Lunghezza di un modulo - Length of a module

In algebra astratta , la lunghezza di un modulo è una generalizzazione della dimensione di uno spazio vettoriale che misura la sua dimensione. ^{pagina 153} In particolare, come nel caso degli spazi vettoriali, gli unici moduli di lunghezza finita sono moduli finitamente generati . È definita come la lunghezza della catena di sottomoduli più lunga . I moduli con lunghezza finita condividono molte proprietà importanti con spazi vettoriali a dimensione finita.

Altri concetti usati per "contare" nella teoria degli anelli e dei moduli sono la profondità e l' altezza ; questi sono entrambi un po 'più sottili da definire. Inoltre, il loro uso è più allineato con la teoria delle dimensioni mentre la lunghezza è usata per analizzare i moduli finiti. Ci sono anche varie idee di dimensione utili. Gli anelli commutativi di lunghezza finita svolgono un ruolo essenziale nei trattamenti funtoriali della geometria algebrica formale e nella teoria della deformazione in cui gli anelli di Artin sono ampiamente utilizzati.

Definizione

Lunghezza di un modulo

Sia un modulo (sinistro o destro) su un anello . Data una catena di sottomoduli della forma ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n} = M}$

diciamo che è la lunghezza della catena. La lunghezza di è definita come la lunghezza massima di una qualsiasi delle sue catene. Se non esiste una lunghezza così grande, diciamo che ha lunghezza infinita . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Lunghezza di un anello

Si dice che un anello abbia una lunghezza finita come anello se ha una lunghezza finita come un modulo sinistro . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Proprietà

Lunghezza finita e moduli finiti

Se un -module ha una lunghezza finita, allora è finitamente generato . Se R è un campo, è vero anche il contrario. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Relazione con i moduli artiniano e noetheriano

Un -modulo ha lunghezza finita se e solo se è sia un modulo noetheriano che un modulo artiniano (cfr . Teorema di Hopkins ). Poiché tutti gli anelli artiniani sono noetheriani, ciò implica che un anello ha una lunghezza finita se e solo se è artiniano. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Comportamento rispetto a brevi sequenze esatte

Supponiamo

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow L \ rightarrow M \ rightarrow N \ rightarrow 0}$

è una breve sequenza esatta di -moduli. Allora M ha lunghezza finita se e solo se L e N hanno lunghezza finita, e abbiamo ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ text {length}} _ {R} (M) = {\ text {length}} _ {R} (L) + {\ text {length}} _ {R} (N)}$

In particolare, implica le seguenti due proprietà

• La somma diretta di due moduli di lunghezza finita ha lunghezza finita
• Il sottomodulo di un modulo con lunghezza finita ha lunghezza finita e la sua lunghezza è minore o uguale al suo modulo genitore.

Teorema di Jordan – Hölder

Una serie di composizioni del modulo M è una catena della forma

${\ displaystyle 0 = N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n} = M}$

tale che

${\ displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i} {\ mbox {è semplice per}} i = 0, \ dots, n-1}$

Un modulo M ha lunghezza finita se e solo se ha un (finito) serie di composizione, e la lunghezza di ogni tale serie composizione è uguale alla lunghezza di M .

Esempi

Spazi vettoriali a dimensione finita

Qualsiasi spazio vettoriale dimensionale finito su un campo ha una lunghezza finita. Data una base c'è la catena ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}) \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}, v_ {2}) \ subset \ cdots \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = V}$

che è di lunghezza . È massimo perché data una catena, ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle V_ {0} \ subset \ cdots \ subset V_ {m}}$

la dimensione di ogni inclusione aumenterà almeno . Pertanto, la sua lunghezza e dimensione coincidono. ${\ displaystyle 1}$

Moduli artiniani

Su un anello di base , i moduli artiniani formano una classe di esempi di moduli finiti. In effetti, questi esempi servono come strumenti di base per definire l'ordine di sparizione nella teoria delle intersezioni . ${\ displaystyle R}$

Modulo zero

Il modulo zero è l'unico con lunghezza 0.

Moduli semplici

I moduli con lunghezza 1 sono proprio i moduli semplici .

Moduli artiniani su Z

La lunghezza del gruppo ciclico (visto come un modulo sugli interi Z ) è uguale al numero di fattori primi di , con più fattori primi contati più volte. Questo può essere trovato usando il teorema cinese dei resti . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle n}$

Uso nella teoria della molteplicità

Per la necessità della teoria dell'intersezione , Jean-Pierre Serre ha introdotto una nozione generale della molteplicità di un punto, come la lunghezza di un anello locale artiniano correlato a questo punto.

La prima applicazione era una definizione completa della molteplicità di intersezione , e, in particolare, un'affermazione del teorema di Bézout che afferma che la somma delle molteplicità dei punti di intersezione di n ipersuperfici algebriche in uno spazio proiettivo n- dimensionale è infinita o è esattamente il prodotto dei gradi delle ipersuperfici.

Questa definizione di molteplicità è abbastanza generale e contiene come casi speciali la maggior parte delle nozioni precedenti di molteplicità algebrica.

Ordine di sparizione di zeri e poli

Un caso speciale di questa definizione generale di molteplicità è l'ordine di scomparsa di una funzione algebrica diversa da zero su una varietà algebrica. Data una varietà algebrica e una sottovarietà di codimensione 1 l'ordine di evanescenza per un polinomio è definito come ${\ displaystyle f \ in R (X) ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f \ in R (X)}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {V} (f) = {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O}} _ {V, X}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {V, X}} {(f)}} \ right)}$

dove è l'anello locale definito dal gambo di lungo la sottovarietà ^{pagine 426-227} , o, equivalentemente, il gambo di nel punto generico di ^{pagina 22} . Se è una varietà affine , ed è definita da locus evanescente , allora c'è l'isomorfismo ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V (f)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X} \ cong R (X) _ {(f)}}$

Questa idea può quindi essere estesa a funzioni razionali sulla varietà in cui l'ordine è definito come ${\ displaystyle F = f / g}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {V} (F): = {\ text {ord}} _ {V} (f) - {\ text {ord}} _ {V} (g)}$

che è simile alla definizione dell'ordine degli zeri e dei poli nell'analisi complessa .

Esempio su una varietà proiettiva

Si consideri ad esempio una superficie proiettiva definita da un polinomio , quindi l'ordine di evanescenza di una funzione razionale ${\ displaystyle Z (h) \ subset \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle h \ in k [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$

${\ displaystyle F = {\ frac {f} {g}}}$

è dato da

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (F) = {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) - {\ text {ord}} _ {Z ( h)} (g)}$

dove

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) = {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(f)}} \ right)}$

Ad esempio, se e e poi ${\ displaystyle h = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$${\ displaystyle f = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle g = h ^ {2} (x_ {0} + x_ {1} -x_ {3})}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) = {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(x ^ {2} + y ^ {2} )}} \ right) = 0}$

poiché è un'unità (teoria dell'anello) nell'anello locale . Nell'altro caso, è un'unità, quindi il modulo del quoziente è isomorfo a ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}}$${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} -x_ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

quindi ha lunghezza . Questo può essere trovato usando la sequenza corretta massimale ${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle (0) \ subset {\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h)}} \ subset {\ frac {{ \ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

Zero e poli di una funzione analitica

L'ordine di fuga è una generalizzazione dell'ordine di zeri e poli per funzioni meromorfe in Analisi complessa . Ad esempio, la funzione

${\ displaystyle {\ frac {(z-1) ^ {3} (z-2)} {(z-1) (z-4i)}}}$

ha zeri di ordine 2 e 1 a e un polo di ordine a . Questo tipo di informazioni può essere codificato utilizzando la lunghezza dei moduli. Ad esempio, impostando e , c'è l' anello locale associato è e il modulo quoziente ${\ displaystyle 1,2 \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 4i \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle R (X) = \ mathbb {C} [z]}$${\ displaystyle V = V (z-1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-4i) (z-1) ^ {2})}}}$

Nota che è un'unità, quindi è isomorfo al modulo quoziente ${\ displaystyle z-4i}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}$

La sua lunghezza è poiché c'è la catena massima ${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle (0) \ subset {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1))}} \ subset {\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}}$

di sottomoduli. Più in generale, utilizzando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass una funzione meromorfa si calcola come

${\ displaystyle F = {\ frac {f} {g}}}$

che è un prodotto (possibilmente infinito) di polinomi lineari sia al numeratore che al denominatore.

Guarda anche

• Serie Hilbert – Poincaré
• Divisore di Weil
• Chow ring
• Teoria dell'intersezione
• Teorema di fattorizzazione di Weierstrass
• Le congetture della molteplicità di Serre
• Schema di Hilbert : può essere utilizzato per studiare moduli su uno schema con una lunghezza fissa
• Teorema di Krull-Schmidt

Riferimenti

link esterno

• Steven H. Weintraub, Teoria della rappresentazione dei gruppi finiti AMS (2003) ISBN   0-8218-3222-0 , ISBN   978-0-8218-3222-6
• Allen Altman, Steven Kleiman, Un termine di algebra commutativa .
• Il progetto Stacks. Lunghezza