Logica modale - Modal logic

La logica modale è una raccolta di sistemi formali originariamente sviluppati e ancora ampiamente utilizzati per rappresentare affermazioni su necessità e possibilità . Gli operatori modali unari di base (1 posto) sono spesso interpretati "□" per "Necessariamente" e "◇" per "Possibilmente".

In una logica modale classica , ciascuno può essere espresso nei termini dell'altro e della negazione in una dualità di De Morgan :

${\displaystyle \Diamond P\leftrightarrow \lnot \Box \lnot P,\quad \quad \Box P\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot P}$

La formula modale può essere letta utilizzando l'interpretazione di cui sopra come "se P è necessario, allora è anche possibile", che è quasi sempre ritenuto valido . Questa interpretazione degli operatori modali come necessità e possibilità è chiamata logica modale aletica . Esistono logiche modali di altre modalità, come "□" per "Obbligatorio" e "◇" per "Permesso" in logica modale deontica , dove questa stessa formula significa "se P è obbligatorio, allora è ammissibile", che è anche quasi sempre ritenuto valido. ${\displaystyle \Box P\rightarrow \Diamond P}$

I primi sistemi assiomatici modali furono sviluppati da CI Lewis nel 1912, basandosi su una tradizione informale che risale ad Aristotele . La semantica relazionale per la logica modale è stata sviluppata da Arthur Prior , Jaakko Hintikka e Saul Kripke a metà del ventesimo secolo. In questa semantica, alle formule vengono assegnati valori di verità relativi a un mondo possibile . Il valore di verità di una formula in un mondo possibile può dipendere dai valori di verità di altre formule in altri mondi possibili accessibili . In particolare, la possibilità equivale alla verità in un mondo possibile accessibile, mentre la necessità equivale alla verità in ogni mondo possibile accessibile.

La logica modale viene spesso definita "la logica della necessità e della possibilità", e tali applicazioni continuano a svolgere un ruolo importante nella filosofia del linguaggio , nell'epistemologia , nella metafisica e nella semantica formale . Tuttavia, l'apparato matematico della logica modale si è dimostrato utile in numerosi altri campi, tra cui la teoria dei giochi , la teoria morale e legale , il web design , la teoria degli insiemi basata sul multiverso e l'epistemologia sociale . Un importante libro di testo sulla teoria dei modelli della logica modale suggerisce che può essere visto più in generale come lo studio dei sistemi formali che adottano una prospettiva locale sulle strutture relazionali .

Semantica

Semantica relazionale

Nozioni di base

La semantica standard per la logica modale è chiamata semantica relazionale . In questo approccio, la verità di una formula è determinata rispetto a un punto che è spesso chiamato mondo possibile . Per una formula che contiene un operatore modale, il suo valore di verità può dipendere da ciò che è vero in altri mondi accessibili . Pertanto, la semantica relazionale interpreta formule di logica modale utilizzando modelli definiti come segue.

• Un modello relazionale è una tupla in cui:${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle}$

1. ${\displaystyle W}$ è un insieme di mondi possibili
2. ${\displaystyle R}$ è una relazione binaria su ${\displaystyle W}$
3. ${\displaystyle V}$è una funzione di valutazione che assegna un valore di verità a ciascuna coppia di una formula atomica e un mondo, (ovvero dov'è l'insieme delle formule atomiche)${\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}}$${\displaystyle F}$

Il set è spesso chiamato l' universo . La relazione binaria è chiamata relazione di accessibilità e controlla quali mondi possono "vedersi" l'un l'altro per determinare ciò che è vero. Ad esempio, significa che il mondo è accessibile da mondo . Vale a dire, lo stato di cose noto come è una possibilità viva per . Infine, la funzione è nota come funzione di valutazione . Determina quali formule atomiche sono vere in quali mondi. ${\displaystyle W}$${\displaystyle R}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V}$

Quindi definiamo ricorsivamente la verità di una formula in un mondo in un modello : ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ modelli P}$ se ${\displaystyle V(w,P)=1}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}}, w\models \neg P}$ se ${\displaystyle senza \models P}$
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ modelli (P \ cuneo Q)}$se e${\displaystyle con\modelli P}$${\displaystyle con\modelli Q}$
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ modelli \ Box P}$se per ogni elemento di , se allora${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}}, w\models \Diamond P}$se per qualche elemento di , tiene quello e${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u\models P}$

Secondo questa semantica, una formula è necessaria rispetto a un mondo se vale per ogni mondo accessibile da . È possibile se tiene in qualche mondo accessibile da . La possibilità dipende quindi dalla relazione di accessibilità , che ci permette di esprimere la natura relativa della possibilità. Ad esempio, potremmo dire che date le nostre leggi della fisica non è possibile per gli esseri umani viaggiare più velocemente della velocità della luce, ma che date altre circostanze sarebbe stato possibile farlo. Utilizzando il rapporto di accessibilità possiamo tradurre questo scenario come segue: A tutti i mondi accessibili al nostro mondo, non è il caso che gli esseri umani possono viaggiare più veloce della velocità della luce, ma in uno di questi mondi accessibili c'è un altro mondo accessibile da quei mondi ma non accessibile dal nostro in cui gli umani possono viaggiare più velocemente della velocità della luce. ${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle R}$

Cornici e completezza

La sola scelta della relazione di accessibilità a volte può essere sufficiente a garantire la verità o la falsità di una formula. Ad esempio, si consideri un modello la cui relazione di accessibilità è riflessiva . Poiché la relazione è riflessiva, la avremo per qualsiasi indipendentemente dalla funzione di valutazione utilizzata. Per questo motivo i logici modali a volte parlano di frame , che sono la porzione di un modello relazionale che esclude la funzione di valutazione. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P}$${\displaystyle con sol}$

• Un frame relazionale è una coppia in cui è un insieme di mondi possibili, è una relazione binaria su .${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$

I diversi sistemi di logica modale sono definiti utilizzando condizioni quadro . Un telaio è chiamato:

• riflessiva se w R w , per ogni w in G
• simmetrico se w R u implica u R w , per tutti w e u in G
• transitivo se w R u e u R q insieme implicano w R q , per ogni w , u , q in G .
• seriale se, per ogni w in G esiste una u in G tale che w R u .
• Euclidea se, per ogni u , t , e w , w R u e w R t implica u R t (per simmetria, implica anche t R u )

Le logiche che scaturiscono da queste condizioni quadro sono:

• K  := nessuna condizione
• D  := seriale
• T  := riflessivo
• B  := riflessivo e simmetrico
• S4  := riflessivo e transitivo
• S5  := riflessivo ed euclideo

La proprietà euclidea insieme alla riflessività produce simmetria e transitività. (La proprietà euclidea può essere ottenuta anche dalla simmetria e dalla transitività.) Quindi se la relazione di accessibilità R è riflessiva ed euclidea, R è dimostrabilmente anche simmetrica e transitiva . Quindi per i modelli di S5, R è una relazione di equivalenza , perché R è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Possiamo provare che questi frame producono lo stesso insieme di frasi valide come fanno i frame in cui tutti i mondi possono vedere tutti gli altri mondi di W ( cioè , dove R è una relazione "totale"). Questo fornisce il grafico modale corrispondente che è totalmente completo ( cioè , non possono essere aggiunti più archi (relazioni). Ad esempio, in qualsiasi logica modale basata sulle condizioni del frame:

${\displaystyle w\models\Diamond P}$se e solo se per qualche elemento u di G , vale che e w R u .${\displaystyle u\models P}$

Se consideriamo i frame basati sulla relazione totale possiamo semplicemente dire che

${\displaystyle w\models\Diamond P}$se e solo se per qualche elemento u di G , vale che .${\displaystyle u\models P}$

Possiamo eliminare la clausola di accessibilità da quest'ultima clausola perché in tali frame totali è banalmente vero per tutti w e u che w R u . Ma nota che questo non deve essere il caso in tutti i frame S5, che possono ancora essere costituiti da più parti completamente collegate tra loro ma ancora scollegate l'una dall'altra.

Tutti questi sistemi logici possono essere definiti anche assiomaticamente, come mostrato nella sezione successiva. Ad esempio, in S5 valgono gli assiomi , e (corrispondenti rispettivamente a simmetria , transitività e riflessività ), mentre almeno uno di questi assiomi non vale in ciascuna delle altre logiche più deboli. ${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$${\displaystyle \Box P\implies P}$

Semantica topologica

La logica modale è stata interpretata anche utilizzando strutture topologiche. Ad esempio, la semantica interiore interpreta le formule della logica modale come segue.

Un modello topologico è una tupla in cui è uno spazio topologico ed è una funzione di valutazione che mappa ogni formula atomica su un sottoinsieme di . La semantica interna di base interpreta le formule della logica modale come segue: ${\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau,V\rangle}$${\displaystyle \langle X,\tau \rangle}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathrm {X}, x\modelli P}$ se ${\displaystyle x\in V(p)}$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \neg \phi }$ se ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\not \models \phi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi}$se e${\displaystyle \mathrm {X},x\models\phi}$${\displaystyle \mathrm {X},x\models\chi}$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \Box \phi }$se per alcuni abbiamo sia quello che quello per tutti${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi }$${\displaystyle y\in U}$

Gli approcci topologici sussumono quelli relazionali, consentendo logiche modali non normali . La struttura aggiuntiva che forniscono consente anche un modo trasparente di modellare determinati concetti come l'evidenza o la giustificazione che si ha per le proprie convinzioni. La semantica topologica è ampiamente utilizzata in lavori recenti in epistemologia formale e ha antecedenti in lavori precedenti come le logiche per controfattuali di David Lewis e Angelika Kratzer .

Sistemi assiomatici

Le prime formalizzazioni della logica modale furono assiomatiche . Numerose varianti con proprietà molto diverse sono state proposte da quando CI Lewis iniziò a lavorare nell'area nel 1912. Hughes e Cresswell (1996), ad esempio, descrivono 42 logiche modali normali e 25 non normali. Zeman (1973) descrive alcuni sistemi che Hughes e Cresswell omettono.

Le moderne trattazioni della logica modale iniziano aumentando il calcolo proposizionale con due operazioni unarie, una che denota "necessità" e l'altra "possibilità". La notazione di CI Lewis , molto usata da allora, denota "necessariamente p " con una "scatola" prefissata (□ p ) il cui ambito è stabilito da parentesi. Allo stesso modo, un prefisso "diamante" (◇ p ) denota "forse p ". Indipendentemente dalla notazione, ciascuno di questi operatori è definibile nei termini dell'altro nella logica modale classica:

• □ p (necessariamente p ) è equivalente a ¬◇¬ p ("non è possibile che non- p ")
• ◇ p (possibilmente p ) è equivalente a ¬□¬ p ("non necessariamente non- p ")

Quindi □ e ◇ formano una doppia coppia di operatori.

In molte logiche modali, gli operatori necessità e la possibilità di soddisfare i seguenti analoghi di de leggi di Morgan da algebra booleana :

"Non è necessario che X " sia logicamente equivalente a "È possibile che non X ".

"Non è possibile che X " sia logicamente equivalente a "È necessario che non X ".

Precisamente quali assiomi e regole debbano essere aggiunti al calcolo proposizionale per creare un sistema utilizzabile di logica modale è questione di opinione filosofica, spesso guidata dai teoremi che si desidera dimostrare; o, in informatica, è una questione di quale tipo di sistema computazionale o deduttivo si vuole modellare. Molte logiche modali, note collettivamente come logiche modali normali , includono la seguente regola e assioma:

• N , Regola di necessità : Se p è un teorema (di qualsiasi sistema che invoca N ), allora anche □ p è un teorema.
• K , Assioma della distribuzione : □( p → q ) → (□ p → □ q ).

I più deboli logica modale normale , denominato " K " in onore di Saul Kripke , è semplicemente il calcolo proposizionale potenziata da □, la regola N , e l'assioma K . K è debole in quanto non riesce a determinare se una proposizione può essere necessaria ma solo contingentemente necessaria. Cioè, non è un teorema di K che se □ p è vero allora □□ p è vero, cioè che le verità necessarie sono "necessariamente necessarie". Se tali perplessità sono ritenute forzate e artificiali, questo difetto di K non è grande. In ogni caso, risposte diverse a tali domande producono diversi sistemi di logica modale.

L'aggiunta di assiomi a K dà origine ad altri noti sistemi modali. Non si può provare in K che se " p è necessario" allora p è vero. L'assioma T rimedia a questo difetto:

• T , Assioma della riflessività : □ p → p (Se p è necessario, allora p è il caso.)

T vale nella maggior parte ma non in tutte le logiche modali. Zeman (1973) descrive alcune eccezioni, come S1 ⁰ .

Altri assiomi elementari ben noti sono:

• 4 :${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$
• B :${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$
• D :${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$
• 5 :${\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}$

Questi producono i sistemi (assiomi in grassetto, sistemi in corsivo):

• K  := K + N
• T  := K + T
• S4  := T + 4
• S5  := T + 5
• D  := K + D .

Da K a S5 formano una gerarchia di sistemi nidificata, che costituisce il nucleo della normale logica modale . Ma regole o gruppi di regole specifici possono essere appropriati per sistemi specifici. Ad esempio, in logica deontica , (Se dovrebbe essere che p , allora è permesso che p ) sembra appropriato, ma probabilmente non dovremmo includerlo . In effetti, farlo significa commettere l' appello alla fallacia della natura (cioè affermare che ciò che è naturale è anche buono, dicendo che se p è il caso, p dovrebbe essere permesso). ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$

Il sistema comunemente impiegato S5 rende semplicemente necessarie tutte le verità modali. Ad esempio, se p è possibile, allora è "necessario" che p sia possibile. Inoltre, se p è necessario, allora è necessario che p sia necessario. Sono stati formulati altri sistemi di logica modale, anche perché S5 non descrive ogni tipo di modalità di interesse.

Teoria della prova strutturale

Calcoli successivi e sistemi di deduzione naturale sono stati sviluppati per diverse logiche modali, ma si è dimostrato difficile combinare la generalità con altre caratteristiche attese da buone teorie della prova strutturale , come la purezza (la teoria della prova non introduce nozioni extra-logiche come etichette ) e analiticità (le regole logiche supportano un concetto pulita di prova analitica ). Calcoli più complessi sono stati applicati alla logica modale per raggiungere la generalità.

Metodi di decisione

I tableaux analitici forniscono il metodo decisionale più diffuso per le logiche modali.

Logiche modali in filosofia

Logica aletica

Modalità di necessità e possibilità sono chiamati aletiche modalità. A volte sono anche chiamate modalità speciali , dal latino specie . La logica modale è stata inizialmente sviluppata per affrontare questi concetti e solo in seguito è stata estesa ad altri. Per questo motivo, o forse per la loro familiarità e semplicità, necessità e la possibilità spesso casualmente trattati come l' oggetto della logica modale. Inoltre, è più facile dare un senso alla necessità relativizzante, ad esempio giuridica, fisica, nomologica , epistemica e così via, piuttosto che relativizzare altre nozioni.

Nella logica modale classica si dice che una proposizione è

• possibile se non è necessariamente falso (indipendentemente dal fatto che sia effettivamente vero o effettivamente falso);
• necessario se non è possibilmente falso (cioè vero e necessariamente vero);
• contingente se non è necessariamente falso e non necessariamente vero (cioè possibile ma non necessariamente vero);
• impossibile se non è possibilmente vero (cioè falso e necessariamente falso).

Nella logica modale classica, quindi, la nozione di possibilità o necessità può essere considerata basilare, laddove queste altre nozioni sono definite in termini di essa alla maniera della dualità di De Morgan . La logica modale intuizionista tratta la possibilità e la necessità come non perfettamente simmetriche.

Ad esempio, supponiamo che mentre camminiamo verso il minimarket passiamo davanti alla casa di Friedrich e osserviamo che le luci sono spente. Sulla via del ritorno, osserviamo che sono stati accesi.

• "Qualcuno o qualcosa ha acceso le luci" è necessario .
• "Friedrich ha acceso le luci", "Il compagno di stanza di Friedrich Max ha acceso le luci" e "Un ladro di nome Adolf ha fatto irruzione nella casa di Friedrich e ha acceso le luci" sono contingenti .
• Tutte le affermazioni di cui sopra sono possibili .
• È impossibile che Socrate (che è morto da oltre duemila anni) abbia acceso le luci.

(Naturalmente, questa analogia non applica la modalità aletica in modo veramente rigoroso; per farlo, dovrebbe assiomaticamente fare affermazioni come "gli esseri umani non possono risorgere dai morti", "Socrate era un essere umano e non un vampiro immortale", e "non abbiamo preso droghe allucinogene che ci hanno fatto credere erroneamente che le luci fossero accese", all'infinito . La certezza assoluta della verità o della menzogna esiste solo nel senso di concetti astratti logicamente costruiti come "è impossibile disegnare un triangolo con quattro lati" e "tutti gli scapoli non sono sposati".)

Per coloro che hanno difficoltà con il concetto di qualcosa che è possibile ma non vero, il significato di questi termini può essere reso più comprensibile pensando a più "mondi possibili" (nel senso di Leibniz ) o "universi alternativi"; qualcosa di "necessario" è vero in tutti i mondi possibili, qualcosa di "possibile" è vero in almeno un mondo possibile. Queste "semantiche del mondo possibile" sono formalizzate con la semantica di Kripke .

Possibilità fisica

Qualcosa è fisicamente o nomicamente, possibile se è consentito dalle leggi della fisica . Ad esempio, si pensa che la teoria attuale consenta l'esistenza di un atomo con un numero atomico di 126, anche se non esistono tali atomi. Al contrario, mentre è logicamente possibile accelerare oltre la velocità della luce , la scienza moderna stabilisce che non è fisicamente possibile per le particelle o le informazioni materiali.

Possibilità metafisica

I filosofi discutono se gli oggetti hanno proprietà indipendenti da quelle dettate dalle leggi scientifiche. Ad esempio, potrebbe essere metafisicamente necessario, come hanno pensato alcuni sostenitori del fisicalismo , che tutti gli esseri pensanti abbiano un corpo e possano sperimentare il passare del tempo . Saul Kripke ha sostenuto che ogni persona ha necessariamente i genitori che ha loro: chiunque abbia genitori diversi non sarebbe la stessa persona.

Si è pensato che la possibilità metafisica fosse più restrittiva della semplice possibilità logica (cioè, meno cose sono metafisicamente possibili di quelle logicamente possibili). Tuttavia, la sua esatta relazione (se esiste) con la possibilità logica o con la possibilità fisica è oggetto di controversia. I filosofi non sono d'accordo anche sul fatto che le verità metafisiche siano necessarie semplicemente "per definizione", o se riflettano alcuni fatti profondi sottostanti sul mondo, o qualcos'altro completamente.

Logica epistemica

Le modalità epistemiche (dal greco episteme , conoscenza), si occupano della certezza delle frasi. L'operatore □ è tradotto come "x sa che..." e l'operatore ◇ è tradotto come "Per quanto ne sa x, può essere vero che..." Nel linguaggio ordinario entrambe le modalità metafisiche ed epistemiche sono spesso espresse in parole simili; i seguenti contrasti possono aiutare:

Una persona, Jones, potrebbe ragionevolmente dire sia : (1) "No, è non è possibile che Bigfoot esiste, io sono abbastanza sicuro di che"; e , (2) "Certo, è possibile che i Bigfoot possano esistere". Ciò che Jones intende con (1) è che, date tutte le informazioni disponibili, non rimane alcun dubbio sull'esistenza di Bigfoot. Questa è un'affermazione epistemica. Con (2) fa l' affermazione metafisica che è possibile che Bigfoot esista, anche se non lo fa : non c'è ragione fisica o biologica che grandi creature bipedi senza piume con capelli folti non possano esistere nelle foreste del Nord America (indipendentemente dal fatto che lo facciano o meno). Allo stesso modo, "è possibile che la persona che legge questa frase sia alta quattordici piedi e si chiami Chad" è metafisicamente vero (a tale persona non sarebbe in qualche modo impedito di farlo a causa della sua altezza e del nome), ma non eticamente vero a meno che corrisponde a quella descrizione, e non è epistemicamente vero se si sa che esseri umani alti quattordici piedi non sono mai esistiti.

Dall'altra direzione, Jones potrebbe dire, (3) "È possibile che la congettura di Goldbach sia vera; ma anche possibile che sia falsa", e anche (4) "se è vera, allora è necessariamente vera, e non forse falso". Qui significa Jones che è epistemicamente possibile che sia vero o falso, per tutto quello che sa (congettura di Goldbach non è stata provata true o false), ma se c'è è una prova (finora non scoperto), allora sarebbe dimostrare che si tratta di non è logicamente possibile che la congettura di Goldbach sia falsa: non potrebbe esserci un insieme di numeri che la violasse. La possibilità logica è una forma di possibilità aletica ; (4) afferma se è possibile (cioè logicamente parlando) che una verità matematica sia stata falsa, ma (3) afferma solo se è possibile, per quanto ne sa Jones, (cioè parlando di certezza) che l'affermazione matematica è specificamente vera o falsa, e così ancora una volta Jones non si contraddice. Vale la pena osservare che Jones non è necessariamente corretto: è possibile (epistemicamente) che la congettura di Goldbach sia sia vera che indimostrabile.

Le possibilità epistemiche riguardano anche il mondo reale in un modo che le possibilità metafisiche non fanno. Le possibilità metafisiche riguardano il modo in cui il mondo avrebbe potuto essere, ma le possibilità epistemiche riguardano il modo in cui il mondo potrebbe essere (per quanto ne sappiamo). Supponiamo, per esempio, che io voglia sapere se prendere o meno l'ombrello prima di partire. Se mi dici "è possibile che fuori piova" – nel senso di possibilità epistemica – allora questo peserebbe se prendo o meno l'ombrello. Ma se mi dici solo che "è possibile che fuori piova" – nel senso di possibilità metafisica – allora non sto meglio per questo pezzo di illuminazione modale.

Alcune caratteristiche della logica modale epistemica sono in discussione. Ad esempio, se x sa che p , x sa che sa che p ? Vale a dire, □ P → □□ P dovrebbe essere un assioma in questi sistemi? Sebbene la risposta a questa domanda non sia chiara, c'è almeno un assioma che è generalmente incluso nella logica modale epistemica, perché è minimamente vero per tutte le logiche modali normali (vedi la sezione sui sistemi assiomatici ):

• K , Assioma della distribuzione : .${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

Ci si è chiesti se le modalità epistemica e aletica debbano essere considerate distinte l'una dall'altra. La critica afferma che non c'è vera differenza tra "la verità nel mondo" (alethic) e "la verità nella mente di un individuo" (epistemica). Un'indagine non ha trovato un solo linguaggio in cui si distinguano formalmente modalità aletiche ed epistemiche, come per mezzo di un modo grammaticale .

Logica temporale

La logica temporale è un approccio alla semantica delle espressioni con tempo , cioè espressioni con qualifiche di quando. Alcune espressioni, come '2 + 2 = 4', sono sempre vere, mentre espressioni tese come 'John è felice' sono vere solo a volte.

Nella logica temporale, le costruzioni tese sono trattate in termini di modalità, dove un metodo standard per formalizzare il discorso del tempo consiste nell'utilizzare due coppie di operatori, uno per il passato e uno per il futuro (P significherà semplicemente "è attualmente il caso che P'). Per esempio:

F P  : A volte accadrà che P

G P  : Sarà sempre il caso che P

P P  : A volte capitava che P

H P  : È sempre stato così che P

Ci sono quindi almeno tre logiche modali che possiamo sviluppare. Ad esempio, possiamo stabilire che,

${\displaystyle \Diamante P}$= P è il caso in un certo momento t

${\displaystyle \Box P}$= P è il caso in ogni momento t

Oppure possiamo scambiare questi operatori per occuparci solo del futuro (o del passato). Per esempio,

${\displaystyle \Diamante _{1}P}$= F P

${\displaystyle \Box _{1}P}$= G P

o,

${\displaystyle \Diamante _{2}P}$= P e/o F P

${\displaystyle \Box _{2}P}$= P e G P

Gli operatori F e G possono sembrare inizialmente estranei, ma creano normali sistemi modali . Nota che F P è lo stesso di ¬ G ¬ P . Possiamo combinare gli operatori di cui sopra per formare dichiarazioni complesse. Ad esempio, P P → □ P P dice (efficacemente), Tutto ciò che è passato e vero è necessario .

Sembra ragionevole dire che forse domani pioverà, e forse no; d'altra parte, poiché non possiamo cambiare il passato, se è vero che ieri ha piovuto, probabilmente non è vero che ieri potrebbe non aver piovuto. Sembra che il passato sia "fisso", o necessario, in un modo che non lo è il futuro. Questo è a volte indicato come necessità accidentale . Ma se il passato è "fisso" e tutto ciò che è nel futuro alla fine sarà nel passato, allora sembra plausibile dire che anche gli eventi futuri sono necessari.

Allo stesso modo, il problema dei contingenti futuri considera la semantica delle asserzioni sul futuro: è vera una delle proposizioni "Domani ci sarà una battaglia navale" o "Domani non ci sarà una battaglia navale"? La considerazione di questa tesi indusse Aristotele a rifiutare il principio di bivalenza per le asserzioni riguardanti il ​​futuro.

Ulteriori operatori binari sono rilevanti anche per le logiche temporali, qv Logica temporale lineare .

Versioni della logica temporale possono essere utilizzate in informatica per modellare le operazioni del computer e dimostrare teoremi su di esse. In una versione, ◇ P significa "in un momento futuro nel calcolo è possibile che lo stato del computer sarà tale che P è vero"; □ P significa "in tutti i tempi futuri nel calcolo P sarà vero". In un'altra versione, ◇ P significa "allo stato immediatamente successivo del calcolo, P potrebbe essere vero"; □ P significa "allo stato immediatamente successivo del calcolo, P sarà vero". Questi differiscono nella scelta della relazione di Accessibilità . (P significa sempre "P è vero allo stato corrente del computer".) Questi due esempi implicano calcoli non deterministici o non completamente compresi; esistono molte altre logiche modali specializzate per diversi tipi di analisi del programma. Ognuno porta naturalmente ad assiomi leggermente diversi.

Logica deontica

Allo stesso modo, parlare di moralità, o di obbligo e norme in generale, sembra avere una struttura modale. La differenza tra "Devi fare questo" e "Puoi farlo" assomiglia molto alla differenza tra "Questo è necessario" e "Questo è possibile". Tali logiche sono chiamate deontiche , dal greco "dovere".

Le logiche deontiche comunemente mancano dell'assioma T semanticamente corrispondente alla riflessività della relazione di accessibilità nella semantica di Kripke : nei simboli, . Interpretando come "è obbligatorio che", T dice informalmente che ogni obbligo è vero. Ad esempio, se è obbligatorio non uccidere gli altri (cioè uccidere è moralmente proibito), allora T implica che le persone in realtà non uccidono gli altri. Il conseguente è ovviamente falso. ${\displaystyle \Box \phi \to \phi }$

Invece, usando la semantica di Kripke , diciamo che sebbene il nostro mondo non realizzi tutti gli obblighi, i mondi ad esso accessibili lo fanno (cioè, T tiene a questi mondi). Questi mondi sono chiamati mondi idealizzati. P è obbligatorio rispetto al nostro mondo se non tutti i mondi idealizzati accessibili al nostro mondo, P sostiene. Sebbene questa sia stata una delle prime interpretazioni della semantica formale, è stata recentemente oggetto di critiche.

Un altro principio spesso (almeno tradizionalmente) accettato come principio deontico è D , , che corrisponde alla serialità (o estensibilità o illimitatezza) della relazione di accessibilità. È un'incarnazione dell'idea kantiana che "il dovere implica il potere". (Chiaramente il "può" può essere interpretato in vari sensi, ad esempio in senso morale o aletico.) ${\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }$

Problemi intuitivi con la logica deontica

Quando proviamo a formalizzare l'etica con la logica modale standard, ci imbattiamo in alcuni problemi. Supponiamo di avere una proposizione K : hai rubato del denaro, e un'altra, Q : hai rubato una piccola somma di denaro. Supponiamo ora di voler esprimere il pensiero che "se hai rubato del denaro, dovrebbe essere una piccola somma di denaro". Ci sono due probabili candidati,

(1) ${\displaystyle (K\to \Box Q)}$

(2) ${\displaystyle \Box (K\to Q)}$

Ma (1) e K insieme implicano □ Q , che dice che dovrebbe essere il caso che tu abbia rubato una piccola somma di denaro. Questo sicuramente non è giusto, perché non avresti dovuto rubare nulla. E nemmeno (2) non funziona: se la rappresentazione corretta di "se hai rubato del denaro dovrebbe essere una piccola quantità" è (2), allora la rappresentazione corretta di (3) "se hai rubato del denaro allora dovrebbe essere una grande quantità" è . Ora supponiamo (come sembra ragionevole) che non dovrebbe rubare nulla, o . Ma allora possiamo dedurre via e (il contropositivo di ); quindi la frase (3) segue dalla nostra ipotesi (ovviamente la stessa logica mostra la frase (2)). Ma non può essere giusto, e non è giusto quando usiamo il linguaggio naturale. Dire a qualcuno che non dovrebbero rubare non implica certamente che dovrebbero rubare grandi quantità di denaro se si impegnano in un furto. ${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box \lnot K}$${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)}$${\ Displaystyle \ Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle Q\to K}$

Logica doxastica

La logica doxastica riguarda la logica della credenza (di un certo insieme di agenti). Il termine doxastic deriva dal greco antico doxa che significa "credenza". Tipicamente, una logica doxastica usa □, spesso scritto "B", per significare "Si crede che", o quando relativizzato a un particolare agente s, "Si crede da s che".

Domande metafisiche

Nell'interpretazione più comune della logica modale, si considerano " mondi logicamente possibili ". Se un'affermazione è vera in tutti i mondi possibili , allora è una verità necessaria. Se un'affermazione è vera nel nostro mondo, ma non è vera in tutti i mondi possibili, allora è una verità contingente. Un'affermazione che è vera in un mondo possibile (non necessariamente il nostro) è chiamata verità possibile.

Sotto questo "idioma dei mondi possibili", per sostenere che l'esistenza di Bigfoot è possibile ma non reale, si dice: "C'è un mondo possibile in cui esiste Bigfoot; ma nel mondo reale, Bigfoot non esiste". Tuttavia, non è chiaro a cosa ci impegni questa affermazione. Stiamo davvero sostenendo l'esistenza di mondi possibili, tanto reali quanto il nostro mondo reale, semplicemente non attuali? Saul Kripke crede che "mondo possibile" sia un termine improprio - che il termine "mondo possibile" sia solo un modo utile per visualizzare il concetto di possibilità. Per lui, le frasi "avresti potuto ottenere un 4 invece di un 6" e "c'è un mondo possibile in cui hai ottenuto un 4, ma hai ottenuto un 6 nel mondo reale" non sono affermazioni significativamente diverse e nemmeno ci impegnano all'esistenza di un mondo possibile. David Lewis , d'altra parte, si è reso noto da mordere la pallottola, affermando che tutti i mondi possibili solo sono reali come la nostra, e che ciò che distingue il nostro mondo come vero e proprio è semplicemente che è davvero il nostro mondo - questo mondo. Questa posizione è un principio fondamentale del " realismo modale ". Alcuni filosofi rifiutano di approvare qualsiasi versione del realismo modale, considerandolo ontologicamente stravagante, e preferiscono cercare vari modi per parafrasare questi impegni ontologici. Robert Adams sostiene che i "mondi possibili" sono meglio pensati come "storie del mondo" o insiemi coerenti di proposizioni. Pertanto, è possibile che tu abbia ottenuto un 4 se tale stato di cose può essere descritto in modo coerente.

Gli informatici sceglieranno generalmente un'interpretazione altamente specifica degli operatori modali specializzati per il particolare tipo di calcolo che viene analizzato. Al posto di "tutti i mondi", potresti avere "tutti i possibili stati futuri del computer" o "tutti i possibili stati futuri del computer".

Ulteriori applicazioni

Le logiche modali hanno iniziato ad essere utilizzate in aree delle discipline umanistiche come la letteratura, la poesia, l'arte e la storia.

Storia

Le idee di base della logica modale risalgono all'antichità. Aristotele sviluppò una sillogistica modale nel libro I dei suoi Prior Analytics (cap. 8-22), che Teofrasto tentò di migliorare. Ci sono anche passaggi nell'opera di Aristotele, come il famoso argomento della battaglia navale nel De Interpretatione §9, che sono ora visti come anticipazioni della connessione della logica modale con la potenza e il tempo. Nel periodo ellenistico, i logici Diodoro Crono , Filone il Dialettico e lo stoico Crisippo svilupparono ciascuno un sistema modale che spiegava l'interdefinibilità di possibilità e necessità, accettando l' assioma T (vedi sotto ), e combinando elementi di logica modale e logica temporale in tenta di risolvere il famigerato Argomento del Maestro . Il primo sistema formale di logica modale fu sviluppato da Avicenna , che alla fine sviluppò una teoria della sillogistica " temporalmente modale". La logica modale come soggetto autocosciente deve molto agli scritti degli Scolastici , in particolare Guglielmo di Ockham e Giovanni Duns Scoto , che ragionavano informalmente in maniera modale, principalmente per analizzare affermazioni sull'essenza e l' accidente .

Nel 19° secolo, Hugh MacColl diede contributi innovativi alla logica modale, ma non trovò molto riconoscimento. CI Lewis fondò la moderna logica modale in una serie di articoli accademici a partire dal 1912 con "Implicazione e algebra della logica". Lewis è stato portato a inventare la logica modale, e in particolare l'implicazione rigorosa , sulla base del fatto che la logica classica concede paradossi di implicazione materiale come il principio che una falsità implica qualsiasi proposizione . Questo lavoro culminò nel suo libro del 1932 Symbolic Logic (con CH Langford ), che introdusse i cinque sistemi da S1 a S5 .

Dopo Lewis, la logica modale ha ricevuto poca attenzione per diversi decenni. Nicholas Rescher ha sostenuto che ciò è avvenuto perché Bertrand Russell l'ha rifiutato. Tuttavia, Jan Dejnozka ha argomentato contro questo punto di vista, affermando che un sistema modale che Dejnozka chiama "MDL" è descritto nelle opere di Russell, sebbene Russell credesse che il concetto di modalità "provenisse dalla confusione di proposizioni con funzioni proposizionali ", come scrisse in L'analisi della materia .

Arthur Norman Prior ha avvertito Ruth Barcan Marcus di prepararsi bene nei dibattiti sulla logica modale quantificata con Willard Van Orman Quine , a causa dei pregiudizi contro la logica modale.

Ruth C. Barcan (in seguito Ruth Barcan Marcus ) sviluppò i primi sistemi assiomatici di logica modale quantificata — estensioni di primo e secondo ordine di S2 , S4 e S5 di Lewis .

L'era contemporanea della semantica modale iniziò nel 1959, quando Saul Kripke (allora solo diciottenne studente dell'Università di Harvard ) introdusse la semantica Kripke ormai standard per la logica modale. Questi sono comunemente indicati come semantica dei "mondi possibili". Kripke e AN Prior avevano precedentemente avuto una certa corrispondenza. La semantica di Kripke è fondamentalmente semplice, ma le dimostrazioni vengono semplificate usando i tableaux semantici o i tableaux analitici , come spiegato da EW Beth .

AN Prior ha creato la moderna logica temporale , strettamente correlata alla logica modale, nel 1957 aggiungendo gli operatori modali [F] e [P] che significano "eventualmente" e "precedentemente". Vaughan Pratt ha introdotto la logica dinamica nel 1976. Nel 1977, Amir Pnueli ha proposto di utilizzare la logica temporale per formalizzare il comportamento di programmi concorrenti che operano continuamente. I sapori della logica temporale includono la logica dinamica proposizionale (PDL), la logica temporale lineare proposizionale (PLTL), la logica temporale lineare (LTL), la logica ad albero di calcolo (CTL), la logica di Hennessy-Milner e T .

La struttura matematica della logica modale, vale a dire le algebre booleane aumentate con operazioni unarie (spesso chiamate algebre modali ), iniziò ad emergere con la dimostrazione del 1941 di JCC McKinsey che S2 e S4 sono decidibili, e raggiunse la piena fioritura nel lavoro di Alfred Tarski e del suo studente Bjarni Jónsson (Jónsson e Tarski 1951-1952). Questo lavoro ha rivelato che S4 e S5 sono modelli di algebra interna , una corretta estensione dell'algebra booleana originariamente progettata per catturare le proprietà degli operatori interni e di chiusura della topologia . I testi sulla logica modale in genere fanno poco più che menzionare le sue connessioni con lo studio delle algebre e della topologia booleane . Per un'analisi approfondita della storia della logica modale formale e della matematica associata, si veda Robert Goldblatt (2006).

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

• Questo articolo include materiale dal Dizionario on-line gratuito di informatica , utilizzato con il permesso ai sensi della GFDL .
• Barcan-Marcus, Ruth JSL 11 (1946) e JSL 112 (1947) e "Modalities", OUP, 1993, 1995.
• Beth, Evert W., 1955. " Implicazione semantica e derivabilità formale ", Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, NR Vol 18, no 13, 1955, pp 309-42. Ristampato in Jaakko Intikka (ed.) The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, 1969 (Semantic Tableaux proof method).
• Beth, Evert W., " Metodi formali: un'introduzione alla logica simbolica e allo studio delle operazioni efficaci in aritmetica e logica ", D. Reidel, 1962 (metodi di prova dei tableaux semantici).
• Blackburn, P.; van Benthem, J. ; e Wolter, Frank; Ed. (2006) Manuale di logica modale . Olanda settentrionale.
• Blackburn, Patrizio; de Rijke, Maarten; e Venema, Yde (2001) Logica modale . Cambridge University Press. ISBN  0-521-80200-8
• Chagrov, Aleksandr; e Zakharyaschev, Michael (1997) Logica modale . La stampa dell'università di Oxford. ISBN  0-19-853779-4
• Chellas, BF (1980) Logica modale: un'introduzione . Cambridge University Press. ISBN  0-521-22476-4
• Cresswell, MJ (2001) "Logica modale" in Goble, Lou; Ed., La guida di Blackwell alla logica filosofica . Basil Blackwell: 136-58. ISBN  0-631-20693-0
• Raccordo, Melvin; e Mendelsohn, RL (1998) Logica modale del primo ordine . Kluwer. ISBN  0-7923-5335-8
• James Garson (2006) Logica modale per filosofi . Cambridge University Press. ISBN  0-521-68229-0 . Un'introduzione approfondita alla logica modale, con copertura di vari sistemi di derivazione e un approccio distintivo all'uso dei diagrammi per facilitare la comprensione.
• Girle, Rod (2000) Logica modale e filosofia . Acume (Regno Unito). ISBN  0-7735-2139-9 . Dimostrazione per alberi di confutazione . Una buona introduzione alle varie interpretazioni della logica modale.
• Goldblatt, Robert (1992) "Logica del tempo e del calcolo", 2a ed., CSLI Lecture Notes n. 7. University of Chicago Press.
• —— (1993) Matematica della modalità , CSLI Lecture Notes n. 43. University of Chicago Press.
• —— (2006) " Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution ", in Gabbay, DM; e boschi, Giovanni; Eds., Manuale di Storia della Logica, Vol. 6 . Elsevier BV.
• Goré, Rajeev (1999) "Metodi tableau per logiche modali e temporali" in D'Agostino, M.; Gabbay, D.; Haehnle, R.; e Posegga, J.; Eds., Manuale dei metodi di Tableau . Kluwer: 297-396.
• Hughes, GE e Cresswell, MJ (1996) Una nuova introduzione alla logica modale . Routledge. ISBN  0-415-12599-5
• Jónsson, B. e Tarski, A. , 1951-1952, "Algebra booleana con operatori I e II", American Journal of Mathematics 73 : 891-939 e 74 : 129-62.
• Kracht, Marcus (1999) Strumenti e tecniche in logica modale , studi in logica e fondamenti della matematica n. 142. Olanda settentrionale.
• Lemmon, EJ (con Scott, D. ) (1977) Un'introduzione alla logica modale , serie di monografie trimestrali filosofiche americane, n. 11 (Krister Segerberg, serie ed.). Basil Blackwell.
• Lewis, CI (con Langford, CH ) (1932). Logica simbolica . Ristampa di Dover, 1959.
• Prior, AN (1957) Tempo e modalità . La stampa dell'università di Oxford.
• Snyder, D. Paul "Modal Logic e le sue applicazioni", Van Nostrand Reinhold Company, 1971 (metodi dell'albero di prova).
• Zeman, JJ (1973) Logica modale. Reide. Impiega la notazione polacca .
• "Storia della logica" , Britannica Online .

Ulteriori letture

• Ruth Barcan Marcus, Modalità , Oxford University Press, 1993.
• DM Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter e M. Zakharyaschev, Logica modale multidimensionale: teoria e applicazioni , Elsevier, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, volume 148, 2003, ISBN  0-444-50826-0 . [Copre molte varietà di logiche modali, ad es. temporale, epistemica, dinamica, descrittiva, spaziale da una prospettiva unificata con enfasi sugli aspetti dell'informatica, ad es. decidibilità e complessità.]
• Andrea Borghini, Un'introduzione critica alla metafisica della modalità , New York: Bloomsbury, 2016.

link esterno

• Enciclopedia Internet della filosofia :
  • " Logica modale: una visione contemporanea " - di Johan van Benthem.
  • " Logica modale di Rudolf Carnap " - di MJ Cresswell.
• Enciclopedia della filosofia di Stanford :
  • " Logica modale " – di James Garson .
  • " Origini moderne della logica modale " – di Roberta Ballarin.
  • " Logica della provabilità " – di Rineke Verbrugge.
• Edward N. Zalta , 1995, " Concetti di base nella logica modale " .
• John McCarthy , 1996, " Logica modale " .
• Molle un prover Java per sperimentare logiche modali
• Suber, Peter, 2002, " Bibliografia della logica modale " .
• Elenco dei sistemi logici Elenco di molte logiche modali con sorgenti, di John Halleck.
• Progressi nella logica modale. Convegno internazionale biennale e collana di libri in logica modale.
• S4prover Un tableaux prover per la logica S4
• " Alcune osservazioni su logica e topologia " – di Richard Moot; espone una semantica topologica per la logica modale S4.
• LoTREC Il prover più generico per logiche modali dell'IRIT/Università di Tolosa