Automorfismo di Kolmogorov - Kolmogorov automorphism

In matematica , un automorfismo di Kolmogorov , K -automorfismo , K- shift o K -system è un automorfismo invertibile che preserva la misura definito su uno spazio di probabilità standard che obbedisce alla legge zero-uno di Kolmogorov . Tutti gli automorfismi di Bernoulli sono K -automorfismi (uno dice che hanno la proprietà K ), ma non viceversa. Molti sistemi dinamici ergodici hanno dimostrato di possedere la proprietà K , sebbene ricerche più recenti abbiano dimostrato che molti di questi sono in realtà automorfismi di Bernoulli.

Sebbene la definizione della proprietà K sembri ragionevolmente generale, si distingue nettamente dall'automorfismo di Bernoulli. In particolare, il teorema dell'isomorfismo di Ornstein non si applica ai sistemi K , e quindi l' entropia non è sufficiente per classificare tali sistemi - esistono innumerevoli sistemi K non isomorfi con la stessa entropia. In sostanza, la raccolta di K -systems è ampia, disordinata e non categorizzata; mentre gli automorfismi B sono "completamente" descritti dalla teoria di Ornstein .

Definizione formale

Sia uno spazio di probabilità standard e sia una trasformazione invertibile che preserva la misura . Allora è chiamato K -automorfismo, K -transform o K -shift, se esiste un'algebra sub- sigma tale che valgono le seguenti tre proprietà: ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} \ subset {\ mathcal {B}}}$

${\ displaystyle {\ mbox {(1)}} {\ mathcal {K}} \ subset T {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle {\ mbox {(2)}} \ bigvee _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {n} {\ mathcal {K}} = {\ mathcal {B}}}$

${\ displaystyle {\ mbox {(3)}} \ bigcap _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {- n} {\ mathcal {K}} = \ {X, \ varnothing \}}$

Qui, il simbolo è l' unione delle algebre sigma , mentre è impostata l'intersezione . L'uguaglianza dovrebbe essere intesa come tenuta quasi ovunque , cioè differire al massimo su un insieme di misura zero . ${\ displaystyle \ vee}$${\ displaystyle \ cap}$

Proprietà

Supponendo che l'algebra sigma non sia banale, cioè se , allora Ne consegue che i K -automorfismi sono un forte mescolamento . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ {X, \ varnothing \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} \ neq T {\ mathcal {K}}.}$

Tutti gli automorfismi di Bernoulli sono K -automorfismi, ma non viceversa .

Riferimenti

Ulteriore lettura

• Christopher Hoffman, " AK counterexample machine ", Trans. Amer. Matematica. Soc. 351 (1999), pagg. 4263–4280.