Dimensione frattale - Fractal dimension

11,5 x 200 = 2300 km

28 x 100 = 2800 km

70 x 50 = 3500 km

Figura 1. Man mano che la lunghezza dell'asta di misurazione viene ridotta in scala, la lunghezza totale della costa misurata aumenta (vedi Paradosso delle coste ).

In matematica , più specificamente nella geometria frattale , una dimensione frattale è un rapporto che fornisce un indice statistico di complessità che confronta il modo in cui il dettaglio in un modello (in senso stretto, un modello frattale ) cambia con la scala in cui viene misurato. È stato anche caratterizzato come una misura della capacità di riempimento dello spazio di un modello che racconta come un frattale si ridimensiona in modo diverso dallo spazio in cui è incorporato; una dimensione frattale non deve essere un numero intero.

L'idea essenziale di "fratturate" dimensioni ha una lunga storia nel campo della matematica, ma il termine stesso è stato portato alla ribalta da Benoit Mandelbrot sulla base di suo saggio 1967 su auto-similarità in cui ha discusso dimensioni frazionarie . In quel documento, Mandelbrot citava il lavoro precedente di Lewis Fry Richardson che descriveva la nozione controintuitiva che la lunghezza misurata di una linea costiera cambia con la lunghezza del metro utilizzato ( vedi Fig. 1 ). In termini di tale nozione, la dimensione frattale di una linea di costa quantifica come il numero di aste di misurazione in scala necessarie per misurare la linea di costa cambia con la scala applicata all'asta. Esistono diverse definizioni matematiche formali di dimensione frattale che si basano su questo concetto di base di cambiamento in dettaglio con cambiamento di scala: vedere la sezione Esempi .

Alla fine, il termine dimensione frattale divenne la frase con cui lo stesso Mandelbrot si sentì più a suo agio nell'incapsulare il significato della parola frattale , un termine da lui creato. Dopo diverse iterazioni nel corso degli anni, Mandelbrot ha optato per questo uso del linguaggio: "...usare frattale senza una definizione pedante, usare dimensione frattale come termine generico applicabile a tutte le varianti".

Un esempio non banale è la dimensione frattale di un fiocco di neve di Koch . Ha una dimensione topologica di 1, ma non è affatto una curva rettificabile : la lunghezza della curva tra due punti qualsiasi sul fiocco di neve di Koch è infinita . Non è un piccolo pezzo a forma di linea, ma piuttosto è composto da un numero infinito di segmenti uniti con angoli diversi. La dimensione frattale di una curva può essere spiegata intuitivamente pensando a una linea frattale come a un oggetto troppo dettagliato per essere unidimensionale, ma troppo semplice per essere bidimensionale. Pertanto la sua dimensione potrebbe essere meglio descritta non dalla sua consueta dimensione topologica di 1 ma dalla sua dimensione frattale, che spesso è un numero compreso tra uno e due; nel caso del fiocco di neve di Koch, è circa 1.262.

introduzione

Figura 2. Un frattale quadrico a 32 segmenti ridimensionato e visualizzato attraverso riquadri di diverse dimensioni. Il modello illustra la somiglianza di sé . La dimensione frattale teorica per questo frattale è 5/3 ≈ 1,67; la sua dimensione frattale empirica dall'analisi del conteggio delle scatole è ± 1% utilizzando il software di analisi frattale .

Una dimensione frattale è un indice per caratterizzare modelli o insiemi frattali quantificando la loro complessità come rapporto tra il cambiamento di dettaglio e il cambiamento di scala. Diversi tipi di dimensione frattale possono essere misurati teoricamente ed empiricamente ( vedi Fig. 2 ). Le dimensioni frattali vengono utilizzate per caratterizzare un ampio spettro di oggetti che vanno dai fenomeni astratti a quelli pratici, tra cui turbolenza, reti fluviali, crescita urbana, fisiologia umana, medicina e tendenze di mercato. L'idea essenziale di frazionali o frattali dimensioni ha una lunga storia nel campo della matematica, che si possono far risalire al 1600, ma i termini frattale e dimensione frattale sono stati coniato dal matematico Benoit Mandelbrot nel 1975.

Le dimensioni frattali furono inizialmente applicate come un indice che caratterizzava forme geometriche complicate per le quali i dettagli sembravano più importanti dell'immagine grossolana. Per gli insiemi che descrivono forme geometriche ordinarie, la dimensione frattale teorica è uguale alla dimensione euclidea o topologica familiare dell'insieme . Quindi, è 0 per gli insiemi che descrivono punti (insiemi a 0 dimensioni); 1 per insiemi che descrivono linee (insiemi unidimensionali aventi solo lunghezza); 2 per insiemi che descrivono superfici (insiemi bidimensionali aventi lunghezza e larghezza); e 3 per insiemi che descrivono volumi (insiemi tridimensionali aventi lunghezza, larghezza e altezza). Ma questo cambia per gli insiemi frattali. Se la dimensione frattale teorica di un insieme supera la sua dimensione topologica, si considera che l'insieme abbia una geometria frattale.

A differenza delle dimensioni topologiche, l'indice frattale può assumere valori non interi , indicando che un insieme riempie il suo spazio qualitativamente e quantitativamente in modo diverso da come lo fa un comune insieme geometrico. Ad esempio, una curva con una dimensione frattale molto vicina a 1, diciamo 1.10, si comporta come una linea ordinaria, ma una curva con dimensione frattale 1.9 si snoda in modo contorto attraverso lo spazio quasi come una superficie. Allo stesso modo, una superficie con una dimensione frattale di 2,1 riempie lo spazio in modo molto simile a una superficie ordinaria, ma una con una dimensione frattale di 2,9 si piega e scorre per riempire lo spazio quasi come un volume. Questa relazione generale può essere visto nelle due immagini di curve frattali in Fig.2 e Fig. 3 -. Profilo 32 segmenti in figura 2, contorto e riempimento spazio, ha una dimensione frattale di 1,67, rispetto al meno complesso sensibilmente Curva di Koch in Fig. 3, che ha una dimensione frattale di 1,26.

Figura 3. La curva di Koch è una classica curva frattale iterata . È un costrutto teorico realizzato scalando in modo iterativo un segmento iniziale. Come mostrato, ogni nuovo segmento viene ridimensionato di 1/3 in 4 nuovi pezzi disposti da un capo all'altro con 2 pezzi centrali inclinati l'uno verso l'altro tra gli altri due pezzi, in modo che se fossero un triangolo la sua base sarebbe la lunghezza del mezzo pezzo, in modo che l'intero nuovo segmento si adatti alla lunghezza misurata tradizionalmente tra i punti finali del segmento precedente. Mentre l'animazione mostra solo poche iterazioni, la curva teorica viene scalata in questo modo all'infinito. Al di là di circa 6 iterazioni su un'immagine così piccola, il dettaglio è perso.

La relazione di una dimensione frattale crescente con il riempimento dello spazio potrebbe essere interpretata nel senso che le dimensioni frattali misurano la densità, ma non è così; i due non sono strettamente correlati. Invece, una dimensione frattale misura la complessità, un concetto legato ad alcune caratteristiche chiave dei frattali: autosomiglianza e dettaglio o irregolarità . Queste caratteristiche sono evidenti nei due esempi di curve frattali. Entrambe sono curve con dimensione topologica pari a 1, quindi si potrebbe sperare di poter misurare la loro lunghezza e derivata allo stesso modo delle curve ordinarie. Ma non possiamo fare nessuna di queste cose, perché le curve frattali hanno complessità sotto forma di auto-similarità e dettagli che mancano alle curve ordinarie. L' auto-somiglianza sta nella scalatura infinita e il dettaglio negli elementi che definiscono ogni set. La lunghezza tra due punti qualsiasi su queste curve è infinita, non importa quanto vicini siano i due punti, il che significa che è impossibile approssimare la lunghezza di tale curva suddividendola in molti piccoli segmenti. Ogni pezzo più piccolo è composto da un numero infinito di segmenti in scala che assomigliano esattamente alla prima iterazione. Queste non sono curve rettificabili , nel senso che non possono essere misurate scomponendole in tanti segmenti che si avvicinano alle rispettive lunghezze. Non possono essere caratterizzati in modo significativo trovando le loro lunghezze e derivati. Tuttavia, è possibile determinare le loro dimensioni frattali, il che mostra che entrambi riempiono lo spazio più delle linee ordinarie ma meno delle superfici e consente loro di essere confrontati a questo proposito.

Le due curve frattali descritte sopra mostrano un tipo di autosomiglianza che è esatta con un'unità di dettaglio ripetuta che è prontamente visualizzata. Questo tipo di struttura può essere estesa ad altri spazi (ad esempio, un frattale che estende la curva di Koch nello spazio 3-d ha un teorico D=2.5849). Tuttavia, tale complessità ordinatamente numerabile è solo un esempio dell'auto-similarità e dei dettagli presenti nei frattali. L'esempio della linea costiera della Gran Bretagna, ad esempio, mostra l'auto-similarità di un modello approssimativo con una scala approssimativa. Nel complesso, i frattali mostrano diversi tipi e gradi di autosomiglianza e dettagli che potrebbero non essere facilmente visualizzati. Questi includono, come esempi, strani attrattori per i quali il dettaglio è stato descritto come essenzialmente, porzioni lisce che si accumulano, il set di Julia , che può essere visto come complessi turbinii su turbinii, e le frequenze cardiache, che sono schemi di picchi irregolari ripetuti e ridimensionato nel tempo. La complessità frattale può non essere sempre risolvibile in unità di dettaglio e scala facilmente comprensibili senza metodi analitici complessi, ma è ancora quantificabile attraverso le dimensioni frattali.

Storia

I termini dimensione frattale e frattale sono stati coniati da Mandelbrot nel 1975, circa un decennio dopo aver pubblicato il suo articolo sull'autosimilarità nella costa della Gran Bretagna. Varie autorità storiche gli attribuiscono anche il merito di aver sintetizzato secoli di complicati lavori teorici di matematica e ingegneria e di applicarli in un modo nuovo per studiare geometrie complesse che sfidavano la descrizione in termini lineari abituali. Le prime radici di ciò che Mandelbrot ha sintetizzato come la dimensione frattale sono state chiaramente ricondotte a scritti su funzioni indifferenziabili, infinitamente auto-simili, che sono importanti nella definizione matematica dei frattali, nel periodo in cui fu scoperto il calcolo a metà del 1600. Ci fu una pausa nel lavoro pubblicato su tali funzioni per un periodo successivo, poi un rinnovamento a partire dalla fine del 1800 con la pubblicazione di funzioni e insiemi matematici che oggi sono chiamati frattali canonici (come le opere omonime di von Koch , Sierpiński , e Julia ), ma all'epoca della loro formulazione erano spesso considerati "mostri" matematici antitetici. Questi lavori sono stati accompagnati dal punto forse più cardine nello sviluppo del concetto di dimensione frattale attraverso il lavoro di Hausdorff nei primi anni del 1900 che ha definito una dimensione "frazionaria" che ha preso il suo nome ed è spesso invocata nella definizione frattali moderni .

Vedi la storia dei frattali per maggiori informazioni

Ruolo del ridimensionamento

Figura 4. Nozioni tradizionali di geometria per la definizione di scala e dimensione. , , , , , ,
${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1^{2}{=}1}$${\displaystyle 1^{3}{=}1}$
${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2^{2}{=}4}$${\displaystyle 2^{3}{=}8}$
${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3^{2}{=}9}$${\displaystyle 3^{3}{=}27}$

Il concetto di dimensione frattale si basa su viste non convenzionali di ridimensionamento e dimensione. Come illustra la Fig. 4 , le nozioni tradizionali di geometria impongono che le forme si ridimensionino in modo prevedibile secondo idee intuitive e familiari sullo spazio in cui sono contenute, in modo tale che, ad esempio, misurare una linea usando prima un metro e poi un altro 1/3 della sua dimensione , darà al secondo bastone una lunghezza totale 3 volte più lunga del primo. Questo vale anche in 2 dimensioni. Se si misura l'area di un quadrato e poi si misura di nuovo con una casella di lato lungo 1/3 della dimensione dell'originale, si troveranno 9 volte il numero di quadrati della prima misura. Tali relazioni di scala familiari possono essere definite matematicamente dalla regola di scala generale nell'Equazione 1, dove la variabile rappresenta il numero di bastoncini, il fattore di scala e la dimensione frattale: ${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle {N=\varepsilon ^{-D}}.}$

( 1 )

Questa regola di scala caratterizza le regole convenzionali sulla geometria e la dimensione: per le linee, le quantifica, perché quando come nell'esempio sopra, e per i quadrati, perché quando${\displaystyle N=3}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle D=1,}$${\displaystyle N=9}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}},D=2.}$

Figura 5. Le prime quattro iterazioni del fiocco di neve di Koch , che ha una dimensione di Hausdorff approssimativa di 1,2619.

La stessa regola si applica alla geometria frattale ma in modo meno intuitivo. Per elaborare, una linea frattale misurata inizialmente per essere una lunghezza, quando viene rimisurata usando un nuovo bastoncino ridimensionato di 1/3 del vecchio potrebbe non essere il previsto 3 ma invece 4 volte più bastoncini ridimensionati. In questo caso, quando e il valore di possono essere trovati riorganizzando l'equazione 1: ${\displaystyle N=4}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}},}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\log _{\varepsilon }{N}={-D}={\frac {\log {N}}{\log {\varepsilon }}}}.}$

( 2 )

Cioè, per un frattale descritto da quando una dimensione non intera che suggerisce che il frattale ha una dimensione non uguale allo spazio in cui risiede. Il ridimensionamento utilizzato in questo esempio è lo stesso ridimensionamento della curva di Koch e del fiocco di neve . Da notare che le immagini mostrate non sono veri frattali perché il ridimensionamento descritto dal valore di non può continuare all'infinito per il semplice motivo che le immagini esistono solo fino al punto della loro componente più piccola, un pixel. Il modello teorico che le immagini digitali rappresentano, tuttavia, non ha discreti pixel come pezzi, ma piuttosto è composto da un infinito numero di segmenti infinitamente scalati uniti ad angoli differenti e in effetti avere una dimensione frattale di 1,2619. ${\displaystyle N=4}$${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}},D=1.2619,}$${\displaystyle D}$

D non è un descrittore univoco

Figura 6 . Due frattali ramificati di sistemi L che sono realizzati producendo 4 nuove parti per ogni scala 1/3 , quindi hanno lo stesso teorico della curva di Koch e per i quali il conteggio empirico dei box è stato dimostrato con una precisione del 2%.${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Come nel caso delle dimensioni determinate per linee, quadrati e cubi, le dimensioni frattali sono descrittori generali che non definiscono in modo univoco i modelli. Il valore di D per il frattale di Koch discusso sopra, ad esempio, quantifica la scalatura intrinseca del modello, ma non descrive in modo univoco né fornisce informazioni sufficienti per ricostruirlo. Si potrebbero costruire molte strutture o modelli frattali che hanno la stessa relazione di scala ma sono notevolmente differenti dalla curva di Koch, come illustrato nella Figura 6 .

Per esempi di come possono essere costruiti i modelli frattali, vedere Fractal , Sierpinski triangle , Mandelbrot set , Diffusion limited aggregation , L-System .

Strutture di superficie frattale

Il concetto di frattalità viene applicato sempre più nel campo della scienza delle superfici , fornendo un ponte tra le caratteristiche della superficie e le proprietà funzionali. Numerosi descrittori di superficie vengono utilizzati per interpretare la struttura di superfici nominalmente piatte, che spesso presentano caratteristiche autoaffine su più scale di lunghezza. La rugosità superficiale media , solitamente indicata con R _A , è il descrittore di superficie più comunemente applicato, tuttavia numerosi altri descrittori tra cui pendenza media, rugosità quadratica media (R _RMS ) e altri vengono regolarmente applicati. Si trova tuttavia che molti fenomeni fisici della superficie non possono essere facilmente interpretati con riferimento a tali descrittori, quindi la dimensione frattale viene sempre più applicata per stabilire correlazioni tra la struttura della superficie in termini di comportamento in scala e prestazioni. Le dimensioni frattali delle superfici sono state impiegate per spiegare e comprendere meglio i fenomeni nelle aree della meccanica del contatto , del comportamento di attrito , della resistenza del contatto elettrico e degli ossidi conduttori trasparenti .

Figura 7: Illustrazione dell'aumento della frattalità di superficie. Superfici autoaffine (a sinistra) e profili di superficie corrispondenti (a destra) che mostrano una dimensione frattale crescente D _f

Esempi

Il concetto di dimensione frattale descritto in questo articolo è una visione di base di un costrutto complicato. Gli esempi qui discussi sono stati scelti per chiarezza e l'unità di ridimensionamento e i rapporti erano noti in anticipo. In pratica, tuttavia, le dimensioni frattali possono essere determinate utilizzando tecniche che approssimano il ridimensionamento e il dettaglio dai limiti stimati dalle linee di regressione su grafici log vs log di dimensioni vs scala. Di seguito sono elencate diverse definizioni matematiche formali di diversi tipi di dimensione frattale. Sebbene per alcuni frattali classici tutte queste dimensioni coincidano, in generale non sono equivalenti:

• Dimensione conteggio box : D è stimato come l'esponente di una legge di potenza .

${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon)}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• Dimensione dell'informazione : D considera come l' informazione media necessaria per identificare una scatola occupata si ridimensiona con la dimensione della scatola; è una probabilità.${\displaystyle p}$

${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}} }}$

• Dimensione di correlazione : D si basa su come il numero di punti utilizzati per generare una rappresentazione di un frattale e g _ε , il numero di coppie di punti più vicini di l'uno all'altro.${\displaystyle M}$

${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\ log \varepsilon }}}$

• Dimensioni generalizzate o Rényi: Le dimensioni box-counting, informazione e correlazione possono essere viste come casi speciali di uno spettro continuo di dimensioni generalizzate di ordine α, definite da:

${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^ {\alpha })}{\log \varepsilon }}}$

• Dimensione Higuchi

${\displaystyle D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}}}$

• Dimensione di Lyapunov
• Dimensioni multifrattali : un caso speciale delle dimensioni Rényi in cui il comportamento di ridimensionamento varia nelle diverse parti del modello.
• Esponente di incertezza
• Dimensione di Hausdorff : Per ogni sottoinsieme di uno spazio metrico e , il contenuto di Hausdorff d -dimensionale di S è definito da${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ c'è una copertina di }} S{\text{ di palline con raggi }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

La dimensione di Hausdorff di S è definita da

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• Dimensione dell'imballaggio
• Dimensione Assouad
• Dimensione connessa locale

Stima da dati reali

Molti fenomeni del mondo reale mostrano proprietà frattali limitate o statistiche e dimensioni frattali che sono state stimate da dati campionati utilizzando tecniche di analisi frattale basate su computer . In pratica, le misurazioni della dimensione frattale sono influenzate da vari problemi metodologici e sono sensibili al rumore numerico o sperimentale e alle limitazioni nella quantità di dati. Tuttavia, il campo è in rapida crescita poiché le dimensioni frattali stimate per fenomeni statisticamente auto-simili possono avere molte applicazioni pratiche in vari campi tra cui astronomia, acustica, geologia e scienze della terra, diagnostica per immagini, ecologia, processi elettrochimici, analisi delle immagini, biologia e medicina, neuroscienze, analisi delle reti , fisiologia, fisica e zeta di Riemann. È stato anche dimostrato che le stime delle dimensioni frattali sono correlate alla complessità di Lempel-Ziv nei set di dati del mondo reale provenienti dalla psicoacustica e dalle neuroscienze.

Un'alternativa alla misurazione diretta è considerare un modello matematico che assomigli alla formazione di un oggetto frattale del mondo reale. In questo caso, una validazione può essere effettuata anche confrontando proprietà diverse da quelle frattali implicite nel modello, con dati misurati. Nella fisica colloidale sorgono sistemi composti da particelle con varie dimensioni frattali. Per descrivere questi sistemi, è conveniente parlare di una distribuzione delle dimensioni frattali e, infine, di un'evoluzione temporale di queste ultime: un processo che è guidato da una complessa interazione tra aggregazione e coalescenza .

Dimensioni frattali di reti e reti spaziali

È stato scoperto che molte reti del mondo reale sono auto-simili e possono essere caratterizzate da una dimensione frattale. Inoltre, i modelli di reti incorporati nello spazio possono avere una dimensione frattale continua che dipende dalla distribuzione dei collegamenti a lungo raggio.

Guarda anche

• Elenco dei frattali per dimensione di Hausdorff  - Articolo della lista di Wikipedia
• Lacunarità  – Termine in geometria e analisi frattale
• Derivato frattale  – Generalizzazione del derivato ai frattali

Appunti

Riferimenti

Ulteriori letture

• Mandelbrot, Benoit B. ; Hudson, Richard L. (2010). Il (cattivo) comportamento dei mercati: una visione frattale del rischio, della rovina e della ricompensa . Libri di profilo. ISBN 978-1-84765-155-6.

link esterno

• Benoit di TruSoft , prodotto software di analisi frattale calcola le dimensioni frattali e gli esponenti di hurst.
• Un'applet Java per calcolare le dimensioni frattali
• Introduzione all'analisi frattale
• Bowley, Roger (2009). "Dimensione Frattale" . Sessanta simboli . Brady Haran per l' Università di Nottingham .
• "I frattali in genere non sono auto-similari" . 3Blu1Marrone .