Distanza geografica - Geographical distance

Vista dal Giura Svevo alle Alpi

La distanza geografica è la distanza misurata lungo la superficie della terra . Le formule in questo articolo calcolano le distanze tra punti che sono definiti da coordinate geografiche in termini di latitudine e longitudine . Questa distanza è un elemento nella risoluzione del secondo problema geodetico (inverso) .

introduzione

Il calcolo della distanza tra le coordinate geografiche si basa su un certo livello di astrazione; non fornisce una distanza esatta , irraggiungibile se si cerca di rendere conto di ogni irregolarità della superficie terrestre. Astrazioni comuni per la superficie tra due punti geografici sono:

  • Superficie piana;
  • Superficie sferica;
  • Superficie ellissoidale.

Tutte le astrazioni sopra ignorano i cambiamenti di elevazione. Il calcolo delle distanze che tengono conto dei cambiamenti di elevazione rispetto alla superficie idealizzata non sono discussi in questo articolo.

Nomenclatura

La distanza, è calcolata tra due punti, e . Le coordinate geografiche dei due punti, come coppie (latitudine, longitudine), sono e rispettivamente. Quale dei due punti è designato come non è importante per il calcolo della distanza.

Le coordinate di latitudine e longitudine sulle mappe sono generalmente espresse in gradi . Nelle forme date delle formule sottostanti, uno o più valori devono essere espressi nelle unità specificate per ottenere il risultato corretto. Laddove le coordinate geografiche siano utilizzate come argomento di una funzione trigonometrica, i valori possono essere espressi in qualsiasi unità angolare compatibile con il metodo utilizzato per determinare il valore della funzione trigonometrica. Molti calcolatori elettronici consentono il calcolo delle funzioni trigonometriche sia in gradi che in radianti . La modalità calcolatrice deve essere compatibile con le unità utilizzate per le coordinate geometriche.

Le differenze di latitudine e longitudine sono etichettate e calcolate come segue:

Non è importante se il risultato è positivo o negativo quando viene utilizzato nelle formule seguenti.

La "latitudine media" è etichettata e calcolata come segue:

La colatitudine è etichettata e calcolata come segue:

Per le latitudini espresse in radianti:
Per le latitudini espresse in gradi:

Se non diversamente specificato, il raggio della terra per i calcoli seguenti è:

= 6,371.009 chilometri = 3,958.761 miglia statutarie = 3,440,069 miglia nautiche .

= Distanza tra i due punti, misurata lungo la superficie terrestre e nelle stesse unità del valore utilizzato per il raggio se non diversamente specificato.

Singolarità e discontinuità di latitudine/longitudine

La longitudine ha singolarità ai Poli (la longitudine è indefinita) e una discontinuità al meridiano ± 180° . Inoltre, le proiezioni planari dei cerchi di latitudine costante sono molto curve vicino ai poli. Quindi, le equazioni di cui sopra per latitudine/longitudine delta ( , ) e latitudine media ( ) potrebbero non fornire la risposta prevista per le posizioni vicino ai poli o al meridiano ±180°. Si consideri ad esempio il valore di ("spostamento est") quando e si trovano su entrambi i lati del meridiano ±180°, o il valore di ("latitudine media") per le due posizioni ( =89°, =45°) e ( = 89°, =−135°).

Se un calcolo basato su latitudine/longitudine dovesse essere valido per tutte le posizioni della Terra, occorre verificare che la discontinuità e i Poli siano gestiti correttamente. Un'altra soluzione è usare n -vector invece di latitudine/longitudine, poiché questa rappresentazione non ha discontinuità o singolarità.

Formule a superficie piana

Un'approssimazione planare per la superficie terrestre può essere utile su piccole distanze. L'accuratezza dei calcoli della distanza utilizzando questa approssimazione diventa sempre più imprecisa in quanto:

  • La separazione tra i punti diventa maggiore;
  • Un punto si avvicina a un polo geografico.

La distanza più breve tra due punti nel piano è una linea retta. Il teorema di Pitagora viene utilizzato per calcolare la distanza tra i punti in un piano.

Anche su brevi distanze, l'accuratezza dei calcoli della distanza geografica che presuppongono una Terra piatta dipende dal metodo con cui le coordinate di latitudine e longitudine sono state proiettate sul piano. La proiezione delle coordinate di latitudine e longitudine su un piano è il regno della cartografia .

Le formule presentate in questa sezione forniscono diversi gradi di accuratezza.

Terra sferica proiettata su un piano

Questa formula tiene conto della variazione di distanza tra i meridiani con la latitudine:

dove:
e sono in radianti;
devono essere in unità compatibili con il metodo utilizzato per determinare
Per convertire latitudine o longitudine in radianti utilizzare

Questa approssimazione è molto veloce e produce risultati abbastanza accurati per piccole distanze. Inoltre, quando si ordinano le posizioni per distanza, come in una query di database, è più veloce ordinare per distanza al quadrato, eliminando la necessità di calcolare la radice quadrata.

Terra ellissoidale proiettata su un piano

La FCC prescrive le seguenti formule per distanze non superiori a 475 chilometri (295 mi):

dove
= Distanza in chilometri;
e sono in gradi;
devono essere in unità compatibili con il metodo utilizzato per determinare
Dove e sono in unità di chilometri per grado. Può essere interessante notare che:
= chilometri per grado di differenza di latitudine;
= chilometri per grado di differenza di longitudine;
dove e è la m eridional e la sua perpendicolare, o " n ormal ", raggi di curvatura (espressioni nella formula FCC sono derivati dalla serie binomio forma di espansione e , insieme alla Clarke 1866 ellissoide di riferimento ).

Per un'implementazione più efficiente dal punto di vista computazionale della formula sopra, più applicazioni del coseno possono essere sostituite con una singola applicazione e l'uso della relazione di ricorrenza per i polinomi di Chebyshev .

Formula di coordinate polari-Terra piatta

dove i valori di coltitudine sono in radianti. Per una latitudine misurata in gradi, la colatitudine in radianti può essere calcolata come segue:

Formule a superficie sferica

Se si è disposti ad accettare un possibile errore dello 0,5%, si possono usare formule di trigonometria sferica sulla sfera che meglio si avvicina alla superficie della terra.

La distanza più breve lungo la superficie di una sfera tra due punti sulla superficie è lungo il grande cerchio che contiene i due punti.

L' articolo della distanza grande cerchio fornisce la formula per calcolare la distanza lungo un cerchio grande su una sfera delle dimensioni della Terra. Quell'articolo include un esempio del calcolo.

Distanza del tunnel

Un tunnel tra i punti sulla Terra è definito da una linea che attraversa lo spazio tridimensionale tra i punti di interesse. La lunghezza della corda del cerchio massimo può essere calcolata come segue per la sfera unitaria corrispondente:

La distanza del tunnel tra i punti sulla superficie di una Terra sferica è . Per brevi distanze ( ), questo sottovaluta la distanza del cerchio massimo di .

Formule di superficie ellissoidale

Geodetica su un ellissoide oblato

Un ellissoide si avvicina alla superficie terrestre molto meglio di una sfera o di una superficie piana. La distanza più breve lungo la superficie di un ellissoide tra due punti sulla superficie è lungo la geodetica . Le geodetiche seguono percorsi più complicati dei cerchi massimi e, in particolare, di solito non tornano alle loro posizioni di partenza dopo un giro della terra. Ciò è illustrato nella figura a destra, dove f è considerato 1/50 per accentuare l'effetto. Trovare la geodetica tra due punti sulla terra, il cosiddetto problema geodetico inverso , è stato al centro di molti matematici e geodeti nel corso del XVIII e XIX secolo con importanti contributi di Clairaut , Legendre , Bessel e Helmert . Rapp fornisce un buon riassunto di questo lavoro.

I metodi per calcolare la distanza geodetica sono ampiamente disponibili nei sistemi informativi geografici , nelle librerie software, nelle utilità autonome e negli strumenti online. L'algoritmo più utilizzato è quello di Vincenty , che utilizza una serie accurata al terzo ordine nell'appiattimento dell'ellissoide, cioè circa 0,5 mm; tuttavia, l'algoritmo non riesce a convergere per punti che sono quasi agli antipodi . (Per i dettagli, vedere le formule di Vincenty .) Questo difetto viene corretto nell'algoritmo fornito da Karney, che impiega serie accurate al sesto ordine nell'appiattimento. Ciò si traduce in un algoritmo che è accurato fino alla doppia precisione e che converge per coppie arbitrarie di punti sulla terra. Questo algoritmo è implementato in GeographicLib.

I metodi esatti di cui sopra sono fattibili quando si eseguono calcoli su un computer. Hanno lo scopo di fornire una precisione millimetrica su linee di qualsiasi lunghezza; si possono usare formule più semplici se non si ha bisogno di precisione millimetrica, o se si ha bisogno di precisione millimetrica ma la linea è corta. Rap, cap. 6, descrive il metodo Puissant , il metodo Gauss alle medie latitudini e il metodo Bowring.

La formula di Lambert per le lunghe file

Le formule di Lambert forniscono una precisione dell'ordine di 10 metri su migliaia di chilometri. Convertire prima le latitudini , dei due punti in latitudini ridotte ,

dov'è l' appiattimento . Quindi calcolare l' angolo al centro in radianti tra due punti e su una sfera usando il metodo della distanza del Grande Cerchio ( legge dei coseni o formula di haversine ), con le longitudini ed essendo le stesse sulla sfera come sullo sferoide.

dove è il raggio equatoriale dello sferoide scelto.

Sul GRS 80 la formula sferoide di Lambert è disattivata da

0 Nord 0 Ovest a 40 Nord 120 Ovest, 12,6 metri
0N da 0W a 40N 60W, 6,6 metri
40N da 0W a 40N 60W, 0,85 metri

Metodo di Bowring per le linee corte

Bowring mappa i punti su una sfera di raggio R′ , con latitudine e longitudine rappresentate come φ′ e λ′. Definire

dove la seconda eccentricità al quadrato è

Il raggio sferico è

(La curvatura gaussiana dell'ellissoide a φ 1 è 1/ R′ 2 .) Le coordinate sferiche sono date da

dove , , , . Il problema risultante sulla sfera può essere risolto utilizzando le tecniche per la navigazione del grande cerchio per fornire approssimazioni per la distanza sferoidale e il rilevamento. Formule dettagliate sono fornite da Rapp, §6.5 e Bowring.

Guarda anche

Riferimenti

link esterno