Filtro (elaborazione del segnale) - Filter (signal processing)

Nel trattamento del segnale , un filtro è un dispositivo o processo che rimuove alcuni componenti indesiderati o dispone di un segnale . Il filtraggio è una classe di elaborazione del segnale , la caratteristica distintiva dei filtri è la soppressione completa o parziale di alcuni aspetti del segnale. Molto spesso, questo significa rimuovere alcune frequenze o bande di frequenza. Tuttavia, i filtri non agiscono esclusivamente nel dominio della frequenza ; specialmente nel campo dell'elaborazione delle immagini esistono molti altri obiettivi per il filtraggio. Le correlazioni possono essere rimosse per alcune componenti di frequenza e non per altre senza dover agire nel dominio della frequenza. I filtri sono ampiamente utilizzati nell'elettronica e nelle telecomunicazioni , in radio , televisione , registrazione audio , radar , sistemi di controllo , sintesi musicale , elaborazione di immagini e computer grafica .

Esistono molte basi diverse per classificare i filtri e queste si sovrappongono in molti modi diversi; non esiste una semplice classificazione gerarchica. I filtri possono essere:

• non lineare o lineare
• tempo-variante o tempo-invariante , noto anche come invarianza di spostamento. Se il filtro opera in un dominio spaziale, la caratterizzazione è invarianza spaziale.
• causale o non causale: un filtro è non causale se il suo output attuale dipende da input futuro. I filtri che elaborano i segnali nel dominio del tempo in tempo reale devono essere causali, ma non i filtri che agiscono sui segnali del dominio spaziale o l'elaborazione in tempo differito dei segnali nel dominio del tempo.
• analogico o digitale
• tempo discreto (campionato) o tempo continuo
• tipo passivo o attivo di filtro a tempo continuo
• filtro a tempo discreto o digitale a risposta all'impulso infinita (IIR) o a risposta all'impulso finita (FIR).

Filtri lineari a tempo continuo

Il circuito lineare a tempo continuo è forse il significato più comune per filtro nel mondo dell'elaborazione del segnale, e semplicemente "filtro" è spesso considerato sinonimo. Questi circuiti sono generalmente progettati per rimuovere determinate frequenze e consentire il passaggio di altre. I circuiti che svolgono questa funzione sono generalmente lineari nella loro risposta, o almeno approssimativamente così. Qualsiasi non linearità comporterebbe potenzialmente il segnale di uscita contenente componenti di frequenza non presenti nel segnale di ingresso.

La moderna metodologia di progettazione per filtri lineari a tempo continuo è chiamata sintesi di rete . Alcune importanti famiglie di filtri progettati in questo modo sono:

• Il filtro Chebyshev , ha la migliore approssimazione alla risposta ideale di qualsiasi filtro per un ordine e un'ondulazione specificati.
• Filtro Butterworth , ha una risposta in frequenza massimamente piatta.
• Filtro Bessel , ha un ritardo di fase massimamente piatto .
• Filtro ellittico , ha il taglio più ripido di qualsiasi filtro per un ordine e un'ondulazione specificati.

La differenza tra queste famiglie di filtri è che utilizzano tutte una funzione polinomiale diversa per approssimarsi alla risposta del filtro ideale . Ciò fa sì che ciascuno abbia una funzione di trasferimento diversa .

Un'altra metodologia meno recente e meno utilizzata è il metodo dei parametri dell'immagine . I filtri progettati con questa metodologia sono arcaicamente chiamati "filtri d'onda". Alcuni importanti filtri progettati con questo metodo sono:

• Filtro k costante , la forma originale e più semplice di filtro d'onda.
• filtro derivato da m , una modifica della costante k con una migliore pendenza di taglio e adattamento dell'impedenza .

Terminologia

Alcuni termini utilizzati per descrivere e classificare i filtri lineari:

• La risposta in frequenza può essere classificata in una serie di diverse forme di banda che descrivono quali bande di frequenza passa il filtro (la banda passante ) e quali rifiuta (la banda di arresto ):
  • Filtro passa basso  : le basse frequenze vengono passate, le alte frequenze vengono attenuate.
  • Filtro passa alto  : le alte frequenze vengono passate, le basse frequenze vengono attenuate.
  • Filtro passa-  banda: vengono passate solo le frequenze in una banda di frequenza.
  • Filtro band-stop o filtro band-reject: vengono attenuate solo le frequenze in una banda di frequenza.
  • Filtro notch  : rifiuta solo una frequenza specifica: un filtro estremo di interruzione della banda.
  • Filtro a pettine  : ha più bande passanti strette regolarmente distanziate che conferiscono alla forma della banda l'aspetto di un pettine.
  • Filtro passa  tutto: tutte le frequenze vengono passate, ma la fase dell'uscita viene modificata.
• La frequenza di taglio è la frequenza oltre la quale il filtro non passerà i segnali. Di solito viene misurato con un'attenuazione specifica come 3 dB.
• Il roll-off è la velocità con cui l'attenuazione aumenta oltre la frequenza di taglio.
• Banda di transizione , la banda di frequenze (solitamente stretta) tra una banda passante e una banda di arresto.
• Ripple è la variazione della perdita di inserzione del filtro nella banda passante.
• L'ordine di un filtro è il grado del polinomio approssimante e nei filtri passivi corrisponde al numero di elementi necessari per costruirlo. L'ordine crescente aumenta il roll-off e avvicina il filtro alla risposta ideale.

Un'importante applicazione dei filtri è nelle telecomunicazioni . Molti sistemi di telecomunicazione utilizzano il multiplexing a divisione di frequenza , in cui i progettisti del sistema dividono un'ampia banda di frequenza in molte bande di frequenza più strette chiamate "slot" o "canali" e a ciascun flusso di informazioni viene assegnato uno di quei canali. Le persone che progettano i filtri su ciascun trasmettitore e ciascun ricevitore cercano di bilanciare il passaggio del segnale desiderato nel modo più accurato possibile, mantenendo il più basso possibile le interferenze da e verso altri trasmettitori cooperanti e fonti di rumore esterne al sistema, a un costo ragionevole.

I sistemi di modulazione digitale multilivello e multifase richiedono filtri che hanno un ritardo di fase piatto, ovvero una fase lineare nella banda passante, per preservare l'integrità dell'impulso nel dominio del tempo, fornendo meno interferenze tra i simboli rispetto ad altri tipi di filtri.

D'altra parte, i sistemi audio analogici che utilizzano la trasmissione analogica possono tollerare increspature molto più grandi nel ritardo di fase , e quindi i progettisti di tali sistemi spesso sacrificano deliberatamente la fase lineare per ottenere filtri che sono migliori in altri modi: migliore reiezione della banda di arresto, ampiezza della banda passante inferiore ondulazione, costo inferiore, ecc.

Tecnologie

I filtri possono essere costruiti in una serie di tecnologie diverse. La stessa funzione di trasferimento può essere realizzata in diversi modi, ovvero le proprietà matematiche del filtro sono le stesse ma le proprietà fisiche sono piuttosto diverse. Spesso i componenti in diverse tecnologie sono direttamente analoghi tra loro e svolgono lo stesso ruolo nei rispettivi filtri. Ad esempio, le resistenze, le induttanze ei condensatori dell'elettronica corrispondono rispettivamente a smorzatori, masse e molle in meccanica. Allo stesso modo, ci sono componenti corrispondenti nei filtri a elementi distribuiti .

• I filtri elettronici erano originariamente interamente passivi costituiti da resistenza, induttanza e capacità. La tecnologia attiva semplifica la progettazione e apre nuove possibilità nelle specifiche dei filtri.
• I filtri digitali operano su segnali rappresentati in forma digitale. L'essenza di un filtro digitale è che implementa direttamente un algoritmo matematico, corrispondente alla funzione di trasferimento del filtro desiderata, nella sua programmazione o microcodice.
• I filtri meccanici sono costituiti da componenti meccanici. Nella stragrande maggioranza dei casi vengono utilizzati per elaborare un segnale elettronico e vengono forniti trasduttori per convertirlo in e da una vibrazione meccanica. Tuttavia, esistono esempi di filtri che sono stati progettati per funzionare interamente nel dominio meccanico.
• I filtri a elementi distribuiti sono costituiti da componenti costituiti da piccoli pezzi di linea di trasmissione o altri elementi distribuiti . Esistono strutture nei filtri a elementi distribuiti che corrispondono direttamente agli elementi concentrati dei filtri elettronici e altre che sono uniche per questa classe di tecnologia.
• I filtri guida d'onda sono costituiti da componenti di guida d'onda o da componenti inseriti nella guida d'onda. Le guide d'onda sono una classe di linee di trasmissione e molte strutture di filtri ad elementi distribuiti, ad esempio lo stub , possono essere implementate anche nelle guide d'onda.
• I filtri ottici sono stati originariamente sviluppati per scopi diversi dall'elaborazione del segnale come l'illuminazione e la fotografia. Con l'avvento della tecnologia in fibra ottica , tuttavia, i filtri ottici trovano sempre più applicazioni di elaborazione del segnale e la terminologia del filtro di elaborazione del segnale, come longpass e shortpass , sta entrando in campo.
• Il filtro trasversale , o filtro a linea di ritardo, funziona sommando copie dell'input dopo vari ritardi temporali. Questo può essere implementato con varie tecnologie tra cui linee di ritardo analogiche , circuiti attivi, linee di ritardo CCD o interamente nel dominio digitale.

Filtri digitali

Un filtro generale a risposta all'impulso finito con n stadi, ciascuno con un ritardo indipendente, d _i e guadagno di amplificazione, a _i .

L'elaborazione del segnale digitale consente la costruzione economica di un'ampia varietà di filtri. Il segnale viene campionato e un convertitore analogico-digitale trasforma il segnale in un flusso di numeri. Un programma per computer in esecuzione su una CPU o un DSP specializzato (o meno spesso in esecuzione su un'implementazione hardware dell'algoritmo ) calcola un flusso di numeri di output. Questa uscita può essere convertita in segnale facendola passare attraverso un convertitore digitale-analogico . Ci sono problemi con il rumore introdotto dalle conversioni, ma questi possono essere controllati e limitati per molti filtri utili. A causa del campionamento coinvolto, il segnale di ingresso deve avere un contenuto di frequenza limitato o si verificherà l' aliasing .

Filtri al quarzo e piezoelettrici

Filtro a cristallo con una frequenza centrale di 45 MHz e una larghezza di banda B _3dB di 12 kHz.

Alla fine degli anni '30, gli ingegneri si resero conto che piccoli sistemi meccanici realizzati con materiali rigidi come il quarzo avrebbero risuonato acusticamente a frequenze radio, ovvero da frequenze udibili ( suono ) fino a diverse centinaia di megahertz. Alcuni primi risonatori erano realizzati in acciaio , ma il quarzo divenne rapidamente il favorito. Il più grande vantaggio del quarzo è che è piezoelettrico . Ciò significa che i risonatori al quarzo possono convertire direttamente il proprio movimento meccanico in segnali elettrici. Il quarzo ha anche un coefficiente di espansione termica molto basso, il che significa che i risonatori al quarzo possono produrre frequenze stabili in un ampio intervallo di temperature. I filtri a cristalli di quarzo hanno fattori di qualità molto più elevati rispetto ai filtri LCR. Quando sono richieste stabilità più elevate, i cristalli e i loro circuiti di pilotaggio possono essere montati in un " forno per cristalli " per controllare la temperatura. Per i filtri a banda molto stretta, a volte vengono utilizzati più cristalli in serie.

Un gran numero di cristalli può essere collassato in un singolo componente, montando evaporazioni di metallo a forma di pettine su un cristallo di quarzo. In questo schema, una " linea di ritardo intercettata " rinforza le frequenze desiderate mentre le onde sonore fluiscono attraverso la superficie del cristallo di quarzo. La linea di ritardo sfruttata è diventata uno schema generale per realizzare filtri ad alto Q in molti modi diversi.

Filtri SAW

I filtri SAW ( surface acoustic wave ) sono dispositivi elettromeccanici comunemente utilizzati nelle applicazioni a radiofrequenza . I segnali elettrici vengono convertiti in un'onda meccanica in un dispositivo costruito con un cristallo piezoelettrico o una ceramica; questa onda viene ritardata mentre si propaga attraverso il dispositivo, prima di essere riconvertita in un segnale elettrico da ulteriori elettrodi . Le uscite ritardate vengono ricombinate per produrre un'implementazione analogica diretta di un filtro a risposta impulsiva finita . Questa tecnica di filtraggio ibrida si trova anche in un filtro campionato analogico . I filtri SAW sono limitati a frequenze fino a 3 GHz. I filtri sono stati sviluppati dal professor Ted Paige e altri.

Filtri BAW

I filtri BAW (bulk acoustic wave) sono dispositivi elettromeccanici . I filtri BAW possono implementare filtri ladder o reticolari. I filtri BAW in genere operano a frequenze da circa 2 a circa 16 GHz e possono essere più piccoli o più sottili dei filtri SAW equivalenti. Due varianti principali dei filtri BAW si stanno facendo strada nei dispositivi: risonatore acustico bulk a film sottile o FBAR e risonatori acustici bulk a montaggio solido (SMR).

Filtri granato

Un altro metodo di filtraggio, a microonde frequenze da 800 MHz a circa 5 GHz, è quello di utilizzare un sintetico monocristallo ittrio ferro granato sfera in una combinazione chimica di ittrio e ferro (YIGF, o un filtro di granato di ittrio ferro). Il granato si trova su una striscia di metallo guidata da un transistor e una piccola antenna ad anello tocca la parte superiore della sfera. Un elettromagnete cambia la frequenza che passerà il granato. Il vantaggio di questo metodo è che il granato può essere sintonizzato su una frequenza molto ampia variando l'intensità del campo magnetico .

Filtri atomici

Per frequenze ancora più elevate e una maggiore precisione, devono essere utilizzate le vibrazioni degli atomi. Gli orologi atomici utilizzano i maser al cesio come filtri Q ultra-alto per stabilizzare i loro oscillatori primari. Un altro metodo, utilizzato ad alte frequenze fisse con segnali radio molto deboli, consiste nell'utilizzare una linea di ritardo intercettata in rubino maser.

La funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento di un filtro è più spesso definita nel dominio delle frequenze complesse. Il passaggio avanti e indietro da/per questo dominio è operato dalla trasformata di Laplace e dalla sua inversa (quindi, di seguito, il termine "segnale di ingresso" sarà inteso come "la trasformata di Laplace" della rappresentazione temporale del segnale di ingresso, e presto).

La funzione di trasferimento di un filtro è il rapporto tra il segnale di uscita e il segnale di ingresso in funzione della frequenza complessa : ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

con . ${\displaystyle s=\sigma +j\omega}$

Per i filtri costruiti con componenti discreti ( elementi concentrati ):

• La loro funzione di trasferimento sarà il rapporto dei polinomi in , cioè una funzione razionale di . L'ordine della funzione di trasferimento sarà la più alta potenza di incontrata nel polinomio numeratore o denominatore.${\displaystyle}$${\displaystyle}$${\displaystyle}$
• I polinomi della funzione di trasferimento avranno tutti coefficienti reali. Pertanto, i poli e gli zeri della funzione di trasferimento saranno reali o si verificheranno in coppie complesse-coniugate.
• Poiché si suppone che i filtri siano stabili, la parte reale di tutti i poli (cioè gli zeri del denominatore) sarà negativa, cioè giaceranno nel semipiano sinistro nello spazio delle frequenze complesso.

I filtri a elementi distribuiti non hanno, in generale, funzioni di trasferimento di funzioni razionali, ma possono approssimarle.

La costruzione di una funzione di trasferimento coinvolge la trasformata di Laplace , e quindi è necessario assumere condizioni iniziali nulle, perché

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\ }-f(0),}$

E quando f (0) = 0 possiamo sbarazzarci delle costanti e usare la solita espressione

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\ }}$

Un'alternativa alle funzioni di trasferimento consiste nel dare il comportamento del filtro come una convoluzione dell'ingresso nel dominio del tempo con la risposta all'impulso del filtro . Il teorema di convoluzione , che vale per le trasformate di Laplace, garantisce l'equivalenza con le funzioni di trasferimento.

Classificazione

Alcuni filtri possono essere specificati per famiglia e forma di banda. La famiglia di un filtro è specificata dal polinomio di approssimazione utilizzato e ciascuno porta a determinate caratteristiche della funzione di trasferimento del filtro. Alcune famiglie di filtri comuni e le loro caratteristiche particolari sono:

• Filtro Butterworth  – nessun ripple di guadagno in banda passante e banda di arresto, taglio lento
• Filtro Chebyshev (Tipo I)  – nessun ripple di guadagno nella banda di arresto, cutoff moderato
• Filtro Chebyshev (Tipo II)  – nessun ripple di guadagno nella banda passante, cutoff moderato
• Filtro Bessel  – nessun ripple di ritardo di gruppo , nessun ripple di guadagno in entrambe le bande, taglio lento del guadagno
• Filtro ellittico  : guadagno ondulazione in banda passante e stop, taglio veloce
• Filtro "L" ottimale
• Filtro gaussiano  : nessuna ondulazione in risposta alla funzione a gradino
• Filtro a coseno rialzato

Ciascuna famiglia di filtri può essere specificata in base a un ordine particolare. Più alto è l'ordine, più il filtro si avvicinerà al filtro "ideale"; ma anche più lunga è la risposta all'impulso e più lunga sarà la latenza. Un filtro ideale ha trasmissione completa nella banda passante, attenuazione completa nella banda di arresto e una transizione brusca tra le due bande, ma questo filtro ha un ordine infinito (cioè, la risposta non può essere espressa come un'equazione differenziale lineare con una somma finita ) e latenza infinita (ovvero, il suo supporto compatto nella trasformata di Fourier obbliga la sua risposta temporale ad essere eterna).

Ecco un'immagine che confronta Butterworth, Chebyshev e filtri ellittici. I filtri in questa illustrazione sono tutti filtri passa basso del quinto ordine. La particolare implementazione – analogica o digitale, passiva o attiva – non fa differenza; il loro output sarebbe lo stesso. Come si evince dall'immagine, i filtri ellittici sono più nitidi degli altri, ma mostrano increspature su tutta la larghezza di banda.

Qualsiasi famiglia può essere utilizzata per implementare una particolare forma di banda di cui vengono trasmesse le frequenze e quali, al di fuori della banda passante, sono più o meno attenuate. La funzione di trasferimento specifica completamente il comportamento di un filtro lineare, ma non la particolare tecnologia utilizzata per implementarlo. In altre parole, esistono diversi modi per ottenere una particolare funzione di trasferimento durante la progettazione di un circuito. Una particolare forma di banda del filtro può essere ottenuta trasformando un prototipo di filtro di quella famiglia.

Adattamento di impedenza

Le strutture di adattamento di impedenza assumono invariabilmente la forma di un filtro, cioè una rete di elementi non dissipativi. Ad esempio, in un'implementazione di elettronica passiva, assumerebbe probabilmente la forma di una topologia a scala di induttori e condensatori. La progettazione delle reti di corrispondenza condivide molto in comune con i filtri e la progettazione avrà invariabilmente un'azione di filtraggio come conseguenza incidentale. Sebbene lo scopo principale di una rete di corrispondenza non sia quello di filtrare, spesso accade che entrambe le funzioni siano combinate nello stesso circuito. La necessità di adattamento di impedenza non sorge mentre i segnali sono nel dominio digitale.

Commenti simili possono essere fatti per quanto riguarda i divisori di potenza e gli accoppiatori direzionali . Quando implementati in un formato a elementi distribuiti, questi dispositivi possono assumere la forma di un filtro a elementi distribuiti . Ci sono quattro porte da abbinare e l'ampliamento della larghezza di banda richiede strutture simili a filtri per raggiungere questo obiettivo. È vero anche l'inverso: i filtri a elementi distribuiti possono assumere la forma di linee accoppiate.

Alcuni filtri per scopi specifici

• Filtro audio
• Filtro di linea
• Correlazione in scala , filtro passa alto per le correlazioni
• Filtro texture

Filtri per rimuovere il rumore dai dati

• Filtro Wiener
• Filtro Kalman
• Filtro levigante Savitzky-Golay

Guarda anche

• Topologia del filtro elettronico
• Sollevatore (elaborazione del segnale)
• Riduzione del rumore
• Topologia di Sallen-Key
• levigante

Riferimenti

• Miroslav D. Lutovac, Dejan V. Tošić, Brian Lawrence Evans, Progettazione di filtri per l'elaborazione del segnale utilizzando MATLAB e Mathematica , Miroslav Lutovac, 2001 ISBN  0201361302 .
• BA Shenoi, Introduzione all'elaborazione del segnale digitale e alla progettazione di filtri , John Wiley & Sons, 2005 ISBN  0471656380 .
• LD Paarmann, Progettazione e analisi di filtri analogici: una prospettiva di elaborazione del segnale , Springer, 2001 ISBN  0792373731 .
• JSCHitode, Elaborazione del segnale digitale , Pubblicazioni tecniche, 2009 ISBN  8184316461 .
• Leland B. Jackson, Filtri digitali ed elaborazione del segnale , Springer, 1996 ISBN  079239559X .