Intuizionismo - Intuitionism

Questo articolo è circa l'intuizionismo in matematica e logica filosofica. Per il termine in epistemologia morale, vedi Intuizionismo etico .

Nella filosofia della matematica , l' intuizionismo , o neointuizionismo (opposto al preintuizionismo ), è un approccio in cui la matematica è considerata puramente il risultato dell'attività mentale costruttiva degli esseri umani piuttosto che la scoperta di principi fondamentali che si afferma esistessero in una realtà oggettiva. Cioè, logica e matematica non sono considerate attività analitiche in cui vengono rivelate e applicate proprietà profonde della realtà oggettiva, ma sono invece considerate l'applicazione di metodi internamente coerenti utilizzati per realizzare costrutti mentali più complessi, indipendentemente dalla loro possibile esistenza indipendente in una realtà oggettiva .

Verità e prove

La caratteristica distintiva fondamentale dell'intuizionismo è la sua interpretazione di ciò che significa che un'affermazione matematica è vera. Nell'intuizionismo originale di Brouwer , la verità di un'affermazione matematica è un'affermazione soggettiva: un'affermazione matematica corrisponde a una costruzione mentale e un matematico può affermare la verità di un'affermazione solo verificando la validità di quella costruzione per intuizione . La vaghezza della nozione intuizionista della verità porta spesso a interpretazioni errate sul suo significato. Kleene definì formalmente la verità intuizionista da una posizione realista, tuttavia Brouwer probabilmente rifiuterebbe questa formalizzazione come priva di significato, dato il suo rifiuto della posizione realista/platonica. La verità intuizionista rimane quindi alquanto mal definita. Tuttavia, poiché la nozione di verità intuizionista è più restrittiva di quella della matematica classica, l'intuizionista deve rifiutare alcune assunzioni della logica classica per assicurarsi che tutto ciò che dimostrano sia effettivamente vero dal punto di vista intuizionistico. Ciò dà origine alla logica intuizionista .

Per un intuizionista, l'affermazione che un oggetto con determinate proprietà esiste è un'affermazione che un oggetto con quelle proprietà può essere costruito. Qualsiasi oggetto matematico è considerato un prodotto di una costruzione di una mente , e quindi l'esistenza di un oggetto equivale alla possibilità della sua costruzione. Ciò contrasta con l'approccio classico, che afferma che l'esistenza di un'entità può essere dimostrata confutando la sua non esistenza. Per l'intuizionista, questo non è valido; la confutazione della non esistenza non significa che sia possibile trovare una costruzione per l'oggetto putativo, come è richiesto per affermare la sua esistenza. In quanto tale, l'intuizionismo è una varietà di costruttivismo matematico ; ma non è l'unico tipo.

L'interpretazione della negazione è diversa nella logica intuizionista che nella logica classica. Nella logica classica, la negazione di un'affermazione afferma che l'affermazione è falsa ; per un intuizionista, significa che l'affermazione è confutabile . C'è quindi un'asimmetria tra un'affermazione positiva e negativa nell'intuizionismo. Se un'affermazione P è dimostrabile, allora P certamente non può essere confutabile. Ma anche se si può dimostrare che P non può essere confutato, ciò non costituisce una prova di P . Quindi P è un'affermazione più forte di non-non-P .

Allo stesso modo, asserire che A o B valgono, per un intuizionista, significa affermare che sia A che B possono essere dimostrati . In particolare, la legge del terzo escluso , " A o non A ", non è accettata come principio valido. Ad esempio, se A è un'affermazione matematica che un intuizionista non ha ancora dimostrato o confutato, allora quell'intuizionista non affermerà la verità di " A o non A ". Tuttavia, l'intuizionista accetterà che " A e non A " non può essere vero. Così i connettivi "e" e "o" della logica intuizionista non soddisfano le leggi di de Morgan come nella logica classica.

La logica intuizionista sostituisce la costruibilità alla verità astratta ed è associata a una transizione dalla dimostrazione della teoria dei modelli alla verità astratta nella matematica moderna . Il calcolo logico conserva la giustificazione, piuttosto che la verità, attraverso le trasformazioni che producono proposizioni derivate. È stato considerato come un supporto filosofico a diverse scuole di filosofia, in particolare l' Antirealismo di Michael Dummett . Così, contrariamente alla prima impressione che il suo nome potrebbe dare, e come realizzato in specifici approcci e discipline (es. Fuzzy Sets and Systems), la matematica intuizionista è più rigorosa della matematica fondata convenzionalmente, dove, ironia della sorte, gli elementi fondamentali che l'intuizionismo tenta di costruire /refute/refound sono presi come dati intuitivamente.

Infinito

Tra le diverse formulazioni dell'intuizionismo, vi sono diverse posizioni sul significato e sulla realtà dell'infinito.

Il termine potenziale infinito si riferisce a una procedura matematica in cui c'è una serie infinita di passaggi. Dopo che ogni passaggio è stato completato, c'è sempre un altro passaggio da eseguire. Ad esempio, considera il processo di conteggio: 1, 2, 3, ...

Il termine infinito effettivo si riferisce a un oggetto matematico completato che contiene un numero infinito di elementi. Un esempio è l'insieme dei numeri naturali , N = {1, 2, ...}.

Nella formulazione di Cantor della teoria degli insiemi, ci sono molti diversi insiemi infiniti, alcuni dei quali sono più grandi di altri. Ad esempio, l'insieme di tutti i numeri reali R è maggiore di N , perché qualsiasi procedura che si tenti di utilizzare per mettere i numeri naturali in corrispondenza biunivoca con i numeri reali fallirà sempre: ci sarà sempre un numero infinito di numeri reali "avanzati". Qualsiasi insieme infinito che può essere posto in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali è detto "numerabile" o "numerabile". Gli insiemi infiniti più grandi di questo sono detti "non numerabili".

La teoria degli insiemi di Cantor portò al sistema assiomatico della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), oggi il fondamento più comune della matematica moderna . L'intuizionismo è stato creato, in parte, come reazione alla teoria degli insiemi di Cantor.

La moderna teoria costruttiva degli insiemi include l'assioma dell'infinito da ZFC (o una versione rivista di questo assioma) e l'insieme N dei numeri naturali. La maggior parte dei matematici costruttivi moderni accetta la realtà di insiemi numerabili infiniti (tuttavia, vedi Alexander Esenin-Volpin per un controesempio).

Brouwer ha rifiutato il concetto di infinito reale, ma ha ammesso l'idea di infinito potenziale.

"Secondo Weyl 1946, 'Brouwer ha chiarito, come penso al di là di ogni dubbio, che non ci sono prove a sostegno della credenza nel carattere esistenziale della totalità di tutti i numeri naturali... la sequenza di numeri che cresce al di là di ogni stadio già raggiunto passando al numero successivo, è un molteplice di possibilità aperto verso l'infinito, rimane per sempre nello stato di creazione, ma non è un regno chiuso di cose esistenti in se stesse. fonte delle nostre difficoltà, comprese le antinomie - una fonte di natura più fondamentale di quanto indicato dal principio del circolo vizioso di Russell. Brouwer ci ha aperto gli occhi e ci ha fatto vedere fino a che punto la matematica classica, nutrita da una fede nell'"assoluto" che trascende tutte le possibilità umane di realizzazione, va al di là di tali affermazioni che possono rivendicare un significato reale e una verità fondata sull'evidenza." (Kleene (1952): Introduzione alla metamatematica , p. 48-49)

Storia

La storia dell'intuizionismo può essere fatta risalire a due controversie nella matematica del diciannovesimo secolo.

Il primo di questi fu l'invenzione dell'aritmetica transfinita di Georg Cantor e il suo successivo rifiuto da parte di un certo numero di eminenti matematici tra cui il più famoso è il suo insegnante Leopold Kronecker, un finitista confermato .

Il secondo di questi è stato lo sforzo di Gottlob Frege di ridurre tutta la matematica a una formulazione logica tramite la teoria degli insiemi e il suo deragliamento da parte di un giovane Bertrand Russell , lo scopritore del paradosso di Russell . Frege aveva pianificato un'opera definitiva in tre volumi, ma proprio mentre il secondo volume stava per andare in stampa, Russell inviò a Frege una lettera che delineava il suo paradosso, che dimostrava che una delle regole di autoreferenzialità di Frege era contraddittoria. In un'appendice al secondo volume, Frege riconobbe che uno degli assiomi del suo sistema portava di fatto al paradosso di Russell.

Frege, racconta la storia, cadde in depressione e non pubblicò il terzo volume della sua opera come aveva previsto. Per ulteriori informazioni vedere Davis (2000) Capitoli 3 e 4: Frege: From Breakthrough to Despair e Cantor: Detour through Infinity. Vedi van Heijenoort per le opere originali e il commento di van Heijenoort.

Queste controversie sono fortemente legate poiché i metodi logici usati da Cantor per dimostrare i suoi risultati nell'aritmetica transfinita sono essenzialmente gli stessi usati da Russell per costruire il suo paradosso. Quindi il modo in cui si sceglie di risolvere il paradosso di Russell ha implicazioni dirette sullo status accordato all'aritmetica transfinita di Cantor.

All'inizio del ventesimo secolo LEJ Brouwer rappresentava la posizione intuizionista e David Hilbert quella formalista - vedi van Heijenoort. Kurt Gödel ha offerto opinioni denominate platonico (vedi varie fonti su Gödel). Alan Turing considera: " sistemi logici non costruttivi con i quali non tutti i passaggi in una dimostrazione sono meccanici, alcuni essendo intuitivi". (Turing 1939, ristampato in Davis 2004, p. 210) Successivamente, Stephen Cole Kleene ha portato avanti una considerazione più razionale dell'intuizionismo nella sua Introduzione alla meta-matematica (1952).

Contributori

Rami della matematica intuizionista

Guarda anche

Riferimenti

Ulteriori letture

Nel capitolo 39 Fondamenti , rispetto al XX secolo, Anglin fornisce descrizioni brevi e molto precise del platonismo (rispetto a Godel), del formalismo (rispetto a Hilbert) e dell'intuizionismo (rispetto a Brouwer).
  • Martin Davis (a cura di) (1965), L'indecidibile , Raven Press, Hewlett, NY. Raccolta di documenti originali di Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser e Post. Ripubblicato come Davis, Martin, ed. (2004). L'indecidibile . Pubblicazioni del corriere Dover. ISBN 978-0-486-43228-1.
  • Martin Davis (2000). Motori della logica: i matematici e l'origine del computer (1a ed.). WW Norton & Company, New York. ISBN 0-393-32229-7.
  • John W. Dawson Jr., Dilemmi logici: la vita e l'opera di Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
Meno leggibile di Goldstein ma, nel capitolo III Excursis , Dawson fornisce un'eccellente "Una capsula di storia dello sviluppo della logica fino al 1928".
  • Rebecca Goldstein , Incompletezza: la prova e il paradosso di Kurt Godel , Atlas Books, WW Norton, New York, 2005.
Nel capitolo II Hilbert ei formalisti Goldstein fornisce un ulteriore contesto storico. Come platonico Gödel era reticente alla presenza del positivismo logico del Circolo di Vienna. Goldstein discute l'impatto di Wittgenstein e l'impatto dei formalisti. Goldstein osserva che gli intuizionisti erano ancora più contrari al platonismo che al formalismo .
  • van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Ristampato con correzioni, 1977. I seguenti articoli compaiono in van Heijenoort:
  • LEJ Brouwer , 1923, Sul significato del principio del terzo escluso in matematica, specialmente nella teoria delle funzioni [ristampato con commento, p. 334, van Heijenoort]
  • Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Sul principio del terzo escluso , [ristampato con commento, p. 414, van Heijenoort]
  • LEJ Brouwer , 1927, Sui domini delle definizioni di funzioni , [ristampato con commento, p. 446, van Heijenoort]
Sebbene non direttamente pertinente, nel suo (1923) Brouwer usa alcune parole definite in questo articolo.
  • LEJ Brouwer , 1927(2), Riflessioni intuizionistiche sul formalismo , [ristampato con commento, p. 490, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), "Sulla consistenza dell'aritmetica", [ristampato con commento, p. 618ff, van Heijenoort]
Dal commento di van Heijenoort non è chiaro se Herbrand fosse o meno un vero "intuizionista"; Gödel (1963) ha affermato che in effetti "...Herbrand era un intuizionista". Ma van Heijenoort afferma che la concezione di Herbrand era "nel complesso molto più vicina a quella della parola di Hilbert 'finitary' ('finit') che a quella di "intuizionista" applicata alla dottrina di Brouwer".
  • Hesseling, Dennis E. (2003). Gnomi nella nebbia. La ricezione dell'intuizionismo di Brouwer negli anni '20 . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
  • Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuizionismo: un'introduzione (3d rev. ed.). Amsterdam: Pub dell'Olanda settentrionale. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
  • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduzione alla meta-matematica (decima impressione 1991 ed.). Amsterdam NY: Pub dell'Olanda settentrionale. Co. ISBN 0-7204-2103-9.
Nel capitolo III Una critica del ragionamento matematico, §11. I paradossi , Kleene discute approfonditamente l'intuizionismo e il formalismo . Per tutto il resto del libro tratta e confronta sia la logica formalista (classica) che quella intuizionista con un'enfasi sulla prima.
  • Stephen Cole Kleene e Richard Eugene Vesley , The Foundations of Intuitionistic Mathematics , North-Holland Publishing Co. Amsterdam, 1965. La frase principale dice tutto "La tendenza costruttiva in matematica...". Un testo per specialisti, ma scritto nello stile meravigliosamente chiaro di Kleene.
  • Hilary Putnam e Paul Benacerraf , Filosofia della matematica: Letture selezionate , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2a ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN  0-521-29648-X
Parte I. I fondamenti della matematica , Simposio sui fondamenti della matematica
  • Rudolf Carnap , I fondamenti logici della matematica , p. 41
  • Arend Heyting , I fondamenti intuizionisti della matematica , p. 52
  • Johann von Neumann , I fondamenti formalisti della matematica , p. 61
  • Arend Heyting, Disputa , p. 66
  • LEJ Brouwer, Intuizionismo e formalismo , p. 77
  • LEJ Brouwer, Coscienza, filosofia e matematica , p. 90
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus – Springer-Verlag, 1a edizione 1970, 2a edizione 1996.
La biografia definitiva di Hilbert colloca il suo "Programma" in un contesto storico insieme ai successivi combattimenti, a volte rancorosi, tra intuizionisti e formalisti.
  • Paul Rosenbloom , Gli elementi della logica matematica , Dover Publications Inc, Mineola, New York, 1950.
In uno stile più simile ai Principia Mathematica: molti simboli, alcuni antichi, altri dalla scrittura tedesca. Ottime discussioni sull'intuizionismo nelle seguenti posizioni: pagine 51-58 nella sezione 4 Molte logiche di valore, logiche modali, intuizionismo; pagine 69–73 Capitolo III La logica delle funzioni proposizionali Sezione 1 Introduzione informale; e pag. 146-151 Sezione 7 l'assioma della scelta.
Una rivalutazione dell'intuizionismo, dal punto di vista (tra gli altri) della matematica costruttiva e dell'analisi non standardizzata .

Riferimenti secondari

  • AA Markov (1954) Teoria degli algoritmi . [Tradotto da Jacques J. Schorr-Kon e dallo staff del PST] Imprint Mosca, Accademia delle Scienze dell'URSS, 1954 [ovvero Gerusalemme, Programma israeliano per le traduzioni scientifiche, 1961; disponibile presso l'Office of Technical Services, US Dept. of Commerce, Washington] Descrizione 444 p. 28 centimetri. Aggiunto tp nella traduzione russa delle opere dell'Istituto di matematica, Accademia delle scienze dell'URSS, v. 42. Titolo originale: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Biblioteca del Dartmouth College. US Dept. of Commerce, Office of Technical Services, numero OTS 60-51085.]
Un riferimento secondario per gli specialisti: Markov ha affermato che "L'intero significato per la matematica di rendere più preciso il concetto di algoritmo emerge, tuttavia, in connessione con il problema di un fondamento costruttivo per la matematica ....[p. 3, corsivo aggiunto. ] Markov credeva che ulteriori applicazioni del suo lavoro "meritino un libro speciale, che l'autore spera di scrivere in futuro" (p.3). Purtroppo, l'opera a quanto pare non è mai apparsa.

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