Infinito - Infinity

L'infinito è ciò che è illimitato o infinito, o qualcosa che è più grande di qualsiasi numero reale o naturale . È spesso indicato con il simbolo dell'infinito .

Sin dai tempi degli antichi greci , la natura filosofica dell'infinito è stata oggetto di molte discussioni tra i filosofi. Nel XVII secolo, con l'introduzione del simbolo dell'infinito e del calcolo infinitesimale , i matematici iniziarono a lavorare con le serie infinite e ciò che alcuni matematici (tra cui l'Hôpital e Bernoulli ) consideravano quantità infinitamente piccole, ma l'infinito continuò ad essere associato a infinite processi. Mentre i matematici lottavano con la fondazione del calcolo, non era chiaro se l'infinito potesse essere considerato come un numero o una grandezza e, in tal caso, come ciò potesse essere fatto. Alla fine del 19° secolo, Georg Cantor ha ampliato lo studio matematico dell'infinito studiando insiemi infiniti e numeri infiniti , dimostrando che possono essere di varie dimensioni. Ad esempio, se una linea è vista come l'insieme di tutti i suoi punti, il loro numero infinito (cioè la cardinalità della linea) è maggiore del numero di interi . In questo uso, l'infinito è un concetto matematico e infiniti oggetti matematici possono essere studiati, manipolati e utilizzati proprio come qualsiasi altro oggetto matematico.

Il concetto matematico di infinito affina ed estende il vecchio concetto filosofico, in particolare introducendo infinite dimensioni diverse di insiemi infiniti. Tra gli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel , su cui si può sviluppare la maggior parte della matematica moderna, c'è l' assioma dell'infinito , che garantisce l'esistenza di insiemi infiniti. Il concetto matematico di infinito e la manipolazione di insiemi infiniti sono usati ovunque in matematica, anche in aree come la combinatoria che possono sembrare non avere nulla a che fare con loro. Ad esempio, la dimostrazione di Wiles dell'Ultimo Teorema di Fermat si basa implicitamente sull'esistenza di insiemi infiniti molto grandi per risolvere un problema di vecchia data che è affermato in termini di aritmetica elementare .

In fisica e cosmologia , se l'Universo sia infinito è una questione aperta.

Storia

Le culture antiche avevano varie idee sulla natura dell'infinito. Gli antichi indiani e greci non definivano l'infinito in un preciso formalismo come fa la matematica moderna, e invece si avvicinavano all'infinito come concetto filosofico.

Greco antico

La prima idea di infinito registrata può essere quella di Anassimandro (c 610 -.. C 546 aC) un presocratico filosofo greco. Ha usato la parola apeiron , che significa "illimitato", "indefinito", e forse può essere tradotto come "infinito".

Aristotele (350 aC) distingue infinito potenziale di infinito attuale , che considerava a causa impossibile vari paradossi sembrava ai prodotti. È stato sostenuto che, in linea con questa visione, i greci ellenistici avevano un "orrore dell'infinito" che, ad esempio, spiegherebbe perché Euclide (c. 300 aC) non ha detto che ci sono un'infinità di numeri primi, ma piuttosto "I numeri primi sono più di qualsiasi moltitudine assegnata di numeri primi." Si è anche sostenuto che, nel provare l' infinità dei numeri primi , Euclide "fu il primo a superare l'orrore dell'infinito". C'è una controversia simile riguardo al postulato parallelo di Euclide , a volte tradotto

Se una retta, cadendo per due [altre] rette, forma angoli interni dalla stessa parte [di se stessa la cui somma è] minore di due angoli retti, allora le due [altre] rette, essendo prodotte all'infinito, si incontrano da quella parte [della retta originaria] che la [somma degli angoli interni] è minore di due angoli retti.

Altri traduttori, invece, preferiscono la traduzione "le due linee rette, se prodotte indefinitamente...", evitando così l'implicazione che Euclide fosse a suo agio con la nozione di infinito. Infine, si è sostenuto che una riflessione sull'infinito, lungi dal suscitare un "orrore dell'infinito", fosse alla base di tutta la filosofia greca antica e che l'"infinito potenziale" di Aristotele fosse un'aberrazione rispetto alla tendenza generale di questo periodo.

Zenone: Achille e la tartaruga

Zenone di Elea ( c.  495 – c.  430 aC) non ha avanzato alcuna visione sull'infinito. Tuttavia, i suoi paradossi, in particolare "Achille e la tartaruga", furono importanti contributi in quanto resero evidente l'inadeguatezza delle concezioni popolari. I paradossi sono stati descritti da Bertrand Russell come "incommensurabilmente sottili e profondi".

Achille gareggia con una tartaruga, dando a quest'ultima un vantaggio.

Passo 1: Achille corre al punto di partenza della tartaruga mentre la tartaruga cammina in avanti.
Passaggio 2: Achille avanza fino al punto in cui si trovava la tartaruga alla fine del passaggio 1 mentre la tartaruga va ancora oltre.
Passaggio 3: Achille avanza fino al punto in cui si trovava la tartaruga alla fine del passaggio 2, mentre la tartaruga va ancora oltre.
Passaggio 4: Achille avanza fino al punto in cui si trovava la tartaruga alla fine del passaggio 3 mentre la tartaruga va ancora oltre.

Eccetera.

Apparentemente, Achille non supera mai la tartaruga, poiché per quanti passi compia, la tartaruga rimane davanti a lui.

Zenone non stava cercando di fare un punto sull'infinito. Come membro della scuola eleatica che considerava il movimento un'illusione, considerava un errore supporre che Achille potesse correre. I pensatori successivi, trovando questa soluzione inaccettabile, hanno lottato per oltre due millenni per trovare altri punti deboli nell'argomento.

Infine, nel 1821, Augustin-Louis Cauchy fornì sia una definizione soddisfacente di limite sia una prova che, per 0 < x < 1 ,

.

Supponiamo che Achille stia correndo a 10 metri al secondo, la tartaruga cammini a 0,1 metri al secondo e quest'ultima abbia un vantaggio di 100 metri. La durata dell'inseguimento si adatta allo schema di Cauchy con a = 10 secondi e x = 0,01 . Achille supera la tartaruga; ci vuole lui

Indiano precoce

Il testo matematico Jain Surya Prajnapti (c. 4th-3rd secolo aC) classifica tutti i numeri in tre insiemi: enumerabili , innumerevoli e infiniti. Ciascuno di questi è stato ulteriormente suddiviso in tre ordini:

  • Enumerabili: minimo, intermedio e massimo
  • Innumerevoli: quasi innumerevoli, veramente innumerevoli e innumerevoli innumerevoli
  • Infinito: quasi infinito, veramente infinito, infinitamente infinito

XVII secolo

Nel XVII secolo, i matematici europei iniziarono a usare in modo sistematico numeri infiniti ed espressioni infinite. Nel 1655, John Wallis utilizzò per la prima volta la notazione per tale numero nel suo De sectionibus conicis, e la sfruttò nel calcolo dell'area dividendo la regione in strisce infinitesimali di larghezza dell'ordine di But in Arithmetica infinitorum (anch'esso nel 1655), indica serie infinite, prodotti infiniti e frazioni continue infinite scrivendo alcuni termini o fattori e quindi aggiungendo "&c.", come in "1, 6, 12, 18, 24, &c."

Nel 1699, Isaac Newton scrisse di equazioni con un numero infinito di termini nella sua opera De analysis per aequationes numero terminorum infinitas .

Matematica

Hermann Weyl aprì un discorso matematico-filosofico tenuto nel 1930 con:

La matematica è la scienza dell'infinito.

Simbolo

Il simbolo dell'infinito (a volte chiamato lemniscate ) è un simbolo matematico che rappresenta il concetto di infinito. Il simbolo è codificato in Unicode in U+221EINFINITY (HTML  · ) e in LaTeX come . &#8734;  &infin;\infty

È stato introdotto nel 1655 da John Wallis e, dalla sua introduzione, è stato utilizzato anche al di fuori della matematica nel misticismo moderno e nella simbologia letteraria .

Calcolo

Gottfried Leibniz , uno dei co-inventori del calcolo infinitesimale , ha ampiamente speculato sui numeri infiniti e sul loro uso in matematica. Per Leibniz sia gli infinitesimi che le quantità infinite erano entità ideali, non della stessa natura delle quantità apprezzabili, ma che godevano delle stesse proprietà secondo la Legge di Continuità .

Analisi reale

Nell'analisi reale , il simbolo , detto "infinito", è usato per denotare un limite illimitato . La notazione significa che  aumenta senza limiti e significa che  diminuisce senza limiti. Ad esempio, se per ogni  , allora

  • significa che non delimita un'area finita da a
  • significa che l'area sottostante è infinita.
  • significa che l'area totale sotto è finita, ed è uguale a

Infinity può anche essere usato per descrivere serie infinite , come segue:

  • significa che la somma della serie infinita converge a qualche valore reale
  • significa che la somma della serie infinita diverge propriamente all'infinito, nel senso che le somme parziali aumentano senza limiti.

Oltre a definire un limite, l'infinito può essere utilizzato anche come valore nel sistema di numeri reali esteso. Punti etichettati e possono essere aggiunti allo spazio topologico dei numeri reali, producendo la compattazione a due punti dei numeri reali. L'aggiunta di proprietà algebriche a questo ci dà i numeri reali estesi . Possiamo anche trattare e come lo stesso, portando alla compattazione in un punto dei numeri reali, che è la vera retta proiettiva . La geometria proiettiva si riferisce anche a una linea all'infinito nella geometria piana, un piano all'infinito nello spazio tridimensionale e un iperpiano all'infinito per le dimensioni generali , ciascuno costituito da punti all'infinito .

Analisi complessa

Per proiezione stereografica , il piano complesso può essere "avvolto" su una sfera, con il punto superiore della sfera corrispondente all'infinito. Questa è chiamata la sfera di Riemann .

Nell'analisi complessa il simbolo , detto "infinito", denota un limite infinito senza segno . significa che la grandezza  di  cresce oltre ogni valore assegnato. Un punto etichettato può essere aggiunto al piano complesso come spazio topologico dando la compattazione a un punto del piano complesso. Fatto ciò, lo spazio risultante è una varietà complessa unidimensionale , o superficie di Riemann , chiamata piano complesso esteso o sfera di Riemann . Si possono anche definire operazioni aritmetiche simili a quelle date sopra per i numeri reali estesi, sebbene non vi sia distinzione nei segni (il che porta all'unica eccezione che l'infinito non può essere aggiunto a se stesso). D'altra parte, questo tipo di infinito consente la divisione per zero , vale a dire per qualsiasi numero complesso  diverso da zero . In questo contesto è spesso utile considerare le funzioni meromorfe come mappe nella sfera di Riemann che assumono il valore di ai poli. Il dominio di una funzione a valori complessi può essere esteso per includere anche il punto all'infinito. Un importante esempio di tali funzioni è il gruppo delle trasformazioni di Möbius (vedi Trasformazione di Möbius § Panoramica ).

Analisi non standard

Infinitesimi (ε) e infiniti (ω) sulla retta iperreale (1/ε = ω/1)

La formulazione originale del calcolo infinitesimale di Isaac Newton e Gottfried Leibniz utilizzava quantità infinitesimali . Nel XX secolo è stato dimostrato che questo trattamento poteva essere messo su basi rigorose attraverso vari sistemi logici , tra cui l' analisi infinitesimale liscia e l' analisi non standard . In quest'ultimo, gli infinitesimi sono invertibili e i loro inversi sono numeri infiniti. Gli infiniti in questo senso fanno parte di un campo iperreale ; non c'è alcuna equivalenza tra loro come con i transfiniti cantoriani . Ad esempio, se H è un numero infinito in questo senso, allora H + H = 2H e H + 1 sono numeri infiniti distinti. Questo approccio al calcolo non standard è pienamente sviluppato in Keisler (1986) .

Insiemistica

Corrispondenza biunivoca tra un insieme infinito e il suo sottoinsieme proprio

Una diversa forma di "infinito" sono gli infiniti ordinali e cardinali della teoria degli insiemi, un sistema di numeri transfiniti sviluppato per la prima volta da Georg Cantor . In questo sistema, il primo cardinale transfinito è aleph-null ( 0 ), la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali . Questa moderna concezione matematica dell'infinito quantitativo si sviluppò alla fine del XIX secolo dalle opere di Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind e altri, utilizzando l'idea di collezioni o insiemi.

L'approccio di Dedekind consisteva essenzialmente nell'adottare l'idea della corrispondenza biunivoca come standard per confrontare le dimensioni degli insiemi e nel respingere l'opinione di Galileo (derivata da Euclide ) secondo cui il tutto non può essere della stessa dimensione della parte (tuttavia , vedi il paradosso di Galileo dove conclude che gli interi quadrati positivi hanno le stesse dimensioni degli interi positivi). Un insieme infinito può essere semplicemente definito come uno avente la stessa dimensione di almeno una delle sue parti proprie ; questa nozione di infinito è chiamata Dedekind infinito . Il diagramma a destra fornisce un esempio: vedendo le linee come insiemi infiniti di punti, la metà sinistra della linea blu inferiore può essere mappata in modo uno a uno (corrispondenza verde) alla linea blu superiore e, a sua volta , a tutta la linea blu inferiore (corrispondenza rossa); quindi tutta la linea blu inferiore e la sua metà sinistra hanno la stessa cardinalità, cioè "dimensione".

Cantor ha definito due tipi di numeri infiniti: numeri ordinali e numeri cardinali . I numeri ordinali caratterizzano gli insiemi ben ordinati , o il conteggio effettuato fino a qualsiasi punto di arresto, inclusi i punti dopo che un numero infinito è già stato contato. La generalizzazione di sequenze finite e (ordinarie) infinite che sono mappe dagli interi positivi porta a mappature da numeri ordinali a sequenze transfinite. I numeri cardinali definiscono la dimensione degli insiemi, ovvero quanti membri contengono, e possono essere standardizzati scegliendo il primo numero ordinale di una certa dimensione per rappresentare il numero cardinale di quella dimensione. Il più piccolo infinito ordinale è quello degli interi positivi, e ogni insieme che ha la cardinalità degli interi è numerabile infinito . Se un insieme è troppo grande per essere messo in corrispondenza biunivoca con gli interi positivi, si dice non numerabile . Le opinioni di Cantor hanno prevalso e la matematica moderna accetta l'infinito reale come parte di una teoria coerente e coerente. Alcuni sistemi numerici estesi, come i numeri iperreali, incorporano i numeri ordinari (finiti) e i numeri infiniti di diverse dimensioni.

Cardinalità del continuum

Uno dei risultati più importanti di Cantor fu che la cardinalità del continuo è maggiore di quella dei numeri naturali ; cioè, ci sono più numeri reali R che numeri naturali N . Vale a dire, Cantor ha dimostrato che .

L' ipotesi del continuo afferma che non esiste un numero cardinale tra la cardinalità dei reali e la cardinalità dei numeri naturali, cioè .

Questa ipotesi non può essere dimostrata o confutata all'interno della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel ampiamente accettata , anche assumendo l' assioma della scelta .

L'aritmetica cardinale può essere usata per mostrare non solo che il numero di punti in una retta dei numeri reali è uguale al numero di punti in qualsiasi segmento di quella retta , ma anche che questo è uguale al numero di punti su un piano e, infatti , in qualsiasi spazio a dimensione finita .

I primi tre passaggi di una costruzione frattale il cui limite è una curva che riempie lo spazio , che mostra che ci sono tanti punti in una linea unidimensionale quanti in un quadrato bidimensionale.

Il primo di questi risultati è evidente considerando, ad esempio, la funzione tangente , che fornisce una corrispondenza biunivoca tra l' intervallo ( ?/2, ?/2) E R .

Il secondo risultato fu dimostrato da Cantor nel 1878, ma divenne intuitivamente evidente solo nel 1890, quando Giuseppe Peano introdusse le curve che riempiono lo spazio , linee curve che si torcono e girano abbastanza da riempire l'intero di qualsiasi quadrato, cubo , ipercubo o ipercubo . spazio a dimensione finita. Queste curve possono essere utilizzate per definire una corrispondenza biunivoca tra i punti su un lato di un quadrato e i punti nel quadrato.

Geometria

Fino alla fine del XIX secolo, l'infinito era raramente discusso in geometria , se non nell'ambito di processi che potevano essere continuati senza alcun limite. Ad esempio, una linea era quello che oggi viene chiamato segmento di linea , con la condizione che si possa estenderlo quanto si vuole; ma estenderlo all'infinito era fuori discussione. Allo stesso modo, una linea di solito non era considerata composta da infiniti punti, ma era una posizione in cui un punto può essere posizionato. Anche se ci sono infinite posizioni possibili, su una linea potrebbe essere posizionato solo un numero finito di punti. Ne è testimonianza l'espressione "il luogo di un punto che soddisfa qualche proprietà" (singolare), dove i matematici moderni direbbero generalmente "l'insieme dei punti che hanno la proprietà" (plurale).

Una delle rare eccezioni di un concetto matematico che coinvolge l'infinito reale era la geometria proiettiva , in cui i punti all'infinito vengono aggiunti allo spazio euclideo per modellare l' effetto prospettico che mostra linee parallele che si intersecano "all'infinito". Matematicamente, i punti all'infinito hanno il vantaggio di permettere di non considerare alcuni casi particolari. Ad esempio, in un piano proiettivo , due linee distinte si intersecano esattamente in un punto, mentre senza punti all'infinito, non ci sono punti di intersezione per linee parallele. Quindi, le linee parallele e non parallele devono essere studiate separatamente nella geometria classica, mentre non devono essere distinte nella geometria proiettiva.

Prima dell'uso della teoria degli insiemi per la fondazione della matematica , punti e rette erano visti come entità distinte e un punto poteva essere localizzato su una retta . Con l'uso universale della teoria degli insiemi in matematica, il punto di vista è cambiato radicalmente: una retta è ora considerata come l'insieme dei suoi punti , e si dice che un punto appartiene a una retta invece di trovarsi su una retta (tuttavia, quest'ultima frase è ancora usata).

In particolare, nella matematica moderna, le linee sono insiemi infiniti .

Dimensione infinita

Gli spazi vettoriali che ricorrono nella geometria classica hanno sempre una dimensione finita , generalmente due o tre. Tuttavia, ciò non è implicato dalla definizione astratta di uno spazio vettoriale e possono essere considerati spazi vettoriali di dimensione infinita. Questo è tipicamente il caso dell'analisi funzionale in cui gli spazi delle funzioni sono generalmente spazi vettoriali di dimensione infinita.

In topologia, alcune costruzioni possono generare spazi topologici di dimensione infinita. In particolare, questo è il caso degli spazi di loop iterati .

frattali

La struttura di un oggetto frattale è reiterata nei suoi ingrandimenti. I frattali possono essere ingranditi all'infinito senza perdere la loro struttura e diventare "lisci"; hanno perimetri infiniti e possono avere aree infinite o finite. Una di queste curve frattali con perimetro infinito e area finita è il fiocco di neve di Koch .

Matematica senza infinito

Leopold Kronecker era scettico sulla nozione di infinito e su come i suoi colleghi matematici la usassero negli anni 1870 e 1880. Questo scetticismo è stato sviluppato nella filosofia della matematica chiamata finitismo , una forma estrema di filosofia matematica nelle scuole filosofiche e matematiche generali del costruttivismo e dell'intuizionismo .

Fisica

In fisica , le approssimazioni dei numeri reali vengono utilizzate per misurazioni continue e i numeri naturali vengono utilizzati per misurazioni discrete (cioè il conteggio). Esistono concetti di cose infinite come un'onda piana infinita , ma non ci sono mezzi sperimentali per generarli.

Cosmologia

La prima proposta pubblicata che l'universo è infinito venne da Thomas Digges nel 1576. Otto anni dopo, nel 1584, il filosofo e astronomo italiano Giordano Bruno propose un universo illimitato in Sull'universo e sui mondi infiniti : "Esistono innumerevoli soli; innumerevoli terre ruotano attorno a questi soli in un modo simile al modo in cui i sette pianeti ruotano attorno al nostro sole. Gli esseri viventi abitano questi mondi."

I cosmologi hanno a lungo cercato di scoprire se esiste l'infinito nel nostro universo fisico : esiste un numero infinito di stelle? L'universo ha un volume infinito? Lo spazio "va avanti per sempre" ? Questa è ancora una questione aperta di cosmologia . La questione dell'essere infinito è logicamente separata dalla questione dell'avere dei confini. La superficie bidimensionale della Terra, per esempio, è finita, ma non ha bordi. Viaggiando in linea retta rispetto alla curvatura terrestre, si tornerà infine al punto esatto da cui si è partiti. L'universo, almeno in linea di principio, potrebbe avere una topologia simile . Se è così, si potrebbe tornare al punto di partenza dopo aver viaggiato in linea retta attraverso l'universo per un tempo sufficientemente lungo.

La curvatura dell'universo può essere misurata attraverso momenti multipolari nello spettro della radiazione cosmica di fondo . Ad oggi, l'analisi dei modelli di radiazione registrati dal veicolo spaziale WMAP suggerisce che l'universo ha una topologia piatta. Questo sarebbe coerente con un universo fisico infinito.

Tuttavia, l'universo potrebbe essere finito, anche se la sua curvatura è piatta. Un modo semplice per capirlo è considerare esempi bidimensionali, come i videogiochi in cui gli elementi che lasciano un bordo dello schermo riappaiono sull'altro. La topologia di tali giochi è toroidale e la geometria è piatta. Esistono molte possibilità limitate e piatte anche per lo spazio tridimensionale.

Il concetto di infinito si estende anche all'ipotesi del multiverso , che, quando spiegata da astrofisici come Michio Kaku , postula che ci siano un numero e una varietà infiniti di universi.

Logica

In logica , un argomento di regresso infinito è "un tipo tipicamente filosofico di argomento che pretende di dimostrare che una tesi è difettosa perché genera una serie infinita quando o (forma A) tale serie non esiste o (forma B) se esistesse, la tesi mancherebbe del ruolo (ad esempio, di giustificazione) che dovrebbe svolgere."

informatica

Lo standard a virgola mobile IEEE (IEEE 754) specifica un valore infinito positivo e uno negativo (e anche valori indefiniti ). Questi sono definiti come il risultato di overflow aritmetico , divisione per zero e altre operazioni eccezionali.

Alcuni linguaggi di programmazione , come Java e J , consentono al programmatore un accesso esplicito ai valori di infinito positivo e negativo come costanti del linguaggio. Questi possono essere usati come elementi massimo e minimo , in quanto confrontano (rispettivamente) maggiore o minore di tutti gli altri valori. Hanno usi come valori sentinella negli algoritmi che coinvolgono l' ordinamento , la ricerca o la finestratura .

Nei linguaggi che non hanno elementi massimo e minimo, ma consentono l' overload degli operatori relazionali , è possibile per un programmatore creare gli elementi massimo e minimo. Nei linguaggi che non forniscono l'accesso esplicito a tali valori dallo stato iniziale del programma, ma implementano il tipo di dati a virgola mobile , i valori infinito possono essere ancora accessibili e utilizzabili come risultato di determinate operazioni.

In programmazione, un ciclo infinito è un ciclo la cui condizione di uscita non è mai soddisfatta, quindi viene eseguita indefinitamente.

Arti, giochi e scienze cognitive

L' opera d'arte in prospettiva utilizza il concetto di punti di fuga , approssimativamente corrispondenti a punti matematici all'infinito , situati a una distanza infinita dall'osservatore. Ciò consente agli artisti di creare dipinti che rendono realisticamente lo spazio, le distanze e le forme. L'artista MC Escher è specificamente noto per aver impiegato il concetto di infinito nel suo lavoro in questo e in altri modi.

Le varianti degli scacchi giocate su una scacchiera illimitata sono chiamate scacchi infiniti .

Lo scienziato cognitivo George Lakoff considera il concetto di infinito in matematica e nelle scienze come una metafora. Questa prospettiva si basa sulla metafora di base dell'infinito (BMI), definita come la sequenza sempre crescente <1,2,3,...>.

Il simbolo è spesso usato romanticamente per rappresentare l'amore eterno. Diversi tipi di gioielli sono modellati nella forma dell'infinito per questo scopo.

Guarda anche

Riferimenti

Bibliografia

Fonti

link esterno