Elenco delle trasformate relative a Fourier - List of Fourier-related transforms

Questo è un elenco di trasformazioni lineari di funzioni relative all'analisi di Fourier . Tali trasformazioni mappano una funzione a un insieme di coefficienti di funzioni di base , dove le funzioni di base sono sinusoidali e sono quindi fortemente localizzate nello spettro di frequenza . (Queste trasformate sono generalmente progettate per essere invertibili.) Nel caso della trasformata di Fourier, ciascuna funzione di base corrisponde a una singola componente di frequenza .

Trasformazioni continue

Applicate alle funzioni di argomenti continui, le trasformate correlate a Fourier includono:

Trasformate discrete

Per l'utilizzo su computer , teoria dei numeri e algebra, gli argomenti discreti (ad esempio le funzioni di una serie di campioni discreti) sono spesso più appropriati e sono gestiti dalle trasformazioni (analoghe ai casi continui sopra):

  • Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) : equivalente alla trasformata di Fourier di una funzione "continua" che è costruita dalla funzione di input discreto utilizzando i valori campione per modulare un pettine di Dirac . Quando i valori del campione sono derivati ​​campionando una funzione sulla linea reale, ƒ ( x ), il DTFT è equivalente a una somma periodica della trasformata di Fourier di ƒ . L'uscita DTFT è sempre periodica (ciclica). Un punto di vista alternativo è che il DTFT è una trasformazione in un dominio di frequenza che è limitato (o finito ), la lunghezza di un ciclo.
    • trasformata discreta di Fourier (DFT) :
      • Quando la sequenza di input è periodica, l'uscita DTFT è anche una funzione comb di Dirac , modulata dai coefficienti di una serie di Fourier che può essere calcolata come DFT di un ciclo della sequenza di input. Il numero di valori discreti in un ciclo del DFT è lo stesso di un ciclo della sequenza di input.
      • Quando la parte diversa da zero della sequenza di input ha una durata finita, la DTFT è continua e a valori finiti. Ma un discreto sottoinsieme dei suoi valori è sufficiente per ricostruire / rappresentare la porzione che è stata analizzata. Lo stesso insieme discreto si ottiene trattando la durata del segmento come un ciclo di una funzione periodica e calcolando la DFT .
    • Trasformate seno e coseno discrete : quando la sequenza di input ha una simmetria pari o dispari intorno all'origine, il DTFT si riduce a una trasformata seno discreta (DST) o trasformata coseno discreta (DCT).
    • Trasformazioni discrete di Chebyshev (sulla griglia "radici" e sulla griglia "estrema" dei polinomi di Chebyshev del primo tipo). Questa trasformazione è di grande importanza nel campo dei metodi spettrali per la risoluzione di equazioni differenziali perché può essere utilizzata per passare rapidamente ed efficientemente dai valori dei punti della griglia ai coefficienti della serie di Chebyshev.
  • DFT generalizzato (GDFT), una generalizzazione del DFT e trasformazioni di modulo costante in cui le funzioni di fase potrebbero essere lineari con pendenze intere e con valore reale, o anche fase non lineare che offre flessibilità per progetti ottimali di varie metriche, ad esempio auto- e cross- correlazioni.
  • La trasformata di Fourier nello spazio discreto (DSFT) è la generalizzazione della DTFT dai segnali 1D ai segnali 2D. Si chiama "spazio discreto" piuttosto che "tempo discreto" perché l'applicazione più diffusa è l'imaging e l'elaborazione delle immagini in cui gli argomenti della funzione di input sono campioni equidistanti di coordinate spaziali . L'output DSFT è periodico in entrambe le variabili.
  • Trasformata Z , una generalizzazione della DTFT all'intero piano complesso
  • Trasformata coseno discreta modificata (MDCT)
  • Trasformata di Hartley discreta (DHT)
  • Anche lo STFT discretizzato (vedi sopra).
  • Trasformata di Hadamard ( funzione di Walsh ).
  • Trasformata di Fourier su gruppi finiti .
  • Trasformata discreta di Fourier (generale) .

L'uso di tutte queste trasformazioni è notevolmente facilitato dall'esistenza di algoritmi efficienti basati su una trasformata veloce di Fourier (FFT). Il teorema di campionamento di Nyquist-Shannon è fondamentale per comprendere l'output di tali trasformate discrete.

Appunti

Guarda anche

Riferimenti

  • AD Polyanin e AV Manzhirov, Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
  • Tabelle delle trasformazioni integrali in EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • AN Akansu e H. Agirman-Tosun, " Trasformata di Fourier discreta generalizzata con fase non lineare " , IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 58, n. 9, pagg. 4547-4556, settembre 2010.