Analisi di Fourier -Fourier analysis

Segnale temporale del basso della corda a vuoto La nota (55 Hz).

Trasformata di Fourier del segnale temporale del basso della nota LA a corda aperta (55 Hz). L'analisi di Fourier rivela le componenti oscillatorie di segnali e funzioni .

In matematica , l'analisi di Fourier ( / ˈf ʊri eɪ , -i ər / ) è lo studio del modo in cui le funzioni generali possono essere rappresentate o approssimate da somme di funzioni trigonometriche più semplici . L'analisi di Fourier è nata dallo studio delle serie di Fourier e prende il nome da Joseph Fourier , che dimostrò che rappresentare una funzione come somma di funzioni trigonometriche semplifica enormemente lo studio del trasferimento di calore .

L'oggetto dell'analisi di Fourier comprende un vasto spettro di matematica. Nelle scienze e nell'ingegneria, il processo di scomposizione di una funzione in componenti oscillatori è spesso chiamato analisi di Fourier, mentre l'operazione di ricostruzione della funzione da questi pezzi è nota come sintesi di Fourier . Ad esempio, determinare quali frequenze componenti sono presenti in una nota musicale implicherebbe il calcolo della trasformata di Fourier di una nota musicale campionata. Si potrebbe quindi ri-sintetizzare lo stesso suono includendo le componenti di frequenza come rivelato nell'analisi di Fourier. In matematica, il termine analisi di Fourier si riferisce spesso allo studio di entrambe le operazioni.

Lo stesso processo di decomposizione è chiamato trasformazione di Fourier . Al suo output, la trasformata di Fourier , viene spesso assegnato un nome più specifico, che dipende dal dominio e da altre proprietà della funzione che viene trasformata. Inoltre, il concetto originale di analisi di Fourier è stato esteso nel tempo per applicarsi a situazioni sempre più astratte e generali, e il campo generale è spesso noto come analisi armonica . Ogni trasformazione utilizzata per l'analisi (vedere l'elenco delle trasformate correlate a Fourier ) ha una corrispondente trasformata inversa che può essere utilizzata per la sintesi.

Per utilizzare l'analisi di Fourier, i dati devono essere equispaziati. Sono stati sviluppati diversi approcci per l'analisi di dati con spaziatura disuguale, in particolare i metodi di analisi spettrale dei minimi quadrati (LSSA) che utilizzano un adattamento dei minimi quadrati delle sinusoidi ai campioni di dati, simile all'analisi di Fourier. L'analisi di Fourier, il metodo spettrale più utilizzato nella scienza, generalmente aumenta il rumore a lungo periodo nelle registrazioni a lungo gap; LSSA mitiga tali problemi.

Applicazioni

L'analisi di Fourier ha molte applicazioni scientifiche: in fisica , equazioni alle derivate parziali , teoria dei numeri , calcolo combinatorio , elaborazione dei segnali , elaborazione delle immagini digitali , teoria della probabilità , statistica , medicina legale , prezzo delle opzioni , crittografia , analisi numerica , acustica , oceanografia , sonar , ottica , diffrazione , geometria , analisi della struttura proteica e altre aree.

Questa ampia applicabilità deriva da molte proprietà utili delle trasformazioni:

• Le trasformate sono operatori lineari e, con un'opportuna normalizzazione, sono anche unitarie (proprietà nota come teorema di Parseval o, più in generale, come teorema di Plancherel , e più in generale tramite la dualità di Pontryagin ).
• Le trasformazioni sono generalmente invertibili.
• Le funzioni esponenziali sono autofunzioni di derivazione , il che significa che questa rappresentazione trasforma equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti in ordinarie equazioni algebriche. Pertanto, il comportamento di un sistema lineare tempo-invariante può essere analizzato indipendentemente a ciascuna frequenza.
• In base al teorema della convoluzione , le trasformate di Fourier trasformano la complicata operazione di convoluzione in una semplice moltiplicazione, il che significa che forniscono un modo efficiente per calcolare operazioni basate sulla convoluzione come il filtraggio del segnale, la moltiplicazione polinomiale e la moltiplicazione di grandi numeri .
• La versione discreta della trasformata di Fourier (vedi sotto) può essere valutata rapidamente su computer utilizzando algoritmi di trasformata veloce di Fourier (FFT).

In medicina legale, gli spettrofotometri a infrarossi da laboratorio utilizzano l'analisi della trasformata di Fourier per misurare le lunghezze d'onda della luce a cui un materiale assorbirà nello spettro infrarosso. Il metodo FT viene utilizzato per decodificare i segnali misurati e registrare i dati sulla lunghezza d'onda. E utilizzando un computer, questi calcoli di Fourier vengono eseguiti rapidamente, in modo che in pochi secondi uno strumento FT-IR azionato da computer possa produrre un modello di assorbimento dell'infrarosso paragonabile a quello di uno strumento a prisma.

La trasformazione di Fourier è utile anche come rappresentazione compatta di un segnale. Ad esempio, la compressione JPEG utilizza una variante della trasformazione di Fourier ( trasformata coseno discreta ) di piccoli pezzi quadrati di un'immagine digitale. Le componenti di Fourier di ogni quadrato sono arrotondate a una precisione aritmetica inferiore e le componenti deboli vengono eliminate completamente, in modo che le componenti rimanenti possano essere memorizzate in modo molto compatto. Nella ricostruzione dell'immagine, ogni quadrato dell'immagine viene riassemblato dai componenti approssimativi trasformati di Fourier conservati, che vengono poi trasformati inversamente per produrre un'approssimazione dell'immagine originale.

Nell'elaborazione del segnale , la trasformata di Fourier spesso prende una serie temporale o una funzione del tempo continuo e la mappa in uno spettro di frequenza . Cioè, prende una funzione dal dominio del tempo nel dominio della frequenza ; è una scomposizione di una funzione in sinusoidi di diverse frequenze; nel caso di una serie di Fourier o trasformata discreta di Fourier , le sinusoidi sono armoniche della frequenza fondamentale della funzione in esame.

Quando una funzione è una funzione del tempo e rappresenta un segnale fisico , la trasformata ha un'interpretazione standard come lo spettro di frequenza del segnale. L' ampiezza della risultante funzione a valori complessi alla frequenza rappresenta l' ampiezza di una componente di frequenza la cui fase iniziale è data dall'angolo di (coordinate polari). ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S(f)}$

Le trasformate di Fourier non sono limitate alle funzioni del tempo e alle frequenze temporali. Possono ugualmente essere applicati per analizzare le frequenze spaziali e in effetti per quasi tutti i domini di funzioni. Ciò giustifica il loro utilizzo in settori così diversi come l'elaborazione delle immagini , la conduzione del calore e il controllo automatico .

Durante l'elaborazione di segnali, come audio , onde radio , onde luminose, onde sismiche e persino immagini, l'analisi di Fourier può isolare i componenti a banda stretta di una forma d'onda composta, concentrandoli per facilitare il rilevamento o la rimozione. Un'ampia famiglia di tecniche di elaborazione del segnale consiste nella trasformazione di Fourier di un segnale, nella manipolazione dei dati trasformati di Fourier in modo semplice e nell'inversione della trasformazione.

Alcuni esempi includono:

• Equalizzazione delle registrazioni audio con una serie di filtri passa-banda ;
• Ricezione radio digitale senza circuito supereterodina , come in un moderno telefono cellulare o radio scanner ;
• Elaborazione delle immagini per rimuovere artefatti periodici o anisotropici come frastagliature da video interlacciato , artefatti da strisce di fotografie aeree o modelli di onde da interferenze di radiofrequenza in una fotocamera digitale;
• Correlazione incrociata di immagini simili per il coallineamento;
• Cristallografia a raggi X per ricostruire una struttura cristallina dal suo schema di diffrazione;
• Spettrometria di massa a risonanza ciclotronica ionica a trasformata di Fourier per determinare la massa di ioni dalla frequenza del moto del ciclotrone in un campo magnetico;
• Molte altre forme di spettroscopia, comprese le spettroscopie a infrarossi e di risonanza magnetica nucleare ;
• Generazione di spettrogrammi sonori utilizzati per analizzare i suoni;
• Sonar passivo utilizzato per classificare i bersagli in base al rumore dei macchinari.

Varianti dell'analisi di Fourier

Una trasformata di Fourier e 3 variazioni causate dal campionamento periodico (all'intervallo T) e/o dalla sommatoria periodica (all'intervallo P) della funzione nel dominio del tempo sottostante. La relativa facilità di calcolo della sequenza DFT e l'intuizione che fornisce in S ( f ) ne fanno uno strumento di analisi popolare.

(Continua) Trasformata di Fourier

Molto spesso, il termine non qualificato trasformata di Fourier si riferisce alla trasformazione di funzioni di un argomento reale continuo e produce una funzione continua di frequenza, nota come distribuzione di frequenza . Una funzione si trasforma in un'altra e l'operazione è reversibile. Quando il dominio della funzione di input (iniziale) è il tempo ( t ) e il dominio della funzione di output (finale) è la frequenza ordinaria , la trasformata della funzione s ( t ) alla frequenza f è data dal numero complesso:

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

La valutazione di questa quantità per tutti i valori di f produce la funzione nel dominio della frequenza . Allora s ( t ) può essere rappresentato come una ricombinazione di esponenziali complessi di tutte le possibili frequenze:

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

che è la formula di trasformazione inversa. Il numero complesso, S ( f ) , trasmette sia l'ampiezza che la fase della frequenza f .

Vedere Trasformata di Fourier per molte più informazioni, tra cui:

• convenzioni per la normalizzazione dell'ampiezza e il ridimensionamento/unità di frequenza
• trasformare le proprietà
• trasformate tabulate di funzioni specifiche
• un'estensione/generalizzazione per funzioni di più dimensioni, come le immagini.

serie di Fourier

La trasformata di Fourier di una funzione periodica, s _P ( t ) , con periodo P , diventa una funzione pettine di Dirac , modulata da una sequenza di coefficienti complessi :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (dove ∫ _P è l'integrale su ogni intervallo di lunghezza P ).

La trasformata inversa, nota come serie di Fourier , è una rappresentazione di s _P ( t ) in termini di sommatoria di un numero potenzialmente infinito di sinusoidi armonicamente correlate o funzioni esponenziali complesse , ciascuna con un'ampiezza e una fase specificate da uno dei coefficienti:

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k ]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k ]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Qualsiasi s _P ( t ) può essere espresso come somma periodica di un'altra funzione, s ( t ) :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

ei coefficienti sono proporzionali ai campioni di S ( f ) a intervalli discreti di 1/P:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\sinistra({\frac {k}{P}}\destra).}$

Si noti che qualsiasi s ( t ) la cui trasformazione ha gli stessi valori campione discreti può essere utilizzata nella sommatoria periodica. Una condizione sufficiente per recuperare s ( t ) (e quindi S ( f ) ) solo da questi campioni (cioè dalla serie di Fourier) è che la porzione diversa da zero di s ( t ) sia confinata in un intervallo noto di durata P , che è il duale nel dominio della frequenza del teorema del campionamento di Nyquist-Shannon .

Vedere la serie di Fourier per ulteriori informazioni, compreso lo sviluppo storico.

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)

Il DTFT è il duale matematico della serie di Fourier nel dominio del tempo. Pertanto, una sommatoria periodica convergente nel dominio della frequenza può essere rappresentata da una serie di Fourier, i cui coefficienti sono campioni di una funzione temporale continua correlata:

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k }{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier serie (DTFT)}}} _{\text{formula di sommatoria di Poisson}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \ delta (t-nT)\destra\},\,}$

noto come DTFT. Quindi il DTFT della sequenza s [ n ] è anche la trasformata di Fourier della funzione modulata del pettine di Dirac .

I coefficienti della serie di Fourier (e la trasformata inversa) sono definiti da:

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\ ,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}. }$

Il parametro T corrisponde all'intervallo di campionamento e questa serie di Fourier può ora essere riconosciuta come una forma della formula di somma di Poisson . Quindi abbiamo l'importante risultato che quando una sequenza di dati discreti, s [ n ] , è proporzionale ai campioni di una funzione continua sottostante, s ( t ) , si può osservare una sommatoria periodica della trasformata continua di Fourier, S ( f ) . Si noti che qualsiasi s ( t ) con gli stessi valori discreti del campione produce lo stesso DTFT Ma in determinate condizioni idealizzate si può teoricamente recuperare S ( f ) e s ( t ) esattamente. Una condizione sufficiente per un recupero perfetto è che la porzione diversa da zero di S ( f ) sia confinata in un intervallo di frequenza noto di ampiezza1/T. Quando tale intervallo è [−1/2 t,1/2 t] , la formula di ricostruzione applicabile è la formula di interpolazione Whittaker-Shannon . Questa è una pietra miliare nella fondazione dell'elaborazione del segnale digitale .

Un altro motivo per essere interessati a S _{1/ T} ( f ) è che spesso fornisce informazioni sulla quantità di aliasing causata dal processo di campionamento.

Le applicazioni del DTFT non sono limitate alle funzioni campionate. Vedere Trasformata di Fourier a tempo discreto per ulteriori informazioni su questo e altri argomenti, tra cui:

• unità di frequenza normalizzate
• windowing (sequenze di lunghezza finita)
• trasformare le proprietà
• trasformate tabulate di funzioni specifiche

Trasformata discreta di Fourier (DFT)

Simile a una serie di Fourier, il DTFT di una sequenza periodica, , con periodo , diventa una funzione pettine di Dirac, modulata da una sequenza di coefficienti complessi (vedi DTFT § Dati periodici ): ${\displaystyle s_{N}[n]}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (dove Σ _n è la somma su qualsiasi sequenza di lunghezza N ).

La sequenza S [ k ] è ciò che è abitualmente noto come DFT di un ciclo di s _N . È anche N -periodico, quindi non è mai necessario calcolare più di N coefficienti. La trasformata inversa, nota anche come serie discreta di Fourier , è data da:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k },}$   dove Σ _k è la somma su qualsiasi sequenza di lunghezza N .

Quando s _N [ n ] è espresso come sommatoria periodica di un'altra funzione:

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   E   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

i coefficienti sono proporzionali a campioni di S _{1/ T} ( f ) a discreti intervalli di1/P=1/NT:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\sinistra({\frac {k}{P}}\destra).}$

Al contrario, quando si vuole calcolare un numero arbitrario ( N ) di campioni discreti di un ciclo di un DTFT continuo, S _{1/ T} ( f ) , si può fare calcolando il DFT relativamente semplice di s _N [ n ] , come definito sopra. Nella maggior parte dei casi, N è scelto uguale alla lunghezza della porzione diversa da zero di s [ n ] . L'aumento di N , noto come zero-padding o interpolazione , produce campioni più ravvicinati di un ciclo di S _{1/ T} ( f ) . Diminuendo N , si provoca sovrapposizione (aggiunta) nel dominio del tempo (analogo all'aliasing ) , che corrisponde alla decimazione nel dominio della frequenza. (vedi Trasformata di Fourier a tempo discreto § L=N×I ) Nella maggior parte dei casi di interesse pratico, la sequenza s [ n ] rappresenta una sequenza più lunga che è stata troncata dall'applicazione di una funzione finestra di lunghezza finita o di un array di filtri FIR .

La DFT può essere calcolata utilizzando un algoritmo di trasformata veloce di Fourier (FFT), che la rende una trasformazione pratica e importante sui computer.

Vedere trasformata discreta di Fourier per molte più informazioni, tra cui:

• trasformare le proprietà
• applicazioni
• trasformate tabulate di funzioni specifiche

Riepilogo

Per le funzioni periodiche, sia la trasformata di Fourier che il DTFT comprendono solo un insieme discreto di componenti di frequenza (serie di Fourier) e le trasformate divergono a quelle frequenze. Una pratica comune (non discussa sopra) è quella di gestire tale divergenza tramite le funzioni Dirac delta e Dirac comb . Ma la stessa informazione spettrale può essere individuata da un solo ciclo della funzione periodica, poiché tutti gli altri cicli sono identici. Allo stesso modo, le funzioni di durata finita possono essere rappresentate come una serie di Fourier, senza alcuna perdita effettiva di informazioni tranne che la periodicità della trasformata inversa è un mero artefatto.

È comune nella pratica che la durata di s (•) sia limitata al periodo, P o N . Ma queste formule non richiedono tale condizione.

s ( t ) trasforma (tempo continuo)

	Frequenza continua	Frequenze discrete
Trasformare	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \overbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} ^{S[k]}\,\triangleq \,{ \frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt \equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
Inverso	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P} }t}} _{\text{Formula di sommatoria di Poisson (serie di Fourier)}}\,}$

s ( nT ) trasforma (a tempo discreto)

	Frequenza continua	Frequenze discrete
Trasformare	${\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Formula di sommatoria di Poisson (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N }}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{ DFT}}\,\end{allineato}}}$
Inverso	${\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^ {i2\pi fnT}\,df}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\ frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{trasformata di Fourier inversa}}\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&=\overbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi { \frac {kn}{N}}}} ^{\text{DFT inverso}}\\&={\tfrac {1}{P}}\sum _{k}S_{\frac {1}{T} }\left({\frac {k}{P}}\right)\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}\end{allineato}}}$

Proprietà di simmetria

Quando le parti reale e immaginaria di una funzione complessa vengono scomposte nelle loro parti pari e dispari , ci sono quattro componenti, indicate sotto con i pedici RE, RO, IE e IO. E c'è una mappatura uno a uno tra i quattro componenti di una funzione temporale complessa e i quattro componenti della sua complessa trasformata di frequenza:

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Dominio temporale}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{ _{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \ Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow } {\mathcal {F}}\\{\text{Dominio di frequenza}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+ &iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Da ciò emergono varie relazioni, ad esempio:

• La trasformata di una funzione a valori reali ( s _RE + s _RO ) è la funzione simmetrica pari S _RE + i S _IO . Al contrario, una trasformazione simmetrica pari implica un dominio del tempo a valori reali.
• La trasformata di una funzione a valori immaginari ( i s _IE + i s _IO ) è la funzione simmetrica dispari S _RO + i S _IE , ed è vero il contrario.
• La trasformata di una funzione pari-simmetrica ( s _RE + i s _IO ) è la funzione a valori reali S _RE + S _RO , e il contrario è vero.
• La trasformata di una funzione simmetrica dispari ( s _RO + i s _IE ) è la funzione a valori immaginari i S _IE + i S _IO , ed è vero il contrario.

Storia

Una prima forma di serie armoniche risale all'antica matematica babilonese , dove erano usate per calcolare le effemeridi (tabelle delle posizioni astronomiche).

I concetti greci classici di deferente ed epiciclo nel sistema tolemaico di astronomia erano correlati alle serie di Fourier (vedi Deferente ed epiciclo § Formalismo matematico ).

Nei tempi moderni, le varianti della trasformata discreta di Fourier furono usate da Alexis Clairaut nel 1754 per calcolare un'orbita, che è stata descritta come la prima formula per la DFT, e nel 1759 da Joseph Louis Lagrange , per calcolare i coefficienti di una serie trigonometrica per una corda vibrante. Tecnicamente, il lavoro di Clairaut era una serie solo coseno (una forma di trasformata discreta del coseno ), mentre il lavoro di Lagrange era una serie solo seno (una forma di trasformata discreta del seno ); un vero DFT coseno+seno fu usato da Gauss nel 1805 per l'interpolazione trigonometrica delle orbite degli asteroidi . Eulero e Lagrange discretizzarono entrambi il problema delle corde vibranti, usando quelli che oggi verrebbero chiamati campioni.

Un primo sviluppo moderno verso l'analisi di Fourier fu il documento del 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des equations di Lagrange, che nel metodo dei risolventi di Lagrange utilizzava una decomposizione di Fourier complessa per studiare la soluzione di una cubica: Lagrange trasformò le radici x ₁ , x ₂ , x ₃ nei risolventi:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\ zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{allineato}}}$

dove ζ è una radice cubica dell'unità , che è la DFT di ordine 3.

Un certo numero di autori, in particolare Jean le Rond d'Alembert e Carl Friedrich Gauss , usarono serie trigonometriche per studiare l' equazione del calore , ma lo sviluppo rivoluzionario fu il documento del 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides di Joseph Fourier , il cui l'intuizione cruciale è stata quella di modellare tutte le funzioni mediante serie trigonometriche, introducendo la serie di Fourier.

Gli storici sono divisi su quanto attribuire a Lagrange e ad altri lo sviluppo della teoria di Fourier: Daniel Bernoulli e Leonhard Euler avevano introdotto rappresentazioni trigonometriche delle funzioni, e Lagrange aveva fornito la soluzione in serie di Fourier all'equazione delle onde, quindi il contributo di Fourier fu principalmente il audace affermare che una funzione arbitraria potrebbe essere rappresentata da una serie di Fourier.

Il successivo sviluppo del campo è noto come analisi armonica , ed è anche un primo esempio di teoria della rappresentazione .

Il primo algoritmo di trasformata veloce di Fourier (FFT) per la DFT fu scoperto intorno al 1805 da Carl Friedrich Gauss durante l'interpolazione delle misurazioni dell'orbita degli asteroidi Juno e Pallas , sebbene quel particolare algoritmo FFT sia più spesso attribuito ai suoi moderni riscopritori Cooley e Tukey .

Trasformazioni tempo-frequenza

In termini di elaborazione del segnale , una funzione (del tempo) è una rappresentazione di un segnale con una perfetta risoluzione temporale , ma nessuna informazione sulla frequenza, mentre la trasformata di Fourier ha una perfetta risoluzione in frequenza , ma nessuna informazione temporale.

In alternativa alla trasformata di Fourier, nell'analisi tempo-frequenza , si usano le trasformazioni tempo-frequenza per rappresentare i segnali in una forma che ha alcune informazioni temporali e alcune informazioni sulla frequenza - per il principio di indeterminazione , c'è un compromesso tra questi. Queste possono essere generalizzazioni della trasformata di Fourier, come la trasformata di Fourier a breve termine , la trasformata di Gabor o la trasformata di Fourier frazionaria (FRFT), oppure possono utilizzare diverse funzioni per rappresentare i segnali, come nelle trasformate wavelet e nelle trasformate chirplet , con l'analogo wavelet della trasformata di Fourier (continua) essendo la trasformata wavelet continua .

Trasformate di Fourier su gruppi topologici abeliani localmente compatti arbitrari

Le varianti di Fourier possono anche essere generalizzate alle trasformate di Fourier su gruppi topologici abeliani localmente compatti arbitrari , che sono studiati nell'analisi armonica ; lì, la trasformata di Fourier assume funzioni su un gruppo in funzioni sul gruppo duale. Questa trattazione permette anche una formulazione generale del teorema di convoluzione , che mette in relazione trasformate di Fourier e convoluzioni . Vedi anche la dualità di Pontryagin per le basi generalizzate della trasformata di Fourier.

Più specificamente, l'analisi di Fourier può essere eseguita su coset, anche cosette discrete.

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

Ulteriori letture

link esterno

• Tabelle delle trasformazioni integrali in EqWorld: il mondo delle equazioni matematiche.
• Una spiegazione intuitiva della teoria di Fourier di Steven Lehar.
• Conferenze sull'elaborazione delle immagini: una raccolta di 18 lezioni in formato pdf della Vanderbilt University. La lezione 6 è sulla trasformata di Fourier 1 e 2D. Le lezioni 7–15 ne fanno uso. , di Alan Peters
• Moriarty, Filippo; Bowley, Roger (2009). "Σ sommatoria (e analisi di Fourier)" . Sessanta simboli . Brady Haran per l' Università di Nottingham .