Distribuzione Irwin–Hall - Irwin–Hall distribution

Distribuzione Irwin–Hall

Densità di probabilità
Funzione di distribuzione cumulativa
Parametri	n ∈ N 0
Supporto	${\displaystyle x\in [0,n]}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k }}(xk)^{n-1}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(xk )^{n}}$
Significare	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Mediano	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Modalità	${\displaystyle {\begin{cases}{\text{qualsiasi valore in }}[0,1]&{\text{per }}n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text {altrimenti}}\end{casi}}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {n}{12}}}$
asimmetria	0
Ex. curtosi	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}$
MGF	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}}$
CF	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}}$

In probabilità e statistica , la distribuzione di Irwin-Hall , dal nome di Joseph Oscar Irwin e Philip Hall , è una distribuzione di probabilità per una variabile casuale definita come la somma di un numero di variabili casuali indipendenti , ciascuna avente una distribuzione uniforme . Per questo motivo è nota anche come distribuzione a somma uniforme .

La generazione di numeri pseudocasuali aventi una distribuzione approssimativamente normale è talvolta ottenuta calcolando la somma di un numero di numeri pseudocasuali aventi una distribuzione uniforme; di solito per semplicità di programmazione. Il ridimensionamento della distribuzione di Irwin-Hall fornisce l'esatta distribuzione delle variabili casuali generate.

Questa distribuzione viene talvolta confusa con la distribuzione di Bates , che è la media (non la somma ) di n variabili casuali indipendenti uniformemente distribuite da 0 a 1.

Definizione

La distribuzione di Irwin-Hall è la distribuzione di probabilità continua per la somma di n variabili casuali U (0, 1) indipendenti e identicamente distribuite :

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

La funzione di densità di probabilità (pdf) è data da

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{ n \scegli k}(xk)^{n-1}\nomeoperatore {sgn}(xk)}$

dove sgn( x − k ) denota la funzione segno :

${\displaystyle \operatorname {sgn}(xk)={\begin{casi}-1&x<k\\0&x=k\\1&x>k.\end{casi}}}$

Quindi il pdf è una spline (funzione polinomiale a tratti) di grado n  − 1 sui nodi 0, 1, ..., n . Infatti, per x tra i nodi situati in k e k + 1, il pdf è uguale a

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n )x^{j}}$

dove i coefficienti a _j ( k , n ) possono essere trovati da una relazione di ricorrenza su k

${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{casi}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1, n)+(-1)^{n+kj-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{nj-1}&k>0\end{casi}}}$

I coefficienti sono anche A188816 in OEIS . I coefficienti per la distribuzione cumulativa sono A188668 .

La media e la varianza sono rispettivamente n /2 e n /12.

Casi speciali

• Per n = 1, X segue una distribuzione uniforme :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{casi}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{altrimenti}}\end{casi}}}$

• Per n = 2, X segue una distribuzione triangolare :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{casi}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{casi}}}$

• Per n = 3,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{casi}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2} }(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end {casi}}}$

• Per n = 4,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{casi}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6} }(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2} +60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{casi}}}$

• Per n = 5,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{casi}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24} }(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4} -60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}- 330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{casi} }}$

Distribuzioni simili e correlate

La distribuzione di Irwin-Hall è simile alla distribuzione di Bates , ma presenta ancora solo numeri interi come parametro. Un'estensione ai parametri a valori reali è possibile aggiungendo anche una variabile casuale uniforme con N  − trunc( N ) come larghezza.

Estensioni alla distribuzione Irwin–Hall

Quando si utilizza Irwin-Hall per l'adattamento dei dati, un problema è che IH non è molto flessibile perché il parametro n deve essere un numero intero. Tuttavia, invece di sommare n distribuzioni uniformi uguali, potremmo anche aggiungere ad esempio U  + 0,5 U per affrontare anche il caso n  = 1,5 (dando una distribuzione trapezoidale).

La simmetria dell'Irwin-Hall può essere rimediata scalando linearmente il risultato per le due metà, valori al di sotto della media e valori al di sopra della media.

La distribuzione Irwin-Hall ha un'applicazione al beamforming e alla sintesi di modelli nella Figura 1 di riferimento

Guarda anche

• Distribuzione Bates
• Distribuzione normale
• Teorema del limite centrale
• Distribuzione uniforme (continua)
• Distribuzione triangolare

Appunti

Riferimenti

• Sala, Filippo . (1927) "La distribuzione delle medie per campioni di dimensione N tratti da una popolazione in cui la variabile assume valori compresi tra 0 e 1, tutti questi valori essendo ugualmente probabili". Biometria , vol. 19, n. 3/4., pp. 240-245. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR  2331961
• Irwin, JO (1927) "Sulla distribuzione di frequenza dei mezzi di campioni da una popolazione avente qualsiasi legge di frequenza con momenti finiti, con particolare riferimento al tipo II di Pearson". Biometria , vol. 19, n. 3/4., pp. 225-239. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR  2331960