Omologia Khovanov - Khovanov homology

In matematica , l'omologia di Khovanov è un invariante di collegamento orientato che si pone come l' omologia di un complesso di catene . Può essere considerato come una classificazione del polinomio di Jones .

È stato sviluppato alla fine degli anni '90 da Mikhail Khovanov , poi all'Università della California, Davis , ora alla Columbia University .

Panoramica

A ogni diagramma di collegamento D che rappresenta un collegamento L , assegniamo la parentesi Khovanov [ D ] , un complesso di catene di spazi vettoriali graduati . Questo è l'analogo della parentesi Kauffman nella costruzione del polinomio di Jones . Successivamente, normalizziamo [ D ] di una serie di spostamenti di grado (negli spazi vettoriali graduati ) e di altezza (nel complesso di catene ) per ottenere un nuovo complesso di catene C ( D ). L' omologia di questa catena spire complesse per essere un invariante di L , e la sua graduato caratteristica di Euler è il polinomio Jones L .

Definizione

Questa definizione segue il formalismo fornito nel documento del 2002 di Dror Bar-Natan .

Sia { l } l' operazione di spostamento di grado su spazi vettoriali graduati, ovvero, la componente omogenea nella dimensione m viene spostata fino alla dimensione m + l .

Allo stesso modo, indichiamo con [ s ] l' operazione di spostamento dell'altezza su complessi di catene, cioè, il r esimo spazio vettoriale o modulo nel complesso viene spostato lungo il ( r + s ) esimo posto, con tutte le mappe differenziali spostate di conseguenza.

Sia V uno spazio vettoriale graduato con un generatore q di grado 1 e un generatore q ⁻¹ di grado −1.

Ora prendete uno schema arbitrario D rappresenta un collegamento L . Gli assiomi per la parentesi Khovanov sono i seguenti:

[ ø ] = 0 → Z → 0, dove ø indica il collegamento vuoto.
[ O D ] = V ⊗ [ D ] , dove O denota un componente banale non collegato.
[ D ] = F (0 → [ D ₀ ] → [ D ₁ ] {1} → 0)

Nel terzo di questi, F indica l'operazione di "appiattimento", dove un unico complesso è formato da un doppio complesso prendendo somme dirette lungo le diagonali. Inoltre, D ₀ denota lo "smussamento 0" di un incrocio scelto in D , e D ₁ denota lo "smussamento 1", analogamente alla relazione matassa per la parentesi Kauffman.

Successivamente, costruiamo il complesso "normalizzato" C ( D ) = [ D ] [- n _- ] { n ₊ - 2 n _- }, dove n _- denota il numero di incroci sinistrorsi nel diagramma scelto per D , e n ₊ il numero di incroci destrorsi.

L' omologia Khovanov di L è quindi definita come l'omologia H ( L ) di questo complesso C ( D ). Si scopre che l'omologia di Khovanov è effettivamente un invariante di L e non dipende dalla scelta del diagramma. La caratteristica di Eulero graduata di H ( L ) risulta essere il polinomio Jones L . Tuttavia, è stato dimostrato che H ( L ) contiene più informazioni su L rispetto al polinomio di Jones , ma i dettagli esatti non sono ancora completamente compresi.

Nel 2006 Dror Bar-Natan ha sviluppato un programma per computer per calcolare l'omologia Khovanov (o categoria) per qualsiasi nodo.

Teorie correlate

Uno degli aspetti più interessanti dell'omologia di Khovanov è che le sue sequenze esatte sono formalmente simili a quelle che sorgono nell'omologia di Floer delle 3-varietà . Inoltre, è stato utilizzato per produrre un'altra dimostrazione di un risultato dimostrato per la prima volta usando la teoria di gauge e le sue cugine: la nuova dimostrazione di Jacob Rasmussen di un teorema di Peter Kronheimer e Tomasz Mrowka , precedentemente nota come congettura di Milnor (vedi sotto). C'è una sequenza spettrale che mette in relazione l'omologia di Khovanov con l'omologia del nodo Floer di Peter Ozsváth e Zoltán Szabó (Dowlin 2018). Questa sequenza spettrale ha stabilito una precedente congettura sulla relazione tra le due teorie (Dunfield et al. 2005). Un'altra sequenza spettrale (Ozsváth-Szabó 2005) mette in relazione una variante dell'omologia di Khovanov con l'omologia di Heegaard Floer della doppia copertura ramificata lungo un nodo. Un terzo (Bloom 2009) converge ad una variante dell'omologia monopolare Floer del doppio coperchio ramificato. Nel 2010 Kronheimer e Mrowka hanno mostrato una sequenza spettrale confinante con il loro gruppo di omologia Floer del nodo istantaneo e l'hanno usata per mostrare che Khovanov Homology (come l'omologia Floer del nodo istantaneo) rileva lo unknot.

L'omologia di Khovanov è correlata alla teoria delle rappresentazioni dell'algebra di Lie sl ₂ . Mikhail Khovanov e Lev Rozansky hanno da allora definito teorie di coomologia associate a sl _n per tutti gli n . Nel 2003, Catharina Stroppel ha esteso l'omologia di Khovanov a un'invariante di grovigli (una versione categorizzata degli invarianti di Reshetikhin-Turaev) che generalizza anche a sl _n per tutti i n . Paul Seidel e Ivan Smith hanno costruito una teoria dell'omologia dei nodi graduata singolarmente utilizzando l' omologia di Floer dell'intersezione lagrangiana , che ipotizzano essere isomorfa a una versione graduata singolarmente dell'omologia Khovanov. Ciprian Manolescu da allora ha semplificato la loro costruzione e mostrato come recuperare il polinomio di Jones dal complesso di catene alla base della sua versione dell'invariante di Seidel-Smith .

La relazione con i polinomi di collegamento (nodo)

Al Congresso Internazionale dei Matematici nel 2006 Mikhail Khovanov ha fornito la seguente spiegazione per la relazione con i polinomi dei nodi dal punto di vista dell'omologia di Khovanov. La relazione matassa per tre collegamenti ed è descritta come ${\ displaystyle L_ {1}, L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {3}}$

{\ displaystyle \ lambda P (L_ {1}) - \ lambda ^ {- 1} P (L_ {2}) = (qq ^ {- 1}) P (L_ {3}).}

La sostituzione porta a un collegamento polinomiale invariante , normalizzato in modo tale ${\ displaystyle \ lambda = q ^ {n}, n \ leq 0}$ ${\ displaystyle P_ {n} (L) \ in \ mathbb {Z} [q, q ^ {- 1}]}$

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {n} (unknot) & = q ^ {n-1} + q ^ {n-3} + \ cdots + q ^ {1-n} && n> 0 \\ P_ {0} (unknot) & = 1 \ end {allineato}}}

Infatti il polinomio può essere interpretato tramite la teoria della rappresentazione del gruppo quantistico e tramite quella della superalgebra quantistica di Lie . ${\ displaystyle n> 0}$ ${\ displaystyle P_ {n} (L)}$ ${\ displaystyle sl (n)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (L)}$ ${\ displaystyle U_ {q} (gl (1 | 1))}$

Il polinomio di Alexander è la caratteristica di Eulero di una teoria dell'omologia del nodo bigradato. ${\ displaystyle P_ {0} (L)}$
${\ displaystyle P_ {1} (L) = 1}$ è banale.
Il polinomio di Jones è la caratteristica di Eulero di una teoria dell'omologia del collegamento bigradata. ${\ displaystyle P_ {2} (L)}$
L'intero polinomio HOMFLY-PT è la caratteristica di Eulero di una teoria dell'omologia del collegamento triplicato.

Applicazioni

La prima applicazione dell'omologia di Khovanov è stata fornita da Jacob Rasmussen, che ha definito l' invariante s utilizzando l'omologia di Khovanov. Questo valore intero invariante di un nodo dà un limite al genere slice ed è sufficiente per dimostrare la congettura di Milnor .

Nel 2010, Kronheimer e Mrowka hanno dimostrato che l'omologia Khovanov rileva lo unknot . La teoria categorizzata ha più informazioni rispetto alla teoria non categorizzata. Sebbene l'omologia di Khovanov rilevi lo unknot, non è ancora noto se il polinomio di Jones lo faccia.

Appunti

Riferimenti

Bar-Natan, Dror (2002), "Sulla categorizzazione di Khovanov del polinomio di Jones", Algebraic & Geometric Topology , 2 : 337-370, arXiv : math.QA/0201043 , Bibcode : 2002math ...... 1043B , doi : 10.2140 / agosto 2002.2.337 , MR 1917056 , S2CID 11754112 .
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Dunfield, Nathan M .; Gukov, Sergei ; Rasmussen, Jacob (2006), "The superpolynomial for knot homologies" , Experimental Mathematics , 15 (2): 129–159, arXiv : math.GT/0505662 , doi : 10.1080 / 10586458.2006.10128956 , MR 2253002 , S2CID 3060662 .
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Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2005), "On the Heegaard Floer homology of branched double-cover", Advances in Mathematics , 194 (1): 1–33, arXiv : math.GT/0309170 , doi : 10.1016 / j.aim.2004.05 .008 , MR 2141852 , S2CID 17245314 .
Stroppel, Catharina (2005), "Categorification of the Temperley-Lieb category, tangles, and cobordisms via proiettive functors", Duke Mathematical Journal , 126 (3): 547-596, CiteSeerX 10.1.1.586.3553 , doi : 10.1215 / S0012 -7094-04-12634-X , MR 2120117 .

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