Spazio iperbolico - Hyperbolic space

Una proiezione prospettica di una tassellatura dodecaedrica in H ³ .
Quattro dodecaedri si incontrano a ciascun bordo e otto si incontrano a ciascun vertice, come i cubi di una tassellatura cubica in E ³

In matematica , uno spazio iperbolico è uno spazio omogeneo che ha una costante negativo curvatura , dove in questo caso la curvatura è la curvatura sezionale. È la geometria iperbolica in più di 2 dimensioni e si distingue dagli spazi euclidei con curvatura zero che definiscono la geometria euclidea e dagli spazi ellittici che hanno una curvatura positiva costante.

Quando è incorporato in uno spazio euclideo (di dimensione superiore), ogni punto di uno spazio iperbolico è un punto di sella . Un'altra proprietà distintiva è la quantità di spazio coperto dalla n -ball in iperbolico n -space: aumenta esponenzialmente rispetto al raggio della sfera per grandi raggi, anziché polinomiale .

Definizione formale

Lo spazio n iperbolico , indicato con H ⁿ , è la varietà Riemanniana di dimensione n massimamente simmetrica, semplicemente connessa , con una curvatura sezionale negativa costante . Lo spazio iperbolico è uno spazio che mostra una geometria iperbolica . È l'analogo della curvatura negativa della n- sfera . Sebbene lo spazio iperbolico H ⁿ sia diffeomorfo a R ⁿ , la sua metrica a curvatura negativa gli conferisce proprietà geometriche molto diverse.

Il 2-spazio iperbolico, H ² , è anche chiamato piano iperbolico .

Modelli di spazio iperbolico

Lo spazio iperbolico, sviluppato indipendentemente da Nikolai Lobachevsky e János Bolyai , è uno spazio geometrico analogo allo spazio euclideo , ma tale che il postulato parallelo di Euclide non è più ritenuto valido. Invece, il postulato parallelo è sostituito dalla seguente alternativa (in due dimensioni):

• Data una qualsiasi retta L e un punto P non su L , esistono almeno due rette distinte passanti per P che non intersecano L .

È quindi un teorema che ci siano infinite tali linee attraverso P . Questo assioma non caratterizza ancora in modo univoco il piano iperbolico fino all'isometria ; c'è un'ulteriore costante, la curvatura K < 0 , che deve essere specificata. Tuttavia, lo caratterizza in modo univoco fino all'omoteità , cioè fino alle biiezioni che cambiano solo la nozione di distanza di una costante complessiva. Scegliendo un'opportuna scala di lunghezze si può quindi assumere, senza perdita di generalità, che K = −1 .

Possono essere costruiti modelli di spazi iperbolici che possono essere incorporati in uno spazio piatto (es. euclideo). In particolare, l'esistenza di spazi modello implica che il postulato delle parallele sia logicamente indipendente dagli altri assiomi della geometria euclidea.

Esistono diversi modelli importanti di spazio iperbolico: il modello di Klein , il modello iperboloide , il modello a sfera di Poincaré e il modello a semispazio di Poincaré . Tutti questi modelli modellano la stessa geometria, nel senso che due di essi possono essere messi in relazione mediante una trasformazione che conserva tutte le proprietà geometriche dello spazio, inclusa l' isometria (sebbene non rispetto alla metrica di un'immersione euclidea).

Modello iperboloide

Il modello iperboloide realizza lo spazio iperbolico come un iperboloide in R ^{n +1} = {( x ₀ ,..., x _n )| x _i ∈ R ,  i =0,1,..., n }. L'iperboloide è il luogo H ⁿ di punti le cui coordinate soddisfano

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.}$

In questo modello una linea (o geodetica ) è la curva formata dall'intersezione di H ⁿ con un piano passante per l'origine in R ^{n +1} .

Il modello iperboloide è strettamente correlato alla geometria dello spazio di Minkowski . La forma quadratica

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},}$

che definisce l'iperboloide, polarizza per dare la forma bilineare

${\displaystyle B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.}$

Lo spazio R ^{n +1} , dotato della forma bilineare B , è uno spazio di Minkowski R ^{n ,1 a} dimensione ( n +1) .

Si può associare una distanza sul modello iperboloide definendo la distanza tra due punti x e y su H ⁿ essere

${\displaystyle d(x,y)=\nomeoperatore {arcosh} B(x,y).}$

Questa funzione soddisfa gli assiomi di uno spazio metrico . È preservato dall'azione del gruppo di Lorentz su R ^{n ,1} . Quindi il gruppo di Lorentz agisce come un gruppo di trasformazione preservando l' isometria su H ⁿ .

Modello di Klein

Un modello alternativo di geometria iperbolica è su un certo dominio nello spazio proiettivo . La forma quadratica Q di Minkowski definisce un sottoinsieme U ⁿ ⊂ RP ⁿ dato come luogo dei punti per i quali Q ( x ) > 0 nelle coordinate omogenee x . Il dominio U ⁿ è il modello di Klein dello spazio iperbolico.

Le linee di questo modello sono i segmenti di linea aperti dello spazio proiettivo ambientale che giacciono in U ⁿ . La distanza tra due punti x e y in U ⁿ è definita da

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}\right).}$

Questo è ben definito sullo spazio proiettivo, poiché il rapporto sotto il coseno iperbolico inverso è omogeneo di grado 0.

Questo modello è correlato al modello iperboloide come segue. Ogni punto x ∈ U ⁿ corrisponde ad una retta L _x passante per l'origine in R ^{n +1} , per definizione di spazio proiettivo. Questa linea interseca l'iperboloide H ⁿ in un unico punto. Viceversa, per qualsiasi punto su H ⁿ , passa un'unica linea per l'origine (che è un punto nello spazio proiettivo). Questa corrispondenza definisce una biiezione tra U ⁿ e H ⁿ . È un'isometria, poiché valutando d ( x , y ) lungo Q ( x ) = Q ( y ) = 1 riproduce la definizione della distanza data per il modello iperboloide.

Modello palla Poincaré

Una coppia strettamente correlata di modelli di geometria iperbolica sono la palla di Poincaré e i modelli del semispazio di Poincaré.

Il modello a sfera deriva da una proiezione stereografica dell'iperboloide in R ^{n +1} sull'iperpiano { x ₀ = 0}. In dettaglio, sia S il punto in R ^{n +1} con coordinate (−1,0,0,...,0): il polo Sud per la proiezione stereografica. Per ogni punto P dell'iperboloide H ⁿ , sia P ^∗ l'unico punto di intersezione della retta SP con il piano { x ₀ = 0}.

Questo stabilisce una mappatura biunivoca di H ⁿ nella sfera unitaria

${\displaystyle B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\} }$

nel piano { x ₀ = 0}.

Le geodetiche in questo modello sono semicerchi perpendicolari alla sfera di confine di B ⁿ . Le isometrie della palla sono generate dall'inversione sferica in ipersfere perpendicolari al confine.

Poincaré modello semispazio

Il modello del semispazio risulta dall'applicazione dell'inversione in un cerchio con al centro un punto di confine del modello a sfera di Poincaré B ⁿ sopra e un raggio doppio del raggio.

Questo invia cerchi a cerchi e linee, ed è inoltre una trasformazione conforme . Di conseguenza, le geodetiche del modello semispaziale sono linee e cerchi perpendicolari all'iperpiano di confine.

Varietà iperboliche

Ogni varietà completa , connessa , semplicemente connessa di curvatura negativa costante −1 è isometrica allo spazio iperbolico reale H ⁿ . Di conseguenza, la copertura universale di qualsiasi varietà chiusa M di curvatura negativa costante −1, vale a dire una varietà iperbolica , è H ⁿ . Quindi, ogni M può essere scritto come H ⁿ /Γ dove è un gruppo discreto di isometrie senza torsione su H ⁿ . Cioè, è un reticolo in SO ⁺ ( n ,1) .

Superfici Riemann

Le superfici iperboliche bidimensionali possono essere comprese anche secondo il linguaggio delle superfici di Riemann . Secondo il teorema di uniformazione , ogni superficie di Riemann è ellittica, parabolica o iperbolica. La maggior parte delle superfici iperboliche ha un gruppo fondamentale non banale π ₁ =Γ; i gruppi che nascono in questo modo sono conosciuti come gruppi fuchsiani . Lo spazio quoziente H ²/Γ del semipiano superiore modulo il gruppo fondamentale è noto come modello fuchsiano della superficie iperbolica. Anche il semipiano di Poincaré è iperbolico, ma è semplicemente connesso e non compatto . È la copertura universale delle altre superfici iperboliche.

La costruzione analoga per le superfici iperboliche tridimensionali è il modello kleiniano .

Guarda anche

• La superficie di Dini
• 3-varietà iperbolica
• Poliedro ideale
• Teorema di rigidità di Mostow
• formula Murakami-Yano
• Pseudosfera

Riferimenti

• A'Campo, Norbert e Papadopoulos, Athanase , (2012) Notes on hyperbolic geometry , in: Strasburgo Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 18, Zurigo: Società matematica europea (EMS), 461 pagine, SBN ISBN  978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171/105.
• Ratcliffe, John G., Fondamenti di varietà iperboliche , New York, Berlino. Springer-Verlag, 1994.
• Reynolds, William F. (1993) "Geometria iperbolica su un iperboloide", American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Wolf, Joseph A. Spazi di curvatura costante , 1967. Vedi pagina 67.
• I diagrammi iperbolici di Voronoi resi facili, Frank Nielsen