Mersenne primo - Mersenne prime

Mersenne primo
Prende il nome Marin Mersenne
N. di termini noti 51
Congetturato n. di termini Infinito
sottosequenza di numeri di Mersenne
Primi termini 3 , 7 , 31 , 127 , 8191
Termine più grande conosciuto 2 82.589.933 − 1 (7 dicembre 2018)
Indice OEIS

Un numero primo di Mersenne è un numero primo che è uno in meno di una potenza di due . Cioè, è un numero primo della forma M n = 2 n − 1 per qualche intero n . Prendono il nome da Marin Mersenne , un frate francese dei Minimi , che li studiò all'inizio del XVII secolo. Se n è un numero composto, allora lo è anche 2 n − 1 . Pertanto, una definizione equivalente dei primi di Mersenne è che sono i numeri primi della forma M p = 2 p − 1per qualche primo p .

I esponenti n che danno primi di Mersenne sono 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (sequenza A000043 in OEIS ) e le conseguenti numeri primi Mersenne sono 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 , ... (sequenza A000668 in OEIS ).

I numeri della forma M n = 2 n − 1 senza il requisito di primalità possono essere chiamati numeri di Mersenne . A volte, tuttavia, i numeri di Mersenne sono definiti per avere il requisito aggiuntivo che n sia primo. Il più piccolo numero di Mersenne composto con esponente primo n è 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 .

I numeri primi di Mersenne sono stati studiati nell'antichità a causa della loro stretta connessione con i numeri perfetti : il teorema di Euclide-Eulero asserisce una corrispondenza biunivoca tra numeri pari perfetti e numeri primi di Mersenne. Molti dei primi più grandi conosciuti sono primi di Mersenne perché i numeri di Mersenne sono più facili da controllare per la primalità.

A partire da ottobre 2020, sono noti 51 numeri primi di Mersenne. Il più grande numero primo noto , 2 82.589.933 − 1 , è un primo di Mersenne. Dal 1997, tutti i nuovi numeri primi di Mersenne sono stati scoperti dal Great Internet Mersenne Prime Search , un progetto di calcolo distribuito . Nel dicembre 2020, è stata superata un'importante pietra miliare nel progetto dopo che tutti gli esponenti al di sotto dei 100 milioni sono stati controllati almeno una volta.

Informazioni sui numeri primi di Mersenne

Problema irrisolto in matematica :

Esistono infiniti numeri primi di Mersenne?

Molte domande fondamentali sui numeri primi di Mersenne rimangono irrisolte. Non è nemmeno noto se l'insieme dei primi di Mersenne sia finito o infinito. La congettura di Lenstra-Pomerance-Wagstaff afferma che ci sono infiniti numeri primi di Mersenne e predice il loro ordine di crescita . Inoltre, non è noto se un numero infinito di numeri di Mersenne con esponenti primi siano composti , sebbene ciò deriverebbe da congetture ampiamente credute sui numeri primi, ad esempio l'infinito dei primi di Sophie Germain congruenti a 3 ( mod 4 ). Per questi primi p , 2 p + 1 (che è anche primo) dividerà M p , ad esempio 23 | M 11 , 47 | M 23 , 167 | M 83 , 263 | M 131 , 359 | M 179 , 383 | M 191 , 479 | M 239 e 503 | M 251 (sequenza A002515 in OEIS ). Poiché per questi primi p , 2 p + 1 è congruente a 7 mod 8, quindi 2 è un residuo quadratico mod 2 p + 1 , e l' ordine moltiplicativo di 2 mod 2 p + 1 deve dividere = p . Poiché p è un primo, deve essere p o 1. Tuttavia, non può essere 1 poiché e 1 non ha fattori primi , quindi deve essere p . Quindi, 2 p + 1 divide e non può essere primo.

I primi quattro primi di Mersenne sono M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 e M 7 = 127 e poiché il primo primo di Mersenne inizia da M 2 , tutti i primi di Mersenne sono congruenti a 3 (mod 4). Oltre a M 0 = 0 e M 1 = 1 , anche tutti gli altri numeri di Mersenne sono congruenti a 3 (mod 4). Di conseguenza, nella scomposizione in  fattori primi di un numero di Mersenne (  ≥  M 2 ) deve esserci almeno un fattore primo congruente a 3 (mod 4).

Un teorema di base sui numeri di Mersenne afferma che se M p è primo, allora anche l'esponente p deve essere primo. Questo segue dall'identità

Questo esclude la primalità per i numeri di Mersenne con un esponente composto, come M 4 = 2 4 − 1 = 15 = 3 × 5 = (2 2 − 1) × (1 + 2 2 ) .

Sebbene gli esempi precedenti possano suggerire che M p è primo per tutti i primi p , non è così, e il controesempio più piccolo è il numero di Mersenne

M 11 = 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 .

L'evidenza a portata di mano suggerisce che un numero di Mersenne selezionato casualmente è molto più probabile che sia primo rispetto a un intero dispari arbitrario selezionato casualmente di dimensioni simili. Tuttavia, i valori primi di M p sembrano crescere sempre più scarsi all'aumentare di p . Ad esempio, otto dei primi 11 primi p danno origine a un primo di Mersenne M p (i termini corretti sulla lista originale di Mersenne), mentre M p è primo solo per 43 dei primi due milioni di numeri primi (fino a 32.452.843).

La mancanza di un semplice test per determinare se un dato numero di Mersenne è primo rende la ricerca dei numeri primi di Mersenne un compito difficile, poiché i numeri di Mersenne crescono molto rapidamente. Il test di primalità di Lucas-Lehmer (LLT) è un test di primalità efficiente che aiuta notevolmente questo compito, rendendo molto più facile testare la primalità dei numeri di Mersenne rispetto a quella della maggior parte degli altri numeri della stessa dimensione. La ricerca del più grande numero primo conosciuto ha un seguito di culto . Di conseguenza, una grande quantità di potenza del computer è stata spesa alla ricerca di nuovi numeri primi di Mersenne, gran parte della quale viene ora eseguita utilizzando il calcolo distribuito .

L'aritmetica modulo un numero di Mersenne è particolarmente efficiente su un computer binario , rendendoli scelte popolari quando si desidera un modulo primo, come il generatore di numeri casuali di Park-Miller . Per trovare un polinomio primitivo di ordine numerico di Mersenne è necessario conoscere la fattorizzazione di quel numero, quindi i primi di Mersenne consentono di trovare polinomi primitivi di ordine molto alto. Tali trinomi primitivi sono usati in generatori di numeri pseudocasuali con periodi molto grandi come il Mersenne twister , il registro a scorrimento generalizzato ei generatori di Fibonacci ritardati .

Numeri perfetti

I primi di Mersenne M p sono strettamente connessi ai numeri perfetti . Nel IV secolo a.C., Euclide dimostrò che se 2 p − 1 è primo, allora 2 p − 1 (2 p − 1 ) è un numero perfetto. Nel 18° secolo, Leonhard Euler dimostrò che, al contrario, tutti i numeri pari perfetti hanno questa forma. Questo è noto come il teorema di Euclide-Eulero . Non è noto se ci siano numeri perfetti dispari .

Storia

2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311
I primi 64 esponenti primi con quelli corrispondenti ai primi di Mersenne ombreggiati in ciano e in grassetto, e quelli ritenuti tali da Mersenne in rosso e grassetto.

I numeri primi di Mersenne prendono il nome dallo studioso francese del XVII secolo Marin Mersenne , che ha compilato quello che doveva essere un elenco di numeri primi di Mersenne con esponenti fino a 257. Gli esponenti elencati da Mersenne erano i seguenti:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

La sua lista replicava i numeri primi conosciuti del suo tempo con esponenti fino a 19. La sua voce successiva, 31, era corretta, ma la lista poi divenne in gran parte errata, poiché Mersenne includeva erroneamente M 67 e M 257 (che sono composti) e ometteva M 61 , M 89 e M 107 (che sono primi). Mersenne ha fornito poche indicazioni su come è arrivato alla sua lista.

Édouard Lucas dimostrò nel 1876 che M 127 è effettivamente primo, come sosteneva Mersenne. Questo fu il più grande numero primo conosciuto per 75 anni fino al 1951, quando Ferrier trovò un numero primo più grande, , usando una calcolatrice da tavolo. M 61 fu determinato come primo nel 1883 da Ivan Mikheevich Pervushin , sebbene Mersenne sostenesse che fosse composto, e per questo motivo a volte viene chiamato numero di Pervushin. Questo era il secondo numero primo più grande conosciuto, e rimase tale fino al 1911. Lucas aveva mostrato un altro errore nell'elenco di Mersenne nel 1876. Senza trovare un fattore, Lucas dimostrò che M 67 è in realtà composto. Nessun fattore è stato trovato fino a un famoso discorso di Frank Nelson Cole nel 1903. Senza dire una parola, è andato a una lavagna e ha alzato 2 alla 67a potenza, quindi ha sottratto uno. Dall'altra parte del tabellone, moltiplicò 193.707.721 × 761.838.257.287 e ottenne lo stesso numero, quindi tornò al suo posto (ad applaudire) senza parlare. In seguito ha detto che il risultato gli ci erano voluti "tre anni di domeniche" per trovare. Un elenco corretto di tutti i numeri primi di Mersenne in questo intervallo di numeri fu completato e rigorosamente verificato solo circa tre secoli dopo che Mersenne pubblicò il suo elenco.

Alla ricerca dei numeri primi di Mersenne

Sono disponibili algoritmi veloci per trovare i primi di Mersenne e, a partire da giugno 2019, gli otto numeri primi più grandi conosciuti sono i primi di Mersenne.

I primi quattro numeri primi di Mersenne M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 e M 7 = 127 erano conosciuti nell'antichità. Il quinto, M 13 = 8191 , fu scoperto anonimo prima del 1461; i due successivi ( M 17 e M 19 ) furono trovati da Pietro Cataldi nel 1588. Dopo quasi due secoli, M 31 fu verificato primo da Leonhard Euler nel 1772. Il successivo (in ordine storico, non numerico) fu M 127 , trovato da Édouard Lucas nel 1876, poi M 61 da Ivan Mikheevich Pervushin nel 1883. Altri due ( M 89 e M 107 ) furono trovati all'inizio del XX secolo, da RE Powers rispettivamente nel 1911 e nel 1914.

Il metodo più efficiente attualmente noto per testare la primalità dei numeri di Mersenne è il test di primalità di Lucas-Lehmer . In particolare, si può dimostrare che per primo p > 2 , M p = 2 p − 1 è primo se e solo se M p divide S p − 2 , dove S 0 = 4 e S k = ( S k − 1 ) 2 − 2 per k > 0 .

Durante l'era del calcolo manuale, tutti gli esponenti fino al 257 compreso sono stati testati con il test di Lucas-Lehmer e trovati compositi. Un notevole contributo è stato dato dal professore di fisica in pensione di Yale Horace Scudder Uhler, che ha effettuato i calcoli per gli esponenti 157, 167, 193, 199, 227 e 229. Sfortunatamente per questi ricercatori, l'intervallo che stavano testando contiene il più grande divario relativo noto tra Primi di Mersenne: il prossimo esponente primo di Mersenne, 521, risulterebbe essere più di quattro volte più grande del precedente record di 127.

Grafico del numero di cifre del numero primo di Mersenne più grande conosciuto per anno: era elettronica. La scala verticale è logaritmica nel numero di cifre, essendo quindi una funzione nel valore del primo.

La ricerca dei numeri primi di Mersenne fu rivoluzionata dall'introduzione del calcolatore elettronico digitale. Alan Turing li cercò sul Manchester Mark 1 nel 1949, ma la prima identificazione riuscita di un numero primo di Mersenne, M 521 , fu ottenuta alle 22:00 del 30 gennaio 1952, utilizzando il National Bureau of Standards Western degli Stati Uniti. Automatic Computer (SWAC) presso l'Institute for Numerical Analysis dell'Università della California, Los Angeles , sotto la direzione di DH Lehmer , con un programma di ricerca per computer scritto e gestito dal Prof. RM Robinson . Fu il primo primo di Mersenne ad essere identificato in trentotto anni; il successivo, M 607 , è stato trovato dal computer poco meno di due ore dopo. Altri tre — M 1279 , M 2203 e M 2281  — sono stati trovati dallo stesso programma nei mesi successivi. M 4.423 è stato il primo primo titanico scoperto , M 44.497 è stato il primo primo gigantesco scoperto e M 6.972.593 è stato il primo megaprimo ad essere scoperto, essendo un numero primo con almeno 1.000.000 di cifre. Il numero di cifre nella rappresentazione decimale di M n è uguale a n × log 10 2⌋ + 1 , dove x denota la funzione floor (o equivalentemente ⌊log 10 M n ⌋ + 1 ).

Nel settembre 2008, i matematici dell'UCLA che hanno partecipato al Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) hanno vinto parte di un premio di $ 100.000 dalla Electronic Frontier Foundation per la scoperta di un numero primo di Mersenne di quasi 13 milioni di cifre. Il premio, finalmente confermato nell'ottobre 2009, è per il primo numero primo noto con almeno 10 milioni di cifre. Il numero primo è stato trovato su un Dell OptiPlex 745 il 23 agosto 2008. Questo è stato l'ottavo numero primo di Mersenne scoperto all'UCLA.

Il 12 aprile 2009, un registro del server GIMPS ha riferito che era stato trovato un 47° Mersenne prime. Il ritrovamento è stato notato per la prima volta il 4 giugno 2009 e verificato una settimana dopo. Il primo è 2 42.643.801 − 1 . Sebbene sia cronologicamente il 47° primo di Mersenne da scoprire, è più piccolo del più grande conosciuto all'epoca, che era il 45° da scoprire.

Il 25 gennaio 2013, Curtis Cooper , un matematico dell'Università del Missouri centrale , ha scoperto un 48° numero primo di Mersenne, 2 57,885.161 - 1 (un numero con 17,425,170 cifre), come risultato di una ricerca eseguita da una rete di server GIMPS.

Il 19 gennaio 2016, Cooper ha pubblicato la sua scoperta di un 49° numero primo di Mersenne, 2 74.207.281 − 1 (un numero con 22.338.618 cifre), a seguito di una ricerca eseguita da una rete di server GIMPS. Questo è stato il quarto numero primo di Mersenne scoperto da Cooper e dal suo team negli ultimi dieci anni.

Il 2 settembre 2016, la Great Internet Mersenne Prime Search ha terminato la verifica di tutti i test al di sotto di M 37.156.667 , confermando così ufficialmente la sua posizione come 45th Mersenne Prime.

Il 3 gennaio 2018 è stato annunciato che Jonathan Pace, un ingegnere elettrico di 51 anni che vive a Germantown, nel Tennessee , aveva trovato un 50esimo numero primo di Mersenne, 2 77.232.917 − 1 (un numero con 23.249.425 cifre), come risultato di una ricerca eseguita da una rete di server GIMPS. La scoperta è stata fatta da un computer negli uffici di una chiesa della stessa cittadina.

Il 21 dicembre 2018 è stato annunciato che The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ha scoperto il più grande numero primo conosciuto, 2 82.589.933 - 1 , con 24.862.048 cifre. Un computer offerto volontariamente da Patrick Laroche di Ocala, in Florida, ha effettuato la scoperta il 7 dicembre 2018.

Alla fine del 2020, GIMPS ha iniziato a utilizzare una nuova tecnica per escludere potenziali numeri primi di Mersenne chiamata test Probable prime (PRP), basata sullo sviluppo di Robert Gerbicz nel 2017, e un modo semplice per verificare i test sviluppati da Krzysztof Pietrzak nel 2018. A causa di il basso tasso di errore e la facilità di dimostrazione, questo ha quasi dimezzato il tempo di calcolo per escludere potenziali numeri primi sul test di Lucas-Lehmer (poiché due utenti non dovrebbero più eseguire lo stesso test per confermare il risultato dell'altro), sebbene gli esponenti che superano il test di Lucas-Lehmer Il test PRP ne richiede ancora uno per confermare la loro primalità.

Teoremi sui numeri di Mersenne

  1. Se a e p sono numeri naturali tali che a p − 1 è primo, allora a = 2 oppure p = 1 .
    • Dimostrazione : a 1 ( mod a − 1) . Allora a p ≡ 1 (mod a − 1) , quindi a p − 1 ≡ 0 (mod a − 1) . Quindi a − 1 | un p − 1 . Tuttavia, a p − 1 è primo, quindi a − 1 = a p − 1 o a − 1 = ± 1 . Nel primo caso, a = a p , quindi a = 0, 1 (che è una contraddizione, poiché né -1 né 0 sono primi) o p = 1. Nel secondo caso, a = 2 o a = 0 . Se a = 0 , tuttavia, 0 p − 1 = 0 − 1 = −1 che non è primo. Pertanto, a = 2 .
  2. Se 2 p − 1 è primo, allora p è primo.
    • Prova : Supponiamo che p sia composito, quindi può essere scritta p = ab con un e b > 1 . Allora 2 p − 1 = 2 ab − 1 = (2 a ) b − 1 = (2 a − 1) ( (2 a ) b −1 + (2 a ) b −2 + … + 2 a + 1 ) quindi 2 p − 1 è composto. Per contropositivo, se 2 p − 1 è primo, allora p è primo.
  3. Se p è un primo dispari, allora ogni primo q che divide 2 p − 1 deve essere 1 più un multiplo di 2 p . Questo vale anche quando 2 p − 1 è primo.
    • Ad esempio, 2 5 − 1 = 31 è primo e 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Un esempio composto è 2 11 − 1 = 23 × 89 , dove 23 = 1 + (2 × 11) e 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
    • Dimostrazione : Per il piccolo teorema di Fermat , q è un fattore di 2 q −1 − 1 . Poiché q è un fattore di 2 p − 1 , per tutti gli interi positivi c , anche q è un fattore di 2 pc − 1 . Poiché p è primo e q non è un fattore di 2 1 − 1 , p è anche il più piccolo intero positivo x tale che q è un fattore di 2 x − 1 . Di conseguenza, per tutti gli interi positivi x , q è un fattore di 2 x − 1 se e solo se p è un fattore di x . Pertanto, poiché q è un fattore di 2 q −1 − 1 , p è un fattore di q − 1 quindi q ≡ 1 (mod p ) . Inoltre, poiché q è un fattore di 2 p − 1 , che è dispari, q è dispari. Pertanto, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
    • Questo fatto porta ad una dimostrazione del teorema di Euclide , che asserisce l'infinito dei primi, distinta dalla dimostrazione scritta da Euclide: per ogni primo dispari p , tutti i primi che dividono 2 p − 1 sono maggiori di p ; quindi ci sono sempre primi più grandi di qualsiasi particolare primo.
    • Segue da questo fatto che per ogni primo p > 2 , esiste almeno un primo della forma 2 kp +1 minore o uguale a M p , per qualche intero k .
  4. Se p è un primo dispari, allora ogni primo q che divide 2 p − 1 è congruente a ±1 (mod 8) .
    • Dimostrazione : 2 p +1 ≡ 2 (mod q ) , quindi 2 1/2(p+1) è una radice quadrata di 2 mod q . Per reciprocità quadratica , ogni modulo primo in cui il numero 2 ha una radice quadrata è congruente a ±1 (mod 8) .
  5. Un primo di Mersenne non può essere un primo di Wieferich .
    • Dimostrazione : Mostriamo se p = 2 m − 1 è un primo di Mersenne, allora la congruenza 2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) non vale. Per il piccolo teorema di Fermat, m | p − 1 . Pertanto, si può scrivere p − 1 = . Se la congruenza data è soddisfatta, allora p 2 | 2 − 1 , quindi 0 ≡2 − 1/2 m − 1 = 1 + 2 m + 2 2 m + ... + 2 ( λ − 1) m ≡ − λ mod (2 m − 1) . Quindi 2 m − 1 | λ , e quindi λ ≥ 2 m − 1 . Questo porta a p − 1 ≥ m (2 m − 1) , che è impossibile poiché m ≥ 2 .
  6. Se m ed n sono numeri naturali, allora m ed n sono coprimi se e solo se 2 m − 1 e 2 n − 1 sono coprimi. Di conseguenza, un numero primo divide al massimo un numero di Mersenne con esponente primo. Cioè, l'insieme dei perniciosi numeri di Mersenne è coprimo a coppie.
  7. Se p e 2 p + 1 sono entrambi primi (il che significa che p è un numero primo di Sophie Germain ) e p è congruente a 3 (mod 4) , allora 2 p + 1 divide 2 p − 1 .
    • Esempio : 11 e 23 sono entrambi primi, e 11 = 2 × 4 + 3 , quindi 23 divide 2 11 − 1 .
    • Prova : Sia q essere 2 p + 1 . Per il piccolo teorema di Fermat, 2 2 p ≡ 1 (mod q ) , quindi o 2 p ≡ 1 (mod q ) o 2 p ≡ −1 (mod q ) . Supponendo che quest'ultimo sia vero, allora 2 p +1 = (21/2( p + 1) ) 2 ≡ −2 (mod q ) , quindi −2 sarebbe un residuo quadratico mod q . Tuttavia, poiché p è congruente a 3 (mod 4) , q è congruente a 7 (mod 8) e quindi 2 è un residuo quadratico mod q . Inoltre, poiché q è congruente a 3 (mod 4) , −1 è un nonresiduoquadratico mod q , quindi −2 è il prodotto di un residuo e un non residuo e quindi è un non residuo, il che è una contraddizione. Quindi, la prima congruenza deve essere vera e 2 p + 1 divide M p .
  8. Tutti i divisori composti dei numeri di Mersenne con esponente primo sono pseudoprimi forti in base 2.
  9. Ad eccezione di 1, un numero di Mersenne non può essere una potenza perfetta. Cioè, e in accordo con il teorema di Mihăilescu , l'equazione 2 m − 1 = n k non ha soluzioni dove m , n e k sono interi con m > 1 e k > 1 .

Elenco dei primi di Mersenne conosciuti

A partire da ottobre 2021, i 51 primi di Mersenne conosciuti sono 2 p − 1 per i seguenti p :

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 4311616092071, 52878 82589933. (sequenza A000043 in OEIS )

Fattorizzazione di numeri di Mersenne composti

Poiché sono numeri primi, i numeri primi di Mersenne sono divisibili solo per 1 e per se stessi. Tuttavia, non tutti i numeri di Mersenne sono primi di Mersenne. I numeri di Mersenne sono ottimi casi di test per l' algoritmo del crivello dei campi numerici speciali , quindi spesso il numero più grande fattorizzato con questo algoritmo è stato un numero di Mersenne. A giugno 2019, 2 1.193 − 1 è il detentore del record, essendo stato fattorizzato con una variante del setaccio speciale del campo numerico che consente la fattorizzazione di più numeri contemporaneamente. Vedere i record di fattorizzazione di interi per i collegamenti a ulteriori informazioni. Il crivello del campo numerico speciale può fattorizzare i numeri con più di un fattore grande. Se un numero ha solo un fattore molto grande, altri algoritmi possono fattorizzare numeri più grandi trovando prima fattori piccoli e quindi eseguendo un test di primalità sul cofattore. A partire da luglio 2021, la più grande fattorizzazione con fattori primi probabili consentita è 2 10.443.557 − 1 = 37.289.325.994.807 × q , dove q è un probabile primo di 3.143.811 cifre. È stato scoperto da un partecipante a GIMPS con il soprannome "fre_games". A luglio 2021, il numero di Mersenne M 1277 è il numero di Mersenne composto più piccolo senza fattori noti; non ha fattori primi inferiori a 2 68 .

La tabella seguente mostra fattorizzazione per i primi 20 numeri di Mersenne compositi (sequenza A244453 in OEIS ).

P M p Fattorizzazione di M p
11 2047 23 × 89
23 8388607 47 × 178.481
29 536870911 233 × 1.103 × 2.089
37 137438953471 223 × 616.318.177
41 2199023255551 13.367 × 164.511.353
43 8796093022207 431 × 9.719 × 2.099.863
47 140737488355327 2.351 × 4.513 × 13.264.529
53 9007199254740991 6.361 × 69.431 × 20.394.401
59 57646075230343487 179.951 × 3.203.431.780.337 (13 cifre)
67 147573952589676412927 193.707.721 × 761.838.257.287 (12 cifre)
71 2361183241434822606847 228.479 × 48.544.121 × 212.885.833
73 9444732965739290427391 439 × 2.298.041 × 9.361.973.132.609 (13 cifre)
79 604462909807314587353087 2.687 × 202.029.703 × 1.113.491.139.767 (13 cifre)
83 967140655691...033397649407 167 × 57.912.614.113.275.649.087,721 (23 cifre)
97 158456325028...187087900671 11.447 × 13.842.607.235.828.485.645.766.393 (26 cifre)
101 253530120045...993406410751 7.432.339.208.719 (13 cifre) × 341.117.531.003.194.129 (18 cifre)
103 101412048018...973625643007 2.550.183.799 × 3.976.656.429.941.438.590.393 (22 cifre)
109 649037107316...312041152511 745.988.807 × 870.035.986.098.720.987.332.873 (24 cifre)
113 103845937170...992658440191 3.391 × 23.279 × 65.993 × 1.868.569 × 1.066.818.132.868.207 (16 cifre)
131 272225893536...454145691647 263 × 10.350.794.431.055.162.386.718.619.237.468.234.569 (38 cifre)

Il numero di fattori per i primi 500 numeri di Mersenne possono essere trovate all'indirizzo (sequenza A046800 in OEIS ).

Numeri di Mersenne in natura e non solo

Nel problema matematico Torre di Hanoi , la risoluzione di un enigma con una torre di n dischi richiede M n passaggi, supponendo che non vengano commessi errori. Il numero di chicchi di riso sull'intera scacchiera nel problema del grano e della scacchiera è M 64 .

L' asteroide con numero di pianeta minore 8191 è chiamato 8191 Mersenne da Marin Mersenne, perché 8191 è un primo di Mersenne ( 3 Juno , 7 Iris , 31 Euphrosyne e 127 Johanna sono stati scoperti e nominati durante il XIX secolo).

In geometria , un triangolo rettangolo intero che è primitivo e ha la gamba pari una potenza di 2 (  ≥ 4  ) genera un triangolo rettangolo unico tale che il suo raggio è sempre un numero di Mersenne. Ad esempio, se il cateto pari è 2 n  + 1, poiché è primitivo, vincola il cateto dispari a 4 n  − 1 , l' ipotenusa a 4 n  + 1 e il suo raggio a 2 n  − 1 .

I numeri di Mersenne sono stati studiati rispetto al numero totale di cammini di accettazione delle macchine di Turing a tempo polinomiale non deterministiche nel 2018 e sono state scoperte interessanti inclusioni.

Primi di Mersenne-Fermat

Un numero di Mersenne-Fermat è definito come2 p r − 1/2 p r − 1 − 1, con p primo, r numero naturale, e può essere scritto come MF( p , r ) . Quando r = 1 , è un numero di Mersenne. Quando p = 2 , è un numero di Fermat . Gli unici primi di Mersenne-Fermat conosciuti con r > 1 sono

MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2) e MF(59, 2) .

Infatti, MF ( p , r ) = Φ p r (2) , dove Φ è il polinomio ciclotomico .

generalizzazioni

I primi di Mersenne generalizzati più semplici sono i numeri primi della forma f (2 n ) , dove f ( x ) è un polinomio di basso grado con coefficienti interi piccoli . Un esempio è 2 64 − 2 32 + 1 , in questo caso n = 32 e f ( x ) = x 2x + 1 ; un altro esempio è 2 192 − 2 64 − 1 , in questo caso n = 64 e f ( x ) = x 3x − 1 .

È anche naturale cercare di generalizzare i primi della forma 2 n − 1 ai primi della forma b n − 1 (per b ≠ 2 e n > 1 ). Tuttavia (vedi anche i teoremi sopra ), b n − 1 è sempre divisibile per b − 1 , quindi a meno che quest'ultimo non sia un'unità , il primo non è un primo. Ciò può essere risolto consentendo a b di essere un intero algebrico anziché un intero:

Numeri complessi

Nel anello degli interi (su numeri reali ), se B - 1 è un'unità , allora b è 2 o 0. Ma 2 n - 1 sono i soliti numeri primi di Mersenne, e la formula 0 n - 1 non porta a nulla interessante (poiché è sempre −1 per ogni n > 0 ). Quindi, possiamo considerare un anello di "interi" su numeri complessi invece che su numeri reali , come gli interi di Gauss e gli interi di Eisenstein .

Primi di Mersenne gaussiani

Se consideriamo l' anello degli interi gaussiani , otteniamo il caso b = 1 + i e b = 1 − i , e possiamo chiedere ( WLOG ) per cui n il numero (1 + i ) n − 1 è un primo gaussiano che quindi essere chiamato un primo di Mersenne gaussiano .

(1 + i ) n − 1 è un primo gaussiano per il seguente n :

2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160.423, 203.789, 364.289, 991.961, 1.203.793, 1.667.321, 3.704.053, 4.792.057, ... (sequenza A057429 in OEIS )

Come la sequenza di esponenti per i soliti primi di Mersenne, questa sequenza contiene solo numeri primi (razionali).

Come per tutti i primi gaussiani, le norme (cioè i quadrati dei valori assoluti) di questi numeri sono primi razionali:

5, 13, 41, 113, 2113, 525.313, 536.903.681, 140.737.471.578.113, ... (sequenza A182300 in OEIS ).

Eisenstein Mersenne primi

Si può incontrare casi in cui tale numero primo di Mersenne è anche un primo Eisenstein , essendo di forma B = 1 + ω e B = 1 - ω . In questi casi, tali numeri sono chiamati primi di Eisenstein Mersenne .

(1 + ω ) n − 1 è un primo di Eisenstein per il seguente n :

2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (sequenza A066408 in OEIS )

Le norme (cioè i quadrati dei valori assoluti) di questi primi di Eisenstein sono primi razionali:

7, 271, 2269, 176.419, 129.159.847, 1.162.320,517 mila, ... (sequenza A066413 in OEIS )

Dividi un intero

Repunit primi

L'altro modo per affrontare il fatto che b n − 1 è sempre divisibile per b − 1 , è semplicemente togliere questo fattore e chiedere quali valori di n fanno

essere primo. (L'intero b può essere positivo o negativo.) Se, ad esempio, prendiamo b = 10 , otteniamo n valori di:

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109.297, 270.343, ... (sequenza A004023 in OEIS ),
corrispondenti a numeri primi 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... (sequenza A004022 in OEIS ).

Questi numeri primi sono chiamati primi repunit. Un altro esempio è quando prendiamo b = -12 , otteniamo n valori di:

2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (sequenza A057178 in OEIS ),
corrispondenti a numeri primi -11, 19141, 57154490053, ....

È una congettura che per ogni intero b che non è una potenza perfetta , esistono infiniti valori di n tali cheb n - 1/b − 1è primo. (Quando b è una potenza perfetta, si può dimostrare che esiste al massimo un valore n tale cheb n - 1/b − 1 è primo)

Almeno n tale cheb n - 1/b − 1è primo sono (a partire da b = 2 , 0 se non esiste tale n )

2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (sequenza A084740 nella OEIS )

Per basi negative b , sono (a partire da b = -2 , 0 se non esiste tale n )

3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (sequenza A084742 nella OEIS ) (notare che questa sequenza OEIS non consente n = 2 )

Base minima b tale cheb primo( n ) − 1/b − 1 è primo sono

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (sequenza A066180 in OEIS )

Per basi negative b , sono

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (sequenza A103795 in OEIS )

Altri primi di Mersenne generalizzati

Un altro numero di Mersenne generalizzato è

con a , b qualsiasi intero coprimo , a > 1 e a < b < a . (Poiché a nb n è sempre divisibile per ab , la divisione è necessaria affinché ci sia qualche possibilità di trovare numeri primi. Infatti, questo numero è lo stesso del numero di Lucas U n ( a + b , ab ) , dal momento che un e b sono le radici della equazione quadratica x 2 - ( a + b ) x + ab = 0 , e questo numero è uguale a 1 quando n = 1 ) possiamo chiedere che n rende questo numero primo. Si può dimostrare che tali n devono essere primi o uguali a 4, e n può essere 4 se e solo se a + b = 1 e a 2 + b 2 è primo. (Da quandoa 4b 4/ab= ( un + b )( un 2 + b 2 ) . Quindi, in questo caso la coppia ( a , b ) deve essere ( x + 1, − x ) e x 2 + ( x + 1) 2 deve essere primo. Cioè, x deve essere in OEISA027861 .) È una congettura che per ogni coppia ( a , b ) tale che per ogni numero naturale r > 1 , a e b non siano entrambi perfetti r th potenze, e -4 ab non è una quarta potenza perfetta . esistono infiniti valori di n tali chea nb n/abè primo. (Quando a e b sono entrambe potenze r- esimo perfette per un r > 1 o quando -4 ab è una quarta potenza perfetta, si può dimostrare che ci sono al massimo due n valori con questa proprietà, poiché se è così, alloraa nb n/abpuò essere scomposto in fattori algebrici) Tuttavia, questo non è stato dimostrato per nessun singolo valore di ( a , b ) .

Per ulteriori informazioni, vedere
un B numeri n tali chea nb n/abè primo
(alcuni termini grandi sono solo probabili primi , questi n sono verificati fino a 100000 per | b | ≤ 5 o | b | = a − 1 , 20000 per 5 < | b | < a − 1 )
Sequenza OEIS
2 1 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 431161,09, 578 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ... A000043
2 −1 3, 4 * , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ... A000978
3 2 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ... A057468
3 1 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ... A028491
3 −1 2 * , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, ... A007658
3 -2 3, 4 * , 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ... A057469
4 3 2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ... A059801
4 1 2 (nessun altro)
4 −1 2 * , 3 (nessun altro)
4 -3 3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271, ... A128066
5 4 3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ... A059802
5 3 13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ... A121877
5 2 2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ... A082182
5 1 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ... A004061
5 −1 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ... A057171
5 -2 2 * , 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ... A082387
5 -3 2 * , 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ... A122853
5 −4 4 * , 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ... A128335
6 5 2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ... A062572
6 1 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ... A004062
6 −1 2 * , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ... A057172
6 −5 3, 4 * , 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ... A128336
7 6 2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ... A062573
7 5 3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ... A128344
7 4 2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ... A213073
7 3 3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ... A128024
7 2 3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ... A215487
7 1 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... A004063
7 −1 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ... A057173
7 -2 2 * , 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ... A125955
7 -3 3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ... A128067
7 −4 2 * , 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ... A218373
7 −5 2 * , 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ... A128337
7 −6 3, 53, 83, 487, 743, ... A187805
8 7 7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ... A062574
8 5 2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ... A128345
8 3 2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ... A128025
8 1 3 (nessun altro)
8 −1 2 * (nessun altro)
8 -3 2 * , 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ... A128068
8 −5 2 * , 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ... A128338
8 −7 4 * , 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ... A181141
9 8 2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ... A059803
9 7 3, 5, 7, 4703, 30113, ... A273010
9 5 3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821, ... A128346
9 4 2 (nessun altro)
9 2 2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ... A173718
9 1 (nessuno)
9 −1 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ... A057175
9 -2 2 * , 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ... A125956
9 −4 2 * , 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ... A211409
9 −5 3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ... A128339
9 −7 2 * , 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ... A301369
9 −8 3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ... A187819
10 9 2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ... A062576
10 7 2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ... A273403
10 3 2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ... A128026
10 1 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... A004023
10 −1 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... A001562
10 -3 2 * , 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ... A128069
10 −7 2 * , 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ...
10 −9 4 * , 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ... A217095
11 10 3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ... A062577
11 9 5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ... A273601
11 8 2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ... A273600
11 7 5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ... A273599
11 6 2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ... A273598
11 5 5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ... A128347
11 4 3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ... A216181
11 3 3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ... A128027
11 2 2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ... A210506
11 1 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ... A005808
11 −1 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ... A057177
11 -2 3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ... A125957
11 -3 3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ... A128070
11 −4 2 * , 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ... A224501
11 −5 7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ... A128340
11 −6 2 * , 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ...
11 −7 7, 1163, 4007, 10159, ...
11 −8 2 * , 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ...
11 −9 2 * , 3, 17, 41, 43, 59, 83, ...
11 −10 53, 421, 647, 1601, 35527, ... A185239
12 11 2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ... A062578
12 7 2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ... A273814
12 5 2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ... A128348
12 1 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... A004064
12 −1 2 * , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... A057178
12 −5 2 * , 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ... A128341
12 −7 2 * , 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ...
12 −11 47, 401, 509, 8609, ... A213216

* Nota: se b < 0 e n è pari, i numeri n non sono inclusi nella sequenza OEIS corrispondente.

Una congettura relativa ai primi di Mersenne generalizzati: (la congettura predice dov'è il prossimo primo di Mersenne generalizzato, se la congettura è vera, allora ci sono infiniti numeri primi per tutte queste coppie ( a , b ) )

Per qualsiasi interi a e b che soddisfano le condizioni:

  1. a > 1 ,a < b < a .
  2. a e b sono coprimi . (quindi, b non può essere 0)
  3. Per ogni numero naturale r > 1 , un e b non sono entrambi perfetti r ° poteri. (poiché quando a e b sono entrambe potenze r- esime perfette , si può dimostrare che ci sono al massimo due n valori tali chea nb n/abè primo, e questi n valori sono r stesso o una radice di r , o 2)
  4. -4 ab non è una quarta potenza perfetta (se è così, allora il numero ha fattorizzazione aurifeuillea ).

ha numeri primi della forma

per primo p , i numeri primi saranno distribuiti vicino alla linea di miglior adattamento

dove

e ci sono circa

numeri primi di questa forma minori di N .

  • e è la base del logaritmo naturale .
  • γ è la costante di Eulero-Mascheroni .
  • log a è il logaritmo in base a .
  • R ( a , b ) ( n ) è l' n- esimo numero primo della formaun pb p/abper primo p .
  • C è una costante di adattamento dei dati che varia con a e b .
  • δ è una costante adattamento dati che varia con un e b .
  • m è il più grande numero naturale tale che a e b sono entrambi perfetti 2 m − 1 th potenze.

Abbiamo anche le seguenti tre proprietà:

  1. Il numero di numeri primi della forma un pb p/ab(con primo p ) minore o uguale a n è circa e γ log a (log a ( n )) .
  2. Il numero atteso di numeri primi della forma un pb p/abcon primo p compreso tra n e an è circa e γ .
  3. La probabilità che il numero della forma un pb p/abè primo (per primo p ) è circae γ/p log e ( a ).

Se questa congettura è vera, allora per tutte queste coppie ( a , b ) , sia q l' n- esimo primo della formaun pb p/ab, il grafico di log a (log a ( q )) rispetto a n è quasi lineare. (Vedere )

Quando a = b + 1 , è ( b + 1) nb n , una differenza di due potenze n- esime perfette consecutive , e se a nb n è primo, allora a deve essere b + 1 , perché è divisibile per ab .

I minimi n tali che ( b + 1) nb n sia primo sono

2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (sequenza A058013 nel OEIS )

Il minimo b tale che ( b + 1) primo( n )b primo( n ) sia primo are

1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (sequenza A222119 in OEIS )

Guarda anche

Riferimenti

link esterno

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