Matematica del bookmaking - Mathematics of bookmaking

Nel gergo del gioco d'azzardo , fare un libro è la pratica di scommettere sui vari possibili esiti di un singolo evento. La frase deriva dalla pratica di registrare tali scommesse in un libro mastro rilegato (il "libro") e dà alla lingua inglese il termine bookmaker per la persona che fa le scommesse e quindi "fa il libro".

Fare un 'libro' (e la nozione di overround)

Un bookmaker si sforza di accettare scommesse sull'esito di un evento nelle giuste proporzioni al fine di realizzare un profitto indipendentemente da quale risultato prevalga. Vedi il libro olandese e la coerenza (strategia filosofica del gioco d'azzardo) . Ciò si ottiene principalmente regolando al ribasso quelle che sono determinate come le vere quote dei vari esiti di un evento (cioè il bookmaker pagherà utilizzando le sue quote effettive, un importo che è inferiore a quello che avrebbe pagato la quota reale, garantendo così un profitto).

Le quote quotate per un particolare evento possono essere fisse, ma è più probabile che fluttuino per tenere conto dell'importo delle scommesse piazzate dagli scommettitori prima dell'evento effettivo (ad esempio una corsa di cavalli). Questo articolo spiega la matematica della creazione di un libro nel caso (più semplice) dell'evento precedente. Per il secondo metodo, vedi Scommesse Parimutuel .

È importante comprendere la relazione tra quote frazionarie e decimali. Le quote frazionarie sono quelle scritte ab (a/bo da a a b) significa che uno scommettitore vincente riceverà indietro i propri soldi più una unità per ogni b unità che ha scommesso. Moltiplicando sia a che b per lo stesso numero si ottengono quote equivalenti ad ab. Le quote decimali sono un singolo valore, maggiore di 1, che rappresenta l'importo da pagare per ogni puntata unitaria. Ad esempio, una scommessa di £ 40 a 6-4 (quota frazionaria) pagherà £ 40 + £ 60 = £ 100. Le quote decimali equivalenti sono 2,5; £ 40 x 2,5 = £ 100. Possiamo convertire le quote frazionarie in decimali con la formula D= b+a ⁄ b . Quindi, le quote frazionarie di a-1 (es. b=1) possono essere ottenute dalle quote decimali di a=D-1.

È anche importante comprendere la relazione tra odds e probabilità implicite: odds frazionari di ab (con corrispondenti odds decimali D) rappresentano una probabilità implicita di b ⁄ a+b = 1 ⁄ D , ad esempio 6-4 corrisponde a 4 ⁄ 6+ 4 = 4 ⁄ 10 = 0,4 (40%). Una probabilità implicita di x è rappresentata da quote frazionarie di (1-x)/x, ad esempio 0,2 è (1-0,2)/0,2 = 0,8/0,2 = 4/1 (4-1, da 4 a 1) (equivalentemente, 1 ⁄ x - 1 a 1) e quote decimali di D= 1 ⁄ x .

Esempio

Considerando una partita di calcio (l'evento) che può essere una "vittoria in casa", "pareggio" o "vittoria in trasferta" (i risultati), si potrebbero incontrare le seguenti probabilità per rappresentare la vera possibilità di ciascuno dei tre risultati:

Casa: Evens

Pareggio: 2-1

Trasferta: 5-1

Queste quote possono essere rappresentate come probabilità implicite (o percentuali moltiplicando per 100) come segue:

Evens (o 1-1) corrisponde a una probabilità implicita di 1 ⁄ 2 (50%)

2-1 corrisponde a una probabilità implicita di 1 ⁄ 3 (33 1 ⁄ 3 %)

5-1 corrisponde a una probabilità implicita di 1 ⁄ 6 (16 2 ⁄ 3 %)

Sommando le percentuali si ottiene un 'libro' totale del 100% (che rappresenta un libro equo ). Il bookmaker, nel suo desiderio di avvalersi di un profitto, ridurrà invariabilmente queste quote. Considera il modello più semplice di riduzione, che utilizza una diminuzione proporzionale delle quote. Per l'esempio sopra, le seguenti quote sono nella stessa proporzione rispetto alle loro probabilità implicite (3:2:1):

Casa: 4-6

Pareggio: 6-4

Trasferta: 4-1

4-6 corrisponde a una probabilità implicita di 3 ⁄ 5 (60%)

6-4 corrisponde a una probabilità implicita di 2 ⁄ 5 (40%)

4-1 corrisponde a una probabilità implicita di 1 ⁄ 5 (20%)

Sommando queste percentuali si ottiene un 'libro' del 120%.

L'importo di cui il 'libro' effettivo supera il 100% è noto come 'overround', 'margine bookmaker' o ' vigorish ' o 'vig': rappresenta il profitto atteso del bookmaker. Pertanto, in una situazione "ideale", se il bookmaker accetta £ 120 in scommesse alle sue quote quotate nella proporzione corretta, pagherà solo £ 100 (comprese le puntate restituite) indipendentemente dall'effettivo risultato della partita di calcio. Esaminando come potenzialmente realizza questo:

Una puntata di £ 60,00 @ 4-6 restituisce £ 100,00 (esattamente) per una vittoria in casa.

Una puntata di £ 40,00 @ 6-4 restituisce £ 100,00 (esattamente) per una partita pareggiata

Una puntata di £ 20,00 @ 4-1 restituisce £ 100,00 (esattamente) per una vittoria in trasferta

Puntate totali ricevute — £ 120,00 e una vincita massima di £ 100,00 indipendentemente dal risultato. Questo profitto di £ 20,00 rappresenta un profitto del 16 2 ⁄ 3  % sul fatturato (20.00/120,00).

In realtà, i bookmaker utilizzano modelli di riduzione più complicati del modello della situazione "ideale".

Margine del bookmaker nei campionati di calcio inglesi

Il margine dei bookmaker nei campionati di calcio inglesi è diminuito negli ultimi anni. Lo studio di sei grandi bookmaker tra la stagione 2005/06 e la stagione 2017/2018 ha mostrato che il margine medio in Premier League è diminuito dal 9% al 4%, in English Football League Championship , English Football League One e English Football League Two dall'11% al 6% e in Lega Nazionale dall'11% all'8%.

Overround su più scommesse

Quando uno scommettitore ( scommettitore ) combina più di una selezione in, ad esempio, un doppio , un triplo o un accumulatore allora l'effetto dell'overround nel libro di ogni selezione è aggravato a scapito dello scommettitore in termini di ritorno finanziario rispetto a le vere quote di tutte le selezioni vincenti e quindi risultanti in una scommessa vincente.

Per spiegare il concetto nelle situazioni più elementari si esaminerà un esempio consistente in un doppio composto dalla selezione del vincitore di ciascuna delle due partite di tennis:

Nella partita 1 tra i giocatori A e B entrambi i giocatori sono valutati per avere pari possibilità di vittoria. La situazione è la stessa in Match 2 tra i giocatori C e D . In un libro equo in ciascuna delle loro partite, cioè ognuno ha un libro del 100%, tutti i giocatori verrebbero offerti a quote pari (1-1). Tuttavia, un bookmaker probabilmente offrirebbe quote di 5-6 (ad esempio) su ciascuno dei due possibili risultati in ciascun evento (ogni partita di tennis). Ciò si traduce in un libro per ciascuna delle partite di tennis del 109,09...%, calcolato per 100 × ( 6 ⁄ 11 + 6 ⁄ 11 ) cioè 9,09% overround.

Ci sono quattro possibili risultati combinando i risultati di entrambe le partite: la coppia vincente di giocatori potrebbe essere AC , AD , BC o BD . Poiché ciascuno dei risultati per questo esempio è stato scelto deliberatamente per garantire che siano ugualmente probabili, si può dedurre che la probabilità che si verifichi ciascun risultato è 1 ⁄ 4 o 0,25 e che le quote frazionarie contro ciascuno di essi sono 3-1. Una scommessa di 100 unità (per semplicità) su una qualsiasi delle quattro combinazioni produrrebbe un ritorno di 100 × (3/1 + 1) = 400 unità in caso di successo, riflettendo quote decimali di 4.0.

Le quote decimali di una scommessa multipla sono spesso calcolate moltiplicando le quote decimali delle singole scommesse, l'idea è che se gli eventi sono indipendenti, la probabilità implicita dovrebbe essere il prodotto delle probabilità implicite delle singole scommesse. Nel caso sopra con quote frazionarie di 5-6, le quote decimali sono 11 ⁄ 6 . Quindi la quota decimale della doppia scommessa è 11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 =1.833...×1.833...=3.3611..., o quota frazionaria di 2.3611-1. Ciò rappresenta una probabilità implicita del 29,752% (1/3,3611) e moltiplicando per 4 (per ciascuna delle quattro combinazioni di risultati ugualmente probabili) si ottiene un libro totale del 119,01%. Quindi l'overround è leggermente più che raddoppiato combinando due scommesse singole in una doppia.

In generale, l'overround combinato su un doppio (O _D ), espresso in percentuale, viene calcolato dai singoli libri B ₁ e B ₂ , espressi in decimali, da O _D = B ₁ × B ₂ × 100 − 100. In nell'esempio abbiamo O _D = 1,0909 × 1,0909 × 100 − 100 = 19,01%.

Questo massiccio aumento del potenziale profitto per il bookmaker (19% invece del 9% su un evento; in questo caso il doppio) è il motivo principale per cui i bookmaker pagano dei bonus per la selezione vincente dei vincitori nelle scommesse multiple: confronta offrendo un bonus del 25% sulla scelta corretta di quattro vincitori su quattro selezioni in uno Yankee , ad esempio, quando il potenziale overround su una semplice quadrupla di gare con libri individuali del 120% è superiore al 107% (un libro del 207%). Questo è il motivo per cui i bookmaker offrono scommesse come Lucky 15 , Lucky 31 e Lucky 63 ; offrendo il doppio delle quote per un vincitore e bonus percentuali crescenti per due, tre e più vincitori.

In generale, per qualsiasi scommessa cumulativa da due a i selezioni, la percentuale di overround combinata dei libri di B ₁ , B ₂ , ..., B _i data in termini di decimali, è calcolata da B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 − 100. Ad esempio, il quadruplo citato in precedenza costituito da singoli libri del 120% (1,20) dà un overround di 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 − 100 = 107,36%.

Stabilire scommesse vincenti

Nel definire le scommesse vincenti vengono utilizzate le quote decimali o ne viene aggiunta una alle quote frazionarie: questo per includere la puntata nel ritorno. La parte del piazzamento delle scommesse a senso unico viene calcolata separatamente dalla parte della vincita ; il metodo è identico ma le quote vengono ridotte di qualunque sia il fattore di posizione per il particolare evento (vedi Accumulatore di seguito per un esempio dettagliato). Tutte le scommesse vengono considerate come 'vincite', a meno che non sia specificatamente indicato 'ogni strada'. Tutti mostrano l'uso di quote frazionarie: sostituire (quote frazionarie + 1) con quote decimali se le quote decimali sono note. I non partecipanti sono trattati come vincitori con quote frazionarie pari a zero (quote decimali di 1). Le frazioni di penny nelle vincite totali vengono invariabilmente arrotondate per difetto dai bookmaker al centesimo più vicino sotto. I calcoli seguenti per le scommesse multiple comportano la visualizzazione dei totali per le categorie separate (ad es. doppie, triple, ecc.) vincite.

single

Vinci singolo

Ad esempio £ 100 singolo a 9-2; puntata totale = £ 100

Rendimenti = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5,5 = £ 550

Singolo andata e ritorno

Es. £100 a tratta singola a 11-4 ( 1 ⁄ 5 probabilità di un posto); puntata totale = £ 200

Restituisce (vincita) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3,75 = £ 375

Reso (posto) = £ 100 × (11/20 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155

Rendimenti totali se la selezione vince = £ 530; se solo piazzato = £155

Scommesse multiple

Le scommesse multiple Every-Way vengono solitamente definite utilizzando un metodo predefinito " Win to Win, Place to Place ", il che significa che la scommessa consiste in un accumulatore di vincite e un accumulatore di posizione separato (Nota: un doppio o un triplo è un accumulatore con 2 o 3 selezioni rispettivamente). Tuttavia, un modo più raro di regolare questo tipo di scommesse è " Every-Way all Every-Way " (noto come " Equally Divided ", che normalmente deve essere richiesto come tale sulla schedina) in cui i ritorni di una selezione in l'accumulatore viene diviso per formare una puntata uguale a ogni andata sulla selezione successiva e così via fino a quando tutte le selezioni sono state utilizzate. Il primo esempio di seguito mostra i due diversi approcci per regolare questi tipi di scommesse.

Doppio

Es. £100 a tratta doppia con vincitori a 2-1 ( 1 ⁄ 5 probabilità un posto) e 5-4 ( 1 ⁄ 4 probabilità un posto); puntata totale = £ 200

Nota: " Win to Win, Place to Place " fornirà sempre un rendimento maggiore se tutte le selezioni vincono, mentre " Every-Way all Every-Way " fornisce un compenso maggiore se una selezione è perdente poiché ciascuno degli altri vincitori fornisce un maggiore importo del posto in denaro per le selezioni successive.

alti

Es. £100 alti con vincitori 3-1, 4-6 e 11-4; puntata totale = £ 100

Restituisce = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2500

Accumulatore

Es £ 100 ogni modo-cinque volte accumulatore con vincitori a Evens ( 1 / 4 probabilità un luogo), 11-8 ( 1 / 5 odds), 5-4 ( 1 / 4 odds), 1-2 (tutto fino a vincere) e 3-1 ( quota 1 ⁄ 5 ); puntata totale = £ 200

Nota: "All up to win" significa che non ci sono partecipanti sufficienti all'evento per poter fornire le quote di piazzamento (ad es. 4 o meno corridori in una corsa di cavalli). L'unico "posto" quindi è il primo posto, per il quale vengono date le probabilità di vincita.

Restituisce (quintuplica) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412.50

Restituisce (quinto posto) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502.03

Rendimenti totali = £ 6914,53

Scommesse a copertura totale

Trixie

yankee

Trixie , Yankee , Canadian , Heinz , Super Heinz e Goliath formano una famiglia di scommesse conosciute come scommesse a copertura totale che hanno tutti i possibili multipli presenti. Esempi di scommesse Trixie e Yankee vincenti sono stati mostrati sopra. Le altre scommesse nominative vengono calcolate in modo simile osservando tutte le possibili combinazioni di selezioni nei loro multipli. Nota: una doppia può essere considerata una scommessa di copertura completa con solo due selezioni.

Se una selezione in una di queste scommesse non vince, i restanti vincitori vengono considerati come una scommessa completamente vincente sul successivo "familiare" in meno. Ad esempio, solo due vincitori su tre in un Trixie significano che la scommessa viene definita come doppia; solo quattro vincitori su cinque in un canadese significano che è considerato uno Yankee ; solo cinque vincitori su otto in un Goliath significa che è stabilito come canadese . La parte relativa al piazzamento delle scommesse a senso unico viene calcolata separatamente utilizzando quote di piazzamento ridotte. Pertanto, un Super Heinz a tratta su sette cavalli con tre vincitori e altri due cavalli classificati viene definito come una vittoria Trixie e un posto canadese . Praticamente tutti i bookmaker utilizzano software per computer per facilità, velocità e precisione di calcolo per il regolamento delle scommesse multiple.

Scommesse a copertura totale con le singole

Brevetto

Brevetto , fortunato 15 , fortunato 31 , fortunato 63 e superiori fortunato scommesse formano una famiglia di scommesse conosciute come scommesse piena copertura con single che hanno tutte le possibili multipli presentano insieme singole scommesse su tutte le selezioni. Un esempio di una scommessa Patente vincente è stato mostrato sopra. Le altre scommesse nominative vengono calcolate in modo simile osservando tutte le possibili combinazioni di selezioni nelle loro multiple e singole.

Se una selezione in una di queste scommesse non vince, i restanti vincitori vengono considerati come una scommessa completamente vincente sul successivo "familiare" in meno. Ad esempio, solo due vincitori su tre in un brevetto significano che la scommessa viene definita come doppia e due singole; solo tre vincitori su quattro in un Lucky 15 significa che è definito come un brevetto ; solo quattro vincitori su sei in un Lucky 63 significa che è stato definito come un Lucky 15 . La parte relativa al piazzamento delle scommesse a senso unico viene calcolata separatamente utilizzando quote di piazzamento ridotte. Pertanto, un Lucky 63 a tratta su sei cavalli con tre vincitori e altri due cavalli classificati viene definito come un brevetto di vincita e un posto Lucky 31 .

Interpretazione algebrica

I ritorni su qualsiasi scommessa possono essere considerati calcolati come "unità di puntata" × "moltiplicatore di probabilità". Il "moltiplicatore di quote" complessivo è un valore di quota decimale combinato ed è il risultato di tutte le scommesse individuali che compongono una scommessa a copertura totale, incluse le singole se necessario. Ad esempio, se uno Yankee di successo da £ 10 ha restituito £ 461,35, il "moltiplicatore di probabilità" complessivo ( OM ) è 46,135.

Se a , b , c , d ... rappresentano le quote decimali , cioè (quote frazionarie + 1), allora un OM può essere calcolato algebricamente moltiplicando le espressioni ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1)... ecc. insieme nel modo richiesto e sottraendo 1. Se richiesto, (quota decimale + 1) può essere sostituito da (quota frazionaria + 2).

Esempi

3 selezioni con quote decimali a , b e c . Espandendo ( a + 1)( b + 1)( c + 1) algebricamente dà abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Questo è equivalente all'OM per un brevetto (treble: abc ; double: ab , ac e bc ; singoli: a , b e c ) più 1 . Quindi per calcolare i ritorni di un Brevetto vincente basta moltiplicare ( a + 1), ( b + 1) e ( c + 1) tra loro e sottrarre 1 per ottenere l' OM della scommessa vincente, cioè OM = ( a + 1)( b + 1)( c + 1) − 1 . Ora moltiplica per la puntata unitaria per ottenere il rendimento totale della scommessa.

Es. Il Brevetto vincitore descritto in precedenza può essere valutato più rapidamente e semplicemente da quanto segue:

Rendimento totale = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) − 1] = £ 99,33

Ignorando eventuali bonus, un Lucky 63 di 50 pence a tratta (punta totale £ 63) con 4 vincitori [2-1, 5-2, 7-2 (tutti 1 ⁄ 5 probabilità di piazzamento) e 6-4 ( 1 ⁄ 4 odds a place)] e un ulteriore cavallo piazzato [9-2 ( 1 ⁄ 5 odds a place)] possono essere calcolati relativamente facilmente come segue:

Restituisce (parte vincente) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) − 1] = £ 172,75

o più semplicemente come 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 − 1)

Restituisce (posizione parte) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) − 1 ] = 11,79 €

o più semplicemente come 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 − 1)

Rendimento totale = £ 184,54

Per la famiglia di scommesse a copertura totale che non includono le singole viene effettuato un aggiustamento del calcolo per lasciare solo le doppie, le triple e le cumulative. Pertanto, uno Yankee vincente di £ 10 descritto in precedenza con vincitori a 1-3, 5-2, 6-4 e Evens ha rendimenti calcolati da:

£10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) − 1 − [(1/3 + 1) + (5/ 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £ 999,16

In effetti, la scommessa è stata calcolata come un Lucky 15 meno le singole. Si noti che il valore totale restituito di £ 999,16 è un centesimo superiore al valore calcolato in precedenza poiché questo metodo più rapido prevede solo l'arrotondamento della risposta finale e non l'arrotondamento ad ogni singolo passaggio.

In termini algebrici l' OM per la scommessa Yankee è dato da:

OM = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)( d + 1) − 1 − ( a + b + c + d )

Nei giorni prima che il software diventasse disponibile per l'uso da parte dei bookmaker e di coloro che regolano le scommesse negli uffici di scommesse autorizzati (LBO), questo metodo era praticamente di rigore per risparmiare tempo ed evitare i calcoli ripetitivi multipli necessari per regolare le scommesse del tipo a copertura totale.

Stabilire altri tipi di scommesse vincenti

Su e giù

Round Robin

Un Round Robin con 3 vincitori viene calcolato come una Trixie più tre scommesse Up e Down con 2 vincitori ciascuna.

Un Round Robin con 2 vincitori viene calcolato come una puntata doppia più una su e giù con 2 vincitori più due puntate su e giù con 1 vincitore ciascuna.

Un Round Robin con 1 vincitore viene calcolato come due puntate Up e Down con un vincitore ciascuna.

Le scommesse Flag e Super Flag possono essere calcolate in modo simile a quanto sopra, utilizzando l'appropriata scommessa full cover (se vi sono sufficienti vincitori) insieme al numero richiesto di 2 scommesse Up e Down vincitore e 1 vincitore.

Nota: gli esperti di scommesse prima dell'introduzione del software per la determinazione delle scommesse avrebbero invariabilmente utilizzato un metodo di tipo algebrico insieme a un semplice calcolatore per determinare il rendimento di una scommessa (vedi sotto).

Interpretazione algebrica

Se a , b , c , d ... rappresentano le quote decimali , cioè (quote frazionarie + 1), allora un 'moltiplicatore di probabilità' OM può essere calcolato algebricamente moltiplicando le espressioni ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1)... ecc. insieme nel modo richiesto e aggiungendo o sottraendo componenti aggiuntivi. Se necessario, (quota decimale + 1) può essere sostituito da (quota frazionaria + 2).

Esempi

Guarda anche

• Pronostici di calcio dell'associazione statistica
• Glossario delle scommesse offerte dai bookmaker del Regno Unito

Appunti

Riferimenti

• Cortis, D. (2015). "Valori attesi e varianza nei pagamenti dei bookmaker: un approccio teorico verso la definizione di limiti alle quote". Giornale dei mercati di previsione. 1. 9.
• Sidney, C (1976). L'arte del legging, Maxline International.
• Sidney, C (2003). The Art of Legging: The History, Theory, and Practice of Bookmaking on the English Turf , 3a edizione, Rotex Publishing 2003, 224pp. ISBN  978-1-872254-06-7 . 3a edizione definitiva, ampiamente rivista e aggiornata sulla storia, la teoria, la pratica e la matematica del bookmaking, oltre alla matematica delle scommesse fuori campo, delle scommesse e del loro calcolo e controllo delle responsabilità .

Ulteriori letture

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• " Come fare un libro ", Phil Bull , London: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160pp.
• " Il libro sul bookmaking ", Ferde Rombola, California: Romford Press, 1984, 147pp. ISBN  978-0-935536-37-9 .
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• I segreti delle scommesse di successo , Michael Adams, Raceform, 2002.
• La matematica dei giochi e del gioco d'azzardo , Edward W. Packel, Mathematical Association of America , 2006.
• La matematica del gioco d'azzardo , Edward O. Thorp, L. Stuart, 1984.
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• "Test dell'efficienza delle scommesse in pista utilizzando le probabilità del bookmaker", Ron Bird, Michael McCrae, Management Science , volume 33, numero 12 (dicembre 1987), pagine 152-156.
• "Perché c'è un pregiudizio tra i preferiti nei mercati delle scommesse sui circuiti britannici", Leighton Vaughan Williams, David Paton. The Economic Journal , volume 107, numero 440 (gennaio 1997), pagine 150-158.
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