Relazione euclidea - Euclidean relation
In matematica , le relazioni euclidee sono una classe di relazioni binarie che formalizzano "l' assioma 1 " negli elementi di Euclide : "Le grandezze uguali sono uguali tra loro".
Definizione
Una relazione binaria R su un insieme X è euclidea (talvolta chiamato euclidea destra ) se soddisfa la seguente: per ogni un , b , c in X , se un è legato alla b e c , allora b è relativo a c . Per scrivere questo nella logica dei predicati :
Successivamente, una relazione R su X è lasciata euclidea se per ogni a , b , c in X , se b è correlato ad a e c è correlato ad a , allora b è correlato a c :
Proprietà
- A causa della commutatività di ∧ nell'antecedente della definizione, aRb ∧ aRc implica anche bRc ∧ cRb quando R è euclideo retto. Allo stesso modo, bRa ∧ cRa implica bRc ∧ cRb quando R è euclideo lasciato.
- La proprietà di essere euclideo è diversa dalla transitività . Ad esempio, ≤ è transitivo, ma non euclideo retto, mentre xRy definito da 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 non è transitivo, ma euclideo retto sui numeri naturali.
- Per le relazioni simmetriche , la transitività, l'euclidea destra e l'euclidea sinistra coincidono tutte. Tuttavia, anche una relazione non simmetrica può essere sia transitiva che euclidea destra, ad esempio xRy definita da y = 0.
- Una relazione che è sia retta euclidea che riflessiva è anche simmetrica e quindi una relazione di equivalenza . Allo stesso modo, ogni relazione euclidea sinistra e riflessiva è un'equivalenza.
- L' intervallo di una relazione euclidea retta è sempre un sottoinsieme del suo dominio . La restrizione di una giusta relazione euclidea alla sua portata è sempre riflessiva, e quindi un'equivalenza. Allo stesso modo, il dominio di una relazione euclidea sinistra è un sottoinsieme del suo intervallo e la restrizione di una relazione euclidea sinistra al suo dominio è un'equivalenza.
- Una relazione R è sia sinistra che destra euclidea, se, e solo se, il dominio e l'insieme di intervalli di R sono d'accordo, e R è una relazione di equivalenza su quell'insieme.
- Una relazione euclidea destra è sempre quasi transitiva , così come una relazione euclidea sinistra.
- Una relazione euclidea retta connessa è sempre transitiva; e così è una relazione euclidea sinistra connessa.
- Se X ha almeno 3 elementi, una collegata destra relazione euclideo R su X non può essere antisimmetrica , e né un connessa relazione euclidea sinistra su X . Sull'insieme di 2 elementi X = {0, 1}, ad esempio, la relazione xRy definita da y = 1 è connessa, euclidea destra e antisimmetrica, e xRy definita da x = 1 è connessa, euclidea sinistra e antisimmetrica.
- Una relazione R su un insieme X è retta euclidea se, e solo se, la restrizione R ' : = R | ran ( R ) è un'equivalenza e per ogni x in X \ ran ( R ), tutti gli elementi a cui x è correlato sotto R sono equivalenti sotto R ' . Allo stesso modo, R su X è lasciato euclideo se, e solo se, R ' : = R | dom ( R ) è un'equivalenza e per ogni x in X \ dom ( R ), tutti gli elementi correlati a x sotto R sono equivalenti sotto R ' .
- Una relazione euclidea sinistra è unica a sinistra se, e solo se, è antisimmetrica . Allo stesso modo, una giusta relazione euclidea è giusta unica se, e solo se, è antisimmetrica.
- Una relazione euclidea sinistra e una relazione unica sinistra sono vacuamente transitive, così come una relazione euclidea destra e una relazione unica destra.
- Una relazione euclidea sinistra è lasciata quasi riflessiva . Per le relazioni univoche a sinistra, vale anche il contrario. A due volte, ogni relazione euclidea retta è retta quasi-riflessiva, e ogni relazione retta unica e quasi-riflessiva giusta è retta euclidea.