Ipercubo - Hypercube
Cubo (3-cubo) | Tesseract (4-cubo) |
---|
In geometria , un ipercubo è un analogo n -dimensionale di un quadrato ( n = 2 ) e un cubo ( n = 3 ). È una figura chiusa , compatta , convessa il cui 1- scheletro è costituito da gruppi di segmenti di linee parallele opposte allineate in ciascuna delle dimensioni dello spazio , perpendicolari tra loro e della stessa lunghezza. La diagonale più lunga di un ipercubo unitario in n dimensioni è uguale a .
Un ipercubo n- dimensionale è più comunemente indicato come un n- cubo o talvolta come un cubo n- dimensionale . Viene utilizzato anche il termine misura politopo (originario di Elte, 1912), in particolare nel lavoro di HSM Coxeter che etichetta anche gli ipercubi come γ n politopi.
L'ipercubo è il caso speciale di un iperrettangolo (chiamato anche n-ortotopo ).
Un ipercubo unitario è un ipercubo il cui lato ha lunghezza un'unità . Spesso, dell'ipercubo cui vertici (o vertici ) sono i 2 n punti in R n con ciascuna coordinata uguale a 0 o 1 è chiamato l' unità ipercubo.
Costruzione
Un ipercubo può essere definito aumentando il numero di dimensioni di una forma:
- 0 – Un punto è un ipercubo di dimensione zero.
- 1 – Se si sposta questo punto di un'unità di lunghezza, si spazzerà via un segmento di linea, che è un ipercubo unitario di dimensione uno.
- 2 – Se si sposta questa linea segmenta la sua lunghezza in direzione perpendicolare da se stessa; spazza via un quadrato bidimensionale.
- 3 – Se si sposta il quadrato di una unità di lunghezza nella direzione perpendicolare al piano su cui giace, si genererà un cubo tridimensionale.
- 4 – Se si sposta il cubo di una unità di lunghezza nella quarta dimensione, si genera un ipercubo di unità a 4 dimensioni (un tesseratto unitario ).
Questo può essere generalizzato a qualsiasi numero di dimensioni. Questo processo di estensione dei volumi può essere formalizzato matematicamente come una somma Minkowski : l' ipercubo d- dimensionale è la somma Minkowski di d segmenti di linea di lunghezza unitaria reciprocamente perpendicolari, ed è quindi un esempio di uno zonotopo .
L'1- scheletro di un ipercubo è un grafo ipercubo .
Coordinate del vertice
Un ipercubo unitario di dimensione è l' inviluppo convesso di tutti i punti le cui coordinate cartesiane sono ciascuna uguale a o . Questo ipercubo è anche il prodotto cartesiano di copie dell'unità intervallo . Un'altra unità ipercubo, centrata all'origine dello spazio ambientale, può essere ottenuta da questo tramite una traslazione . È l'inviluppo convesso dei punti i cui vettori di coordinate cartesiane sono
Qui il simbolo significa che ogni coordinata è uguale o uguale a . Questa unità ipercubo è anche il prodotto cartesiano . Ogni ipercubo unitario ha una lunghezza del bordo e un volume dimensionale di .
L' ipercubo -dimensionale ottenuto come inviluppo convesso dei punti con coordinate o, equivalentemente come prodotto cartesiano, viene spesso considerato anche per la forma più semplice delle sue coordinate di vertice. La sua lunghezza del bordo è , e il suo volume dimensionale è .
Facce
Ogni ipercubo ammette, come sue facce, ipercubi di dimensione inferiore contenuti nel suo confine. Un ipercubo di dimensione ammette sfaccettature, o facce di dimensione : un segmento di linea ( -dimensionale) ha estremi; un quadrato ( -dimensionale) ha lati o bordi; un cubo tridimensionale ha facce quadrate; un tesseract ( -dimensionale) ha un cubo tridimensionale come sfaccettature. Il numero di vertici di un ipercubo di dimensione è (un solito cubo -dimensionale ha vertici, per esempio).
Il numero degli ipercubi -dimensionali ( da qui in poi denominati -cubi) contenuti nel confine di un -cubo è
- , dove e denota il fattoriale di .
Ad esempio, il confine di un -cube ( ) contiene cubi ( -cubes), quadrati ( -cubes), segmenti di linea ( -cubes) e vertici ( -cubes). Questa identità può essere dimostrata da un semplice argomento combinatorio: per ciascuno dei vertici dell'ipercubo, ci sono modi per scegliere un insieme di archi incidenti a quel vertice. Ognuna di queste raccolte definisce una delle facce -dimensionali incidente al vertice considerato. Facendo questo per tutti i vertici dell'ipercubo, ciascuna delle facce -dimensionali dell'ipercubo viene contata volte poiché ha così tanti vertici e dobbiamo dividere per questo numero.
Il numero di sfaccettature dell'ipercubo può essere utilizzato per calcolare il volume -dimensionale del suo confine: quel volume è moltiplicato per il volume di un ipercubo -dimensionale; cioè, dove è la lunghezza dei bordi dell'ipercubo.
Questi numeri possono anche essere generati dalla relazione di ricorrenza lineare
- , con , e quando , , o .
Ad esempio, l'estensione di un quadrato attraverso i suoi 4 vertici aggiunge un segmento di linea extra (bordo) per vertice. L'aggiunta del quadrato opposto per formare un cubo fornisce segmenti di linea.
m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n | n- cubo | nomi |
Schläfli Coxeter |
Vertice 0-faccia |
Bordo 1-faccia |
Faccia a 2 facce |
Cella 3-faccia |
4 facce |
5 facce |
6 facce |
7 facce |
8 facce |
9 facce |
10-faccia |
0 | 0-cubo | Punto Monon |
( ) |
1 | ||||||||||
1 | 1-cubo |
Segmento di linea Dion |
{} |
2 | 1 | |||||||||
2 | 2-cubo |
Tetragon quadrato |
{4} |
4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | 3-cubo |
Esaedro cubo |
{4,3} |
8 | 12 | 6 | 1 | |||||||
4 | 4-cubo |
Tesseract Octachoron |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||||
5 | 5-cubo | Penterac Deca-5-tope |
{4,3,3,3} |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||||
6 | 6-cubo | Eseratto Dodeca-6-tope |
{4,3,3,3,3} |
64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||||
7 | 7-cubo | Hepteract Tetradeca -7-tope |
{4,3,3,3,3,3} |
128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |||
8 | 8-cubo | Octeract Hexadeca-8-tope |
{4,3,3,3,3,3,3} |
256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | ||
9 | 9-cubo | Enneract Octadeca-9-tope |
{4,3,3,3,3,3,3,3} |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 1 | |
10 | 10-cubo | Dekeract Icosa-10-tope |
{4,3,3,3,3,3,3,3,3} |
1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 1 |
Grafici
Un n- cubo può essere proiettato all'interno di un poligono regolare 2 n- gonale da una proiezione ortogonale obliqua , mostrata qui dal segmento di linea al 15-cubo.
Punto |
Segmento |
Quadrato |
Cubo |
Tesseract |
---|---|---|---|---|
5-cubo |
6-cubo |
7-cubo |
8-cubo |
|
9-cubo |
10-cubo |
11-cubo |
12 cubi |
|
13-cubo |
14-cubo |
15-cubo |
16 cubi |
Famiglie correlate di politopi
Gli ipercubi sono una delle poche famiglie di politopi regolari rappresentati in un numero qualsiasi di dimensioni.
La famiglia degli ipercubi (offset) è una delle tre famiglie regolari di politopi , etichettata da Coxeter come γ n . Gli altri due sono la famiglia duale degli ipercubi, i politopi incrociati , etichettati come β n, ei simplessi , etichettati come α n . Una quarta famiglia, le infinite tassellazioni degli ipercubi , etichettò come δ n .
Un'altra famiglia correlata di politopi semiregolari e uniformi sono i demiipercubi , che sono costruiti da ipercubi con vertici alternati cancellati e sfaccettature simplex aggiunte negli spazi vuoti, etichettati come hγ n .
Gli n- cubi possono essere combinati con i loro duali (i politopi incrociati ) per formare politopi composti:
- In due dimensioni, otteniamo la figura stellare ottagrammica {8/2},
- In tre dimensioni si ottiene il composto di cubo e ottaedro ,
- In quattro dimensioni otteniamo il composto di tesseract e 16-cell .
Relazione con ( n −1)-semplici
Il grafico della n bordi del -hypercube è isomorfo al diagramma di Hasse del ( n -1) - simplex 's faccia reticolo . Questo può essere visto orientando l' n -ipercubo in modo che due vertici opposti giacciano verticalmente, corrispondenti rispettivamente al ( n −1)-simplex stesso e al politopo nullo. Ogni vertice connesso al vertice superiore viene quindi mappato in modo univoco su una delle facce ( n −1) del simplesso ( n −2 facce), e ogni vertice connesso a quei vertici viene mappato su una delle n −3 facce del simplesso , e così via e i vertici collegati alla mappa dei vertici inferiori ai vertici del simplesso.
Questa relazione può essere utilizzata per generare il reticolo di facce di un ( n −1)-simplex in modo efficiente, poiché gli algoritmi di enumerazione del reticolo di facce applicabili ai politopi generali sono più costosi dal punto di vista computazionale.
Ipercubi generalizzati
I politopi complessi regolari possono essere definiti nello spazio di Hilbert complesso chiamato ipercubi generalizzati , γp
n= p {4} 2 {3}... 2 {3} 2 , o... Esistono soluzioni reali con p = 2, cioè γ2
n= γ n = 2 {4} 2 {3}... 2 {3} 2 = {4,3,..,3}. Per p > 2, esistono in . Le sfaccettature sono generalizzate ( n −1)-cubo e la figura del vertice sono simplessi regolari .
Il perimetro del poligono regolare visto in queste proiezioni ortogonali è chiamato poligono di petrie . I quadrati generalizzati ( n = 2) sono mostrati con i bordi delineati in rosso e blu che alternano p -edge di colore , mentre gli n -cube più alti sono disegnati con p -edge profilati in nero .
Il numero di elementi m -faccia in un n -cubo p -generalizzato è: . Questo è p n vertici e pn sfaccettature.
p = 2 | p = 3 | p =4 | p = 5 | p =6 | p =7 | p = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
?2 2= {4} = 4 vertici |
?3 2 = 9 vertici |
?4 2 = 16 vertici |
?5 2 = 25 vertici |
?6 2 = 36 vertici |
?7 2 = 49 vertici |
?8 2 = 64 vertici |
||
?2 3= {4,3} = 8 vertici |
?3 3 = 27 vertici |
?4 3 = 64 vertici |
?5 3 = 125 vertici |
?6 3 = 216 vertici |
?7 3 = 343 vertici |
?8 3 = 512 vertici |
||
?2 4= {4,3,3} = 16 vertici |
?3 4 = 81 vertici |
?4 4 = 256 vertici |
?5 4 = 625 vertici |
?6 4 = 1296 vertici |
?7 4 = 2401 vertici |
?8 4 = 4096 vertici |
||
?2 5= {4,3,3,3} = 32 vertici |
?3 5 = 243 vertici |
?4 5 = 1024 vertici |
?5 5 = 3125 vertici |
?6 5 = 7776 vertici |
?7 5 = 16.807 vertici |
?8 5 = 32.768 vertici |
||
?2 6= {4,3,3,3,3} = 64 vertici |
?3 6 = 729 vertici |
?4 6 = 4096 vertici |
?5 6 = 15.625 vertici |
?6 6 = 46.656 vertici |
?7 6 = 117.649 vertici |
?8 6 = 262.144 vertici |
||
?2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 vertici |
?3 7 = 2187 vertici |
?4 7 = 16.384 vertici |
?5 7 = 78,125 vertici |
?6 7 = 279.936 vertici |
?7 7 = 823.543 vertici |
?8 7 = 2.097.152 vertici |
||
?2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vertici |
?3 8 = 6561 vertici |
?4 8 = 65.536 vertici |
?5 8 = 390.625 vertici |
?6 8 = 1.679.616 vertici |
?7 8 = 5.764.801 vertici |
?8 8 = 16.777.216 vertici |
Guarda anche
- Rete di interconnessione Hypercube dell'architettura del computer
- Gruppo iperottaedrico , il gruppo di simmetria dell'ipercubo
- Ipersfera
- Simplex
- Parallelotopo
- Crocifissione (Corpus Hypercubus) (famosa opera d'arte)
Appunti
Riferimenti
- Bowen, JP (aprile 1982). "Ipercubo" . Informatica pratica . 5 (4): 97–99. Archiviato dall'originale il 30/06/2008 . Estratto il 30 giugno 2008 .
- Coxeter, HSM (1973). Politopi regolari (3a ed.). §7.2. vedere l'illustrazione Fig. 7-2 C : Dover . pp. 122-123 . ISBN 0-486-61480-8.Manutenzione CS1: posizione ( link )P. 296, Tabella I (iii): Politopi regolari, tre politopi regolari in n dimensioni ( n ≥ 5)
- Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduzione alla teoria della commutazione e al design logico: seconda edizione . New York: John Wiley & Figli . ISBN 0-471-39882-9.Cfr Capitolo 7.1 "Rappresentazione cubica di funzioni booleane" in cui viene introdotta la nozione di "ipercubo" come mezzo per dimostrare un codice distanza-1 ( codice Gray ) come i vertici di un ipercubo, e quindi l'ipercubo con i suoi vertici così etichettati è schiacciato in due dimensioni per formare un diagramma di Veitch o una mappa di Karnaugh .
link esterno
- Weisstein, Eric W. "Hypercube" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Grafici ipercubo" . MathWorld .
- www.4d-screen.de (Rotazione di 4D – 7D-Cube)
- Rotating a Hypercube di Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project .
- Ipercubo animato stereoscopico
- Download di Hypercube di Rudy Rucker e Farideh Dormishian
- A001787 Numero di archi in un ipercubo n-dimensionale. a OEIS