Trasformazione di Helmert - Helmert transformation

La trasformazione da un sistema di riferimento 1 a un sistema di riferimento 2 può essere descritta con tre traslazioni x, Δy, Δz, tre rotazioni Rx, Ry, Rz e un parametro di scala μ.

La trasformazione di Helmert (dal nome di Friedrich Robert Helmert , 1843-1917) è un metodo di trasformazione geometrica all'interno di uno spazio tridimensionale . Viene spesso utilizzato in geodesia per produrre trasformazioni di datum tra datum . La trasformazione di Helmert è anche chiamata trasformazione a sette parametri ed è una trasformazione per similarità .

Definizione

Può essere espresso come:

X_{T}=C+\mu RX\,

dove

$X T$ è il vettore trasformato
$X$ è il vettore iniziale

I parametri sono:

$C$ – vettore di traduzione . Contiene le tre traslazioni lungo gli assi delle coordinate
$μ$ – fattore di scala , che è senza unità; se è espresso in ppm , deve essere diviso per 1.000.000 e sommato a 1.
$R$ – matrice di rotazione . Consiste di tre assi (piccole rotazioni attorno a ciascuno dei tre assi coordinati) $r x$ , $r y$ , $r z$ . La matrice di rotazione è una matrice ortogonale . Gli angoli sono dati in gradi o in radianti .

Variazioni

Un caso speciale è la trasformazione di Helmert bidimensionale. Qui sono necessari solo quattro parametri (due traslazioni, una scalatura, una rotazione). Questi possono essere determinati da due punti noti; se sono disponibili più punti è possibile effettuare dei controlli.

A volte è sufficiente utilizzare la trasformazione a cinque parametri , composta da tre traslazioni, una sola rotazione attorno all'asse Z e un cambio di scala.

Restrizioni

La trasformazione di Helmert utilizza solo un fattore di scala, quindi non è adatta per:

La manipolazione di disegni e fotografie misurati
Il confronto delle deformazioni della carta durante la scansione di vecchie piante e mappe.

In questi casi è preferibile una trasformazione affine più generale .

Applicazione

La trasformazione di Helmert viene utilizzata, tra l'altro, in geodesia per trasformare le coordinate del punto da un sistema di coordinate in un altro. Usandolo, diventa possibile convertire i punti di rilevamento regionali nelle posizioni WGS84 utilizzate dal GPS .

Ad esempio, a partire dalla coordinata Gauss–Krüger , $x$ e $y$ , più l'altezza, $h$ , vengono convertiti in valori 3D in passaggi:

Annulla la proiezione della mappa : calcolo dell'ellissoidale latitudine, longitudine e altezza ( $W$ , $L$ , $H$ )
Conversione da coordinate geodetiche a coordinate geocentriche : Calcolo di $x$ , $y$ e $z$ rispetto al riferimento ellissoide della misurazione
7-parametro trasformazione (dove $x$ , $y$ e $z$ cambiamento quasi uniformemente, a poche centinaia di metri al massimo, e le distanze cambiano pochi mm per km).
Per questo motivo, le posizioni misurate terrestri possono essere confrontate con i dati GPS; questi possono poi essere portati nel rilievo come nuovi punti – trasformati nell'ordine opposto.

Il terzo passaggio consiste nell'applicazione di una matrice di rotazione , moltiplicazione con il fattore di scala (con un valore vicino a 1) e l'aggiunta delle tre traslazioni, $c$ $x$ , $c$ $y$ , $c$ $z$ . $\mu =1+s$

Le coordinate di un sistema di riferimento B sono derivate dal sistema di riferimento A con la seguente formula:

{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\ end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\ \-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}

oppure per ogni singolo parametro della coordinata:

{\begin{allineato}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A) }+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{ A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (-r_ {y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{allineato}}

Per la trasformazione inversa, ogni elemento viene moltiplicato per -1.

I sette parametri sono determinati per ciascuna regione con tre o più "punti identici" di entrambi i sistemi. Per metterli d'accordo, le piccole incongruenze (di solito solo pochi cm) vengono aggiustate con il metodo dei minimi quadrati , cioè eliminate in maniera statisticamente plausibile.

Parametri standard

Nota: gli angoli di rotazione indicati nella tabella sono in secondi d' arco e devono essere convertiti in radianti prima di essere utilizzati nel calcolo.

Regione	Dato di inizio	Dato di destinazione	$c x$ ( metro )	$c y$ (metro)	$c z$ (metro)	$s$ ( ppm )	$r x$ (secondo d' arco )	$r y$ (secondo d' arco )	$r z$ (secondo d' arco )
Slovenia ETRS89	D48	D96	409.545	72.164	486.872	17.919665	−3.085957	−5.469110	11.020289
Inghilterra, Scozia, Galles	WGS84	OSGB36	−446.448	125.157	−542.06	20.4894	−0.1502	-0,247	-0,8421
Irlanda	WGS84	Irlanda 1965	−482,53	130.596	−564.557	−8.15	1.042	0.214	0,631
Germania	WGS84	DHDN	−591.28	−81.35	−396.39	−9,82	1.4770	−0.0736	−1.4580
Germania	WGS84	Bessel 1841	−582	−105	−414	−8.3	−1.04	−0.35	3.08
Germania	WGS84	Krassovski 1940	−24	123	94	−1.1	−0.02	0.26	0.13
Austria (BEV)	WGS84	MGI	−577.326	−90.129	−463.920	−2.423	5.137	1.474	5.297
stati Uniti	WGS84	Clarke 1866	8	−160	−176	0	0	0	0

Si tratta di set di parametri standard per la trasformazione a 7 parametri (o trasformazione dei dati) tra due origini. Per una trasformazione nella direzione opposta, dovrebbero essere calcolati i parametri di trasformazione inversa o dovrebbe essere applicata la trasformazione inversa (come descritto nel documento "Sulle trasformazioni geodetiche"). Il traduzioni $c x$ , $c y$ , $c z$ sono talvolta descritto come $t x$ , $t y$ , $t z$ , o $dx$ , $dy$ , $dz$ . Le rotazioni r _x , r _y e r _z volte sono anche descritti come , e . Nel Regno Unito l'interesse principale è la trasformazione tra il dato OSGB36 utilizzato dal rilievo Ordnance per Grid References sulle sue mappe Landranger ed Explorer all'implementazione WGS84 utilizzata dalla tecnologia GPS. Il sistema di coordinate Gauss-Krüger utilizzato in Germania normalmente si riferisce all'ellissoide di Bessel . Un ulteriore dato di interesse è stato ED50 (European Datum 1950) basato sull'ellissoide di Hayford . ED50 faceva parte dei fondamenti delle coordinate NATO fino agli anni '80 e molti sistemi di coordinate nazionali di Gauss-Krüger sono definiti da ED50. ${\displaystyle\omega}$ $\phi$ $\kappa$

La terra non ha una forma ellissoidale perfetta, ma è descritta come un geoide . Invece, il geoide della terra è descritto da molti ellissoidi. A seconda della posizione effettiva, l'"ellissoide localmente meglio allineato" è stato utilizzato per scopi di rilevamento e mappatura. Il set di parametri standard fornisce una precisione di circa7 m per una trasformazione OSGB36/WGS84. Questo non è abbastanza preciso per il rilevamento e l'Ordnance Survey integra questi risultati utilizzando una tabella di ricerca di ulteriori traduzioni per raggiungerePrecisione di 1 cm .

Stima dei parametri

Se i parametri di trasformazione sono sconosciuti, possono essere calcolati con punti di riferimento (cioè punti le cui coordinate sono note prima e dopo la trasformazione. Poiché devono essere determinati in totale sette parametri (tre traslazioni, una scala, tre rotazioni), devono essere noti almeno due punti e una coordinata di un terzo punto (ad esempio, la coordinata Z. Questo dà un sistema con sette equazioni e sette incognite, che può essere risolto.

In pratica, è meglio usare più punti. Attraverso questa corrispondenza si ottiene una maggiore precisione e diventa possibile una valutazione statistica dei risultati. In questo caso il calcolo viene corretto con il metodo dei minimi quadrati gaussiani .

Un valore numerico per l'accuratezza dei parametri di trasformazione si ottiene calcolando i valori ai punti di riferimento e pesando i risultati relativi al baricentro dei punti.

Sebbene il metodo sia matematicamente rigoroso, dipende interamente dall'accuratezza dei parametri utilizzati. In pratica, questi parametri sono calcolati dall'inclusione di almeno tre punti noti nelle reti. Tuttavia l'accuratezza di questi influenzerà i seguenti parametri di trasformazione, poiché questi punti conterranno errori di osservazione. Pertanto, una trasformazione "reale" sarà solo una stima migliore e dovrebbe contenere una misura statistica della sua qualità.

Guarda anche

Riferimenti

link esterno

http://www.w-volk.de/museum/mathex02.htm
https://www.webcitation.org/query?url=http://www.geocities.com/mapref/savpub/savpub-23.htm%23item40&date=2009-10-26+02:12:14 (Geometria per scambio di dati)
http://www.mapref.org/
Trasformazioni flessibili 3D BestFit di TrafoStar con: 3 traslazioni, 3 rotazioni, 3 scale, 3 parametri affini
Calcolare le trasformazioni di Helmert

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