Locus (matematica) - Locus (mathematics)

Ogni curva in questo esempio è un luogo definito come il conchoid del punto P e la linea l . In questo esempio, P è 8 cm da l .

In geometria , un luogo (plurale: loci ) (parola latina per "luogo", "posizione") è un insieme di tutti i punti (comunemente, una linea , un segmento di linea , una curva o una superficie ), la cui posizione soddisfa o è determinato da una o più condizioni specificate.

In altre parole, l'insieme dei punti che soddisfano una certa proprietà è spesso chiamato il luogo di un punto che soddisfa questa proprietà. L'uso del singolare in questa formulazione è una testimonianza che, fino alla fine del XIX secolo, i matematici non consideravano insiemi infiniti. Invece di visualizzare linee e curve come insiemi di punti, le vedevano come luoghi in cui un punto può essere localizzato o può spostarsi.

Storia e filosofia

Fino all'inizio del XX secolo, una forma geometrica (ad esempio una curva) non era considerata come un insieme infinito di punti; piuttosto, è stato considerato come un'entità su cui può essere localizzato un punto o su cui si muove. Quindi un cerchio nel piano euclideo è stato definito come il luogo di un punto che si trova a una data distanza di un punto fisso, il centro del cerchio. Nella matematica moderna, concetti simili vengono riformulati più frequentemente descrivendo le forme come insiemi; per esempio, si dice che il cerchio è l'insieme di punti che si trovano a una data distanza dal centro.

In contrasto con il punto di vista della teoria degli insiemi, la vecchia formulazione evita di considerare collezioni infinite, poiché evitare l' infinito reale era un'importante posizione filosofica dei matematici precedenti.

Una volta che la teoria degli insiemi divenne la base universale su cui è costruita l'intera matematica, il termine di locus divenne piuttosto antiquato. Tuttavia, la parola è ancora ampiamente utilizzata, principalmente per una formulazione concisa, ad esempio:

• Locus critico , l'insieme dei punti critici di una funzione differenziabile .
• Luogo zero o luogo di fuga , l'insieme di punti in cui una funzione svanisce, in quanto assume il valore zero.
• Luogo singolare , l'insieme dei punti singolari di una varietà algebrica .
• Locus di connessione , il sottoinsieme del set di parametri di una famiglia di funzioni razionali per cui è connesso l' insieme di Julia della funzione.

Più recentemente, tecniche come la teoria degli schemi e l'uso della teoria delle categorie invece della teoria degli insiemi per dare un fondamento alla matematica, sono tornate a nozioni più simili alla definizione originale di un luogo come un oggetto in sé piuttosto che come un insieme di punti.

Esempi di geometria piana

Esempi dalla geometria piana includono:

• L'insieme di punti equidistanti da due punti è una bisettrice perpendicolare al segmento di linea che collega i due punti.
• L'insieme di punti equidistanti da due rette che si incrociano è la bisettrice dell'angolo .
• Tutte le sezioni coniche sono loci:
  • Cerchio : l'insieme di punti per i quali la distanza da un singolo punto è costante (il raggio ).
  • Parabola : l'insieme di punti equidistanti da un punto fisso (il fuoco ) e una linea (la direttrice ).
  • Iperbole : l'insieme di punti per ognuno dei quali il valore assoluto della differenza tra le distanze a due dati fuochi è una costante.
  • Ellisse : l'insieme di punti per ciascuno dei quali la somma delle distanze a due dati fuochi è una costante

Altri esempi di loci compaiono in varie aree della matematica. Ad esempio, in dinamiche complesse , l' insieme di Mandelbrot è un sottoinsieme del piano complesso che può essere caratterizzato come il luogo di connessione di una famiglia di mappe polinomiali.

Prova di un luogo

Per dimostrare che una forma geometrica è il luogo corretto per un dato insieme di condizioni, generalmente si divide la dimostrazione in due fasi:

• Prova che tutti i punti che soddisfano le condizioni sono sulla forma data.
• Prova che tutti i punti sulla forma data soddisfano le condizioni.

Esempi

(distanza PA ) = 3. (distanza PB )

Primo esempio

Trova il luogo di un punto P che ha un dato rapporto tra le distanze k = d ₁ / d ₂ e due punti dati.

In questo esempio k = 3, A (−1, 0) e B (0, 2) vengono scelti come punti fissi.

P ( x ,  y ) è un punto del luogo

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | = 3 | PB |}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | ^ {2} = 9 | PB | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 1) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 9 (x-0) ^ {2} +9 (y-2) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 8 (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x-36y + 35 = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ sinistra (x - {\ frac {1} {8}} \ destra) ^ {2} + \ sinistra (y - {\ frac {9} {4}} \ destra) ^ {2} = {\ frac {45} {64}}.}$

Questa equazione rappresenta un cerchio con centro (1/8, 9/4) e raggio . È il cerchio di Apollonio definita da questi valori di k , A e B . ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}} {\ sqrt {5}}}$

Secondo esempio

Luogo del punto C

Un triangolo ABC ha un lato fisso [ AB ] con lunghezza c . Determina il luogo del terzo vertice C in modo tale che le mediane di A e C siano ortogonali .

Scegli un sistema di coordinate ortonormali tale che A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) è la variabile terzo vertice. Il centro di [ BC ] è M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). La mediana da C ha una pendenza y / x . La mediana AM ha pendenza 2 y / (2 x  + 3 c ).

Il luogo è un cerchio

C ( x ,  y ) è un punto del luogo

${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ le mediane da A e C sono ortogonali

${\ displaystyle \ Leftrightarrow {\ frac {y} {x}} \ cdot {\ frac {2y} {2x + 3c}} = - 1}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 2y ^ {2} + 2x ^ {2} + 3cx = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + (3c / 2) x = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 3c / 4) ^ {2} + y ^ {2} = 9c ^ {2} / 16.}$

Il luogo del vertice C è un cerchio con centro (−3 c / 4, 0) e raggio 3 c / 4.

Terzo esempio

Il punto di intersezione delle linee associate k e l descrive il cerchio

Un luogo può anche essere definito da due curve associate a seconda di un parametro comune . Se il parametro varia, i punti di intersezione delle curve associate descrivono il luogo.

Nella figura, i punti K e L sono punti fissi su una data linea m . La linea k è una linea variabile attraverso K . La retta da l a L è perpendicolare a k . L'angolo tra k e m è il parametro. k e l sono linee associate a seconda del parametro comune. Il punto di intersezione variabile S di k e l descrive un cerchio. Questo cerchio è il luogo del punto di intersezione delle due linee associate. ${\ displaystyle \ alpha}$

Quarto esempio

Un luogo di punti non deve essere unidimensionale (come un cerchio, una linea, ecc.). Ad esempio, il luogo della disuguaglianza 2 x + 3 y - 6 <0 è la porzione del piano che si trova sotto la linea di equazione 2 x + 3 y - 6 = 0 .

Guarda anche

• Varietà algebrica
• Curva
• Linea (geometria)
• Regione (geometria)
• Forma (geometria)

Riferimenti