proposizione 12). Tuttavia, in genere non faceva tali distinzioni a meno che non fossero necessarie. I postulati non si riferiscono esplicitamente a linee infinite, sebbene per esempio alcuni commentatori interpretino il postulato 3, esistenza di un cerchio con qualsiasi raggio, come implicante che lo spazio è infinito.

La nozione di quantità infinitesime era stata precedentemente ampiamente discussa dalla Scuola Eleatica , ma nessuno era stato in grado di porla su una solida base logica, con paradossi come quello di Zenone che non erano stati risolti con soddisfazione universale. Euclide usava il metodo dell'esaurimento piuttosto che degli infinitesimi.

I successivi commentatori antichi, come Proclo (410-485 d.C.), trattarono molte domande sull'infinito come questioni che richiedevano una prova e, ad esempio, Proclo affermava di dimostrare l'infinita divisibilità di una linea, sulla base di una prova per contraddizione in cui considerava i casi di numeri pari e dispari di punti che lo costituiscono.

All'inizio del XX secolo, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese e altri hanno prodotto lavori controversi su modelli non archimedei della geometria euclidea, in cui la distanza tra due punti può essere infinita o infinitesimale, nel Newton – Senso di Leibniz . Cinquant'anni dopo, Abraham Robinson fornì un rigoroso fondamento logico all'opera di Veronese.

Processi infiniti

Uno dei motivi per cui gli antichi consideravano il postulato del parallelo meno certo degli altri è che verificarlo fisicamente richiederebbe di ispezionare due linee per verificare che non si intersecano mai, anche in un punto molto distante, e questa ispezione potrebbe richiedere una quantità infinita di tempo.

La moderna formulazione della dimostrazione per induzione non fu sviluppata fino al XVII secolo, ma alcuni commentatori successivi la considerano implicita in alcune delle dimostrazioni di Euclide, ad esempio la prova dell'infinito dei numeri primi.

Presunti paradossi che coinvolgono serie infinite, come il paradosso di Zenone , precede Euclide. Euclide evitò tali discussioni, dando, ad esempio, l'espressione per le somme parziali della serie geometrica in IX.35 senza commentare la possibilità di lasciare che il numero dei termini diventi infinito.

Base logica

Logica classica

Euclide usava frequentemente il metodo della dimostrazione per assurdo , e quindi la presentazione tradizionale della geometria euclidea assume la logica classica , in cui ogni proposizione è vera o falsa, cioè, per ogni proposizione P, la proposizione "P o non P" è automaticamente vera .

Standard moderni di rigore

Porre la geometria euclidea su una solida base assiomatica è stata per secoli una preoccupazione dei matematici. Il ruolo delle nozioni primitive , o dei concetti indefiniti, è stato chiaramente proposto da Alessandro Padoa della delegazione Peano alla conferenza di Parigi del 1900:

...quando iniziamo a formulare la teoria, possiamo immaginare che i simboli indefiniti siano completamente privi di significato e che le proposizioni non dimostrate siano semplicemente condizioni imposte ai simboli indefiniti.

Allora, il sistema di idee che abbiamo inizialmente scelto è semplicemente un'interpretazione dei simboli indefiniti; ma..questa interpretazione può essere ignorata dal lettore, che è libero di sostituirla nella sua mente con un'altra interpretazione..che soddisfi le condizioni...

Le domande logiche diventano così completamente indipendenti dalle domande empiriche o psicologiche ...

Il sistema di simboli indefiniti può quindi essere considerato come l' astrazione ottenuta dalle teorie specializzate che risultano quando... il sistema di simboli indefiniti viene successivamente sostituito da ciascuna delle interpretazioni...

—  Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

Cioè, la matematica è conoscenza indipendente dal contesto all'interno di una struttura gerarchica. Come detto da Bertrand Russell :

Se la nostra ipotesi riguarda qualcosa , e non una o più cose particolari, allora le nostre deduzioni costituiscono la matematica. Quindi, la matematica può essere definita come l'argomento in cui non sappiamo mai di cosa stiamo parlando, né se ciò che stiamo dicendo è vero.

—  Bertrand Russell, Matematica e metafisici

Tali approcci fondazionali spaziano tra fondazionalismo e formalismo .

Formulazioni assiomatiche

La geometria è la scienza del ragionamento corretto su figure errate.

—  George Pólya , Come risolverlo , p. 208
  • Gli assiomi di Euclide: Nella sua tesi al Trinity College di Cambridge, Bertrand Russell ha riassunto il ruolo mutevole della geometria di Euclide nelle menti dei filosofi fino a quel momento. Era un conflitto tra una certa conoscenza, indipendente dall'esperimento, e l'empirismo, che richiedeva input sperimentali. Questo problema divenne chiaro quando si scoprì che il postulato parallelo non era necessariamente valido e la sua applicabilità era una questione empirica, decidendo se la geometria applicabile fosse euclidea o non euclidea .
  • Gli assiomi di Hilbert: Gli assiomi di Hilbert avevano l'obiettivo di identificare un insieme semplice e completo di assiomi indipendenti da cui dedurre i più importanti teoremi geometrici. Gli obiettivi principali erano rendere rigorosa la geometria euclidea (evitando assunzioni nascoste) e chiarire le ramificazioni del postulato del parallelo.
  • Assiomi di Birkhoff: Birkhoff ha proposto quattro postulati per la geometria euclidea che possono essere confermati sperimentalmente con scala e goniometro. Questo sistema si basa molto sulle proprietà dei numeri reali . Le nozioni di angolo e distanza diventano concetti primitivi.
  • Assiomi di Tarski : Alfred Tarski (1902-1983) e i suoi studenti hanno definito la geometria euclidea elementare come la geometria che può essere espressa nella logica del primo ordine e non dipende dalla teoria degli insiemi per la sua base logica, in contrasto con gli assiomi di Hilbert, che coinvolgono il punto imposta. Tarski ha dimostrato che la sua formulazione assiomatica della geometria euclidea elementare è coerente e completa in un certo senso : esiste un algoritmo che, per ogni proposizione, può essere dimostrata vera o falsa. (Questo non viola il teorema di Gödel , perché la geometria euclidea non può descrivere una quantità sufficiente di aritmetica per l'applicazione del teorema.) Ciò è equivalente alla decidibilità dei campi chiusi reali , di cui la geometria euclidea elementare è un modello.

Guarda anche

Teoremi classici

Appunti

Riferimenti

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