Ipercubo - Hypercube

Proiezioni prospettiche
Hexahedron.svg Hypercube.svg
Cubo (3-cubo) Tesseract (4-cubo)

In geometria , un ipercubo è un analogo n -dimensionale di un quadrato ( n = 2 ) e un cubo ( n = 3 ). È una figura chiusa , compatta , convessa il cui 1- scheletro è costituito da gruppi di segmenti di linee parallele opposte allineate in ciascuna delle dimensioni dello spazio , perpendicolari tra loro e della stessa lunghezza. La diagonale più lunga di un ipercubo unitario in n dimensioni è uguale a .

Un ipercubo n- dimensionale è più comunemente indicato come un n- cubo o talvolta come un cubo n- dimensionale . Viene utilizzato anche il termine misura politopo (originario di Elte, 1912), in particolare nel lavoro di HSM Coxeter che etichetta anche gli ipercubi come γ n politopi.

L'ipercubo è il caso speciale di un iperrettangolo (chiamato anche n-ortotopo ).

Un ipercubo unitario è un ipercubo il cui lato ha lunghezza un'unità . Spesso, dell'ipercubo cui vertici (o vertici ) sono i 2 n punti in R n con ciascuna coordinata uguale a 0 o 1 è chiamato l' unità ipercubo.

Costruzione

Un diagramma che mostra come creare un tesseract da un punto.
Un'animazione che mostra come creare un tesseract da un punto.

Un ipercubo può essere definito aumentando il numero di dimensioni di una forma:

0 – Un punto è un ipercubo di dimensione zero.
1 – Se si sposta questo punto di un'unità di lunghezza, si spazzerà via un segmento di linea, che è un ipercubo unitario di dimensione uno.
2 – Se si sposta questa linea segmenta la sua lunghezza in direzione perpendicolare da se stessa; spazza via un quadrato bidimensionale.
3 – Se si sposta il quadrato di una unità di lunghezza nella direzione perpendicolare al piano su cui giace, si genererà un cubo tridimensionale.
4 – Se si sposta il cubo di una unità di lunghezza nella quarta dimensione, si genera un ipercubo di unità a 4 dimensioni (un tesseratto unitario ).

Questo può essere generalizzato a qualsiasi numero di dimensioni. Questo processo di estensione dei volumi può essere formalizzato matematicamente come una somma Minkowski : l' ipercubo d- dimensionale è la somma Minkowski di d segmenti di linea di lunghezza unitaria reciprocamente perpendicolari, ed è quindi un esempio di uno zonotopo .

L'1- scheletro di un ipercubo è un grafo ipercubo .

Coordinate del vertice

Un ipercubo unitario di dimensione è l' inviluppo convesso di tutti i punti le cui coordinate cartesiane sono ciascuna uguale a o . Questo ipercubo è anche il prodotto cartesiano di copie dell'unità intervallo . Un'altra unità ipercubo, centrata all'origine dello spazio ambientale, può essere ottenuta da questo tramite una traslazione . È l'inviluppo convesso dei punti i cui vettori di coordinate cartesiane sono

Qui il simbolo significa che ogni coordinata è uguale o uguale a . Questa unità ipercubo è anche il prodotto cartesiano . Ogni ipercubo unitario ha una lunghezza del bordo e un volume dimensionale di .

L' ipercubo -dimensionale ottenuto come inviluppo convesso dei punti con coordinate o, equivalentemente come prodotto cartesiano, viene spesso considerato anche per la forma più semplice delle sue coordinate di vertice. La sua lunghezza del bordo è , e il suo volume dimensionale è .

Facce

Ogni ipercubo ammette, come sue facce, ipercubi di dimensione inferiore contenuti nel suo confine. Un ipercubo di dimensione ammette sfaccettature, o facce di dimensione : un segmento di linea ( -dimensionale) ha estremi; un quadrato ( -dimensionale) ha lati o bordi; un cubo tridimensionale ha facce quadrate; un tesseract ( -dimensionale) ha un cubo tridimensionale come sfaccettature. Il numero di vertici di un ipercubo di dimensione è (un solito cubo -dimensionale ha vertici, per esempio).

Il numero degli ipercubi -dimensionali ( da qui in poi denominati -cubi) contenuti nel confine di un -cubo è

, dove e denota il fattoriale di .

Ad esempio, il confine di un -cube ( ) contiene cubi ( -cubes), quadrati ( -cubes), segmenti di linea ( -cubes) e vertici ( -cubes). Questa identità può essere dimostrata da un semplice argomento combinatorio: per ciascuno dei vertici dell'ipercubo, ci sono modi per scegliere un insieme di archi incidenti a quel vertice. Ognuna di queste raccolte definisce una delle facce -dimensionali incidente al vertice considerato. Facendo questo per tutti i vertici dell'ipercubo, ciascuna delle facce -dimensionali dell'ipercubo viene contata volte poiché ha così tanti vertici e dobbiamo dividere per questo numero.

Il numero di sfaccettature dell'ipercubo può essere utilizzato per calcolare il volume -dimensionale del suo confine: quel volume è moltiplicato per il volume di un ipercubo -dimensionale; cioè, dove è la lunghezza dei bordi dell'ipercubo.

Questi numeri possono anche essere generati dalla relazione di ricorrenza lineare

, con , e quando , , o .

Ad esempio, l'estensione di un quadrato attraverso i suoi 4 vertici aggiunge un segmento di linea extra (bordo) per vertice. L'aggiunta del quadrato opposto per formare un cubo fornisce segmenti di linea.

Numero di facce -dimensionale di un ipercubo dimensionale (sequenza A038207 in OEIS )
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n n- cubo nomi Schläfli
Coxeter
Vertice
0-faccia
Bordo
1-faccia
Faccia a
2 facce
Cella
3-faccia

4 facce

5 facce

6 facce

7 facce

8 facce

9 facce

10-faccia
0 0-cubo Punto
Monon
( )
CDel node.png
1
1 1-cubo Segmento di linea
Dion
{}
CDel nodo 1.png
2 1
2 2-cubo Tetragon quadrato

{4}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 4 1
3 3-cubo Esaedro cubo

{4,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 12 6 1
4 4-cubo Tesseract
Octachoron
{4,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16 32 24 8 1
5 5-cubo Penterac
Deca-5-tope
{4,3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32 80 80 40 10 1
6 6-cubo Eseratto
Dodeca-6-tope
{4,3,3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 192 240 160 60 12 1
7 7-cubo Hepteract Tetradeca
-7-tope
{4,3,3,3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
128 448 672 560 280 84 14 1
8 8-cubo Octeract
Hexadeca-8-tope
{4,3,3,3,3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 9-cubo Enneract
Octadeca-9-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 10-cubo Dekeract
Icosa-10-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

Grafici

Un n- cubo può essere proiettato all'interno di un poligono regolare 2 n- gonale da una proiezione ortogonale obliqua , mostrata qui dal segmento di linea al 15-cubo.

Poligono di Petrie Proiezioni ortografiche
0 punti t0.svg
Punto
1-simplex t0.svg
Segmento
2-cubo.svg
Quadrato
Grafico a 3 cubi.svg
Cubo
Grafico a 4 cubi.svg
Tesseract
Grafico a 5 cubi.svg
5-cubo
Grafico a 6 cubi.svg
6-cubo
7-cube graph.svg
7-cubo
8-cube.svg
8-cubo
9-cube.svg
9-cubo
10-cube.svg
10-cubo
11-cubo.svg
11-cubo
12-cubo.svg
12 cubi
13-cubo.svg
13-cubo
14-cubo.svg
14-cubo
15-cubo.svg
15-cubo
16-cubo t0 A15.svg
16 cubi
Proiezione di un tesseract rotante .

Famiglie correlate di politopi

Gli ipercubi sono una delle poche famiglie di politopi regolari rappresentati in un numero qualsiasi di dimensioni.

La famiglia degli ipercubi (offset) è una delle tre famiglie regolari di politopi , etichettata da Coxeter come γ n . Gli altri due sono la famiglia duale degli ipercubi, i politopi incrociati , etichettati come β n, ei simplessi , etichettati come α n . Una quarta famiglia, le infinite tassellazioni degli ipercubi , etichettò come δ n .

Un'altra famiglia correlata di politopi semiregolari e uniformi sono i demiipercubi , che sono costruiti da ipercubi con vertici alternati cancellati e sfaccettature simplex aggiunte negli spazi vuoti, etichettati come n .

Gli n- cubi possono essere combinati con i loro duali (i politopi incrociati ) per formare politopi composti:

Relazione con ( n −1)-semplici

Il grafico della n bordi del -hypercube è isomorfo al diagramma di Hasse del ( n -1) - simplex 's faccia reticolo . Questo può essere visto orientando l' n -ipercubo in modo che due vertici opposti giacciano verticalmente, corrispondenti rispettivamente al ( n −1)-simplex stesso e al politopo nullo. Ogni vertice connesso al vertice superiore viene quindi mappato in modo univoco su una delle facce ( n −1) del simplesso ( n −2 facce), e ogni vertice connesso a quei vertici viene mappato su una delle n −3 facce del simplesso , e così via e i vertici collegati alla mappa dei vertici inferiori ai vertici del simplesso.

Questa relazione può essere utilizzata per generare il reticolo di facce di un ( n −1)-simplex in modo efficiente, poiché gli algoritmi di enumerazione del reticolo di facce applicabili ai politopi generali sono più costosi dal punto di vista computazionale.

Ipercubi generalizzati

I politopi complessi regolari possono essere definiti nello spazio di Hilbert complesso chiamato ipercubi generalizzati , γp
n
= p {4} 2 {3}... 2 {3} 2 , oCDel pnode 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Esistono soluzioni reali con p = 2, cioè γ2
n
= γ n = 2 {4} 2 {3}... 2 {3} 2 = {4,3,..,3}. Per p > 2, esistono in . Le sfaccettature sono generalizzate (
n −1)-cubo e la figura del vertice sono simplessi regolari .

Il perimetro del poligono regolare visto in queste proiezioni ortogonali è chiamato poligono di petrie . I quadrati generalizzati ( n = 2) sono mostrati con i bordi delineati in rosso e blu che alternano p -edge di colore , mentre gli n -cube più alti sono disegnati con p -edge profilati in nero .

Il numero di elementi m -faccia in un n -cubo p -generalizzato è: . Questo è p n vertici e pn sfaccettature.

Ipercubi generalizzati
p = 2 p = 3 p =4 p = 5 p =6 p =7 p = 8
2-generalized-2-cube.svg
?2
2
= {4} =CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 vertici
3-generalized-2-cube skew.svg
?3
2
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
9 vertici
4-generalized-2-cube.svg
?4
2
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
16 vertici
5-generalized-2-cube skew.svg
?5
2
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
25 vertici
6-generalized-2-cube.svg
?6
2
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
36 vertici
7-generalized-2-cube skew.svg
?7
2
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
49 vertici
8-generalized-2-cube.svg
?8
2
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
64 vertici
2-generalizzato-3-cubo.svg
?2
3
= {4,3} =CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 vertici
3-generalizzato-3-cubo.svg
?3
3
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
27 vertici
4-generalizzato-3-cubo.svg
?4
3
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 vertici
5-generalized-3-cube.svg
?5
3
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
125 vertici
6-generalizzato-3-cubo.svg
?6
3
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
216 vertici
7-generalized-3-cube.svg
?7
3
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
343 vertici
8-generalizzato-3-cubo.svg
?8
3
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
512 vertici
2-generalizzato-4-cubo.svg
?2
4
= {4,3,3}
=CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16 vertici
3-generalized-4-cube.svg
?3
4
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
81 vertici
4-generalized-4-cube.svg
?4
4
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 vertici
5-generalized-4-cube.svg
?5
4
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
625 vertici
6-generalizzato-4-cubo.svg
?6
4
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1296 vertici
7-generalized-4-cube.svg
?7
4
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2401 vertici
8-generalized-4-cube.svg
?8
4
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4096 vertici
2-generalized-5-cube.svg
?2
5
= {4,3,3,3}
=CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32 vertici
3-generalized-5-cube.svg
?3
5
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
243 vertici
4-generalized-5-cube.svg
?4
5
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1024 vertici
5-generalized-5-cube.svg
?5
5
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3125 vertici
6-generalized-5-cube.svg
?6
5
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7776 vertici
?7
5
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16.807 vertici
?8
5
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32.768 vertici
2-generalizzato-6-cubo.svg
?2
6
= {4,3,3,3,3}
=CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 vertici
3-generalizzato-6-cubo.svg
?3
6
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
729 vertici
4-generalized-6-cube.svg
?4
6
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4096 vertici
5-generalized-6-cube.svg
?5
6
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
15.625 vertici
?6
6
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
46.656 vertici
?7
6
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
117.649 vertici
?8
6
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
262.144 vertici
2-generalizzato-7-cube.svg
?2
7
= {4,3,3,3,3,3}
=CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
128 vertici
3-generalized-7-cube.svg
?3
7
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2187 vertici
?4
7
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16.384 vertici
?5
7
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
78,125 vertici
?6
7
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
279.936 vertici
?7
7
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
823.543 vertici
?8
7
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2.097.152 vertici
2-generalizzato-8-cubo.svg
?2
8
= {4,3,3,3,3,3,3}
=CDel nodo 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 vertici
3-generalizzato-8-cubo.svg
?3
8
= CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6561 vertici
?4
8
= CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
65.536 vertici
?5
8
= CDel 5node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
390.625 vertici
?6
8
= CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1.679.616 vertici
?7
8
= CDel 7node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5.764.801 vertici
?8
8
= CDel 8node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16.777.216 vertici

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

link esterno

Famiglia un n B n I 2 (p) / D n MI 6 / MI 7 / MI 8 / FA 4 / SOL 2 H n
Poligono regolare Triangolo Quadrato p-gon Esagono Pentagono
Poliedro uniforme tetraedro OttaedroCubo Demicube DodecaedroIcosaedro
Policoron uniforme Pentachoron 16 celleTesseract Demitesseract 24 celle 120 celle600 celle
5-politopo uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cubo 5-semicubo
6 politopi uniformi 6-simplex 6-ortoplex6-cubo 6 semicubi 1 222 21
7-politopo uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cubo 7-demicube 1 322 313 21
8 politopi uniformi 8-simplex 8-ortoplex8-cubo 8-demicube 1 422 414 21
9 politopi uniformi 9-simplex 9-ortoplex9-cubo 9-demicube
Uniforme 10-politopo 10-simplex 10-ortoplex10-cubo 10 cubi
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplexn - cubo n - demicubo 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonale
Argomenti: famiglie politopopolitopo regolareLista delle politopi regolari e composti