Funzione di Green multiscala - Multiscale Green's function

La funzione di Green multiscala (MSGF) è una versione generalizzata ed estesa della tecnica classica della funzione di Green (GF) per risolvere equazioni matematiche. L'applicazione principale della tecnica MSGF è nella modellazione di nanomateriali . Questi materiali sono molto piccoli, delle dimensioni di pochi nanometri . La modellazione matematica dei nanomateriali richiede tecniche speciali ed è ora riconosciuta come una branca della scienza indipendente. È necessario un modello matematico per calcolare gli spostamenti degli atomi in un cristallo in risposta a una forza applicata statica o dipendente dal tempo al fine di studiare le proprietà meccaniche e fisiche dei nanomateriali. Un requisito specifico di un modello per i nanomateriali è che il modello deve essere multiscala e fornire un collegamento continuo di diverse scale di lunghezza.

La funzione di Green (GF) è stata originariamente formulata dal fisico matematico britannico George Green nell'anno 1828 come tecnica generale per la soluzione delle equazioni degli operatori. È stato ampiamente utilizzato nella fisica matematica negli ultimi quasi duecento anni e applicato a una varietà di campi. Recensioni di alcune applicazioni dei GF come per la teoria di molti corpi e l'equazione di Laplace sono disponibili in Wikipedia. Le tecniche basate su GF sono utilizzate per la modellazione di vari processi fisici in materiali come fononi , struttura a bande elettroniche ed elastostatici .

Applicazione del metodo MSGF per la modellazione di nanomateriali

Il metodo MSGF è una tecnica GF relativamente nuova per la modellazione matematica dei nanomateriali. I modelli matematici vengono utilizzati per calcolare la risposta dei materiali a una forza applicata al fine di simulare le loro proprietà meccaniche. La tecnica MSGF collega diverse scale di lunghezza nella modellazione dei nanomateriali. I nanomateriali sono di dimensioni atomistiche e devono essere modellati su scale di lunghezza dei nanometri. Ad esempio, un nanofilo di silicio , la cui larghezza è di circa cinque nanometri, contiene solo 10-12 atomi per tutta la sua larghezza. Un altro esempio è il grafene e molti nuovi solidi bidimensionali (2D). Questi nuovi materiali sono il massimo della sottigliezza perché sono spessi solo uno o due atomi. La modellazione multiscala è necessaria per tali materiali perché le loro proprietà sono determinate dalla discrezione delle loro disposizioni atomistiche e dalle loro dimensioni complessive.

Il metodo MSGF è multiscala nel senso che collega la risposta dei materiali a una forza applicata su scale atomistiche alla loro risposta su scale macroscopiche. La risposta dei materiali alle scale macroscopiche è calcolata utilizzando il modello continuo dei solidi. Nel modello continuo, la struttura atomistica discreta dei solidi viene mediata in un continuo. Le proprietà dei nanomateriali sono sensibili alla loro struttura atomica e alle loro dimensioni complessive. Sono anche sensibili alla struttura macroscopica del materiale ospite in cui sono incorporati. Il metodo MSGF viene utilizzato per modellare tali sistemi compositi.

Il metodo MSGF viene anche utilizzato per analizzare il comportamento di cristalli contenenti difetti reticolari come vacanze, interstiziali o atomi estranei. Lo studio di questi difetti reticolari è interessante in quanto svolgono un ruolo nella tecnologia dei materiali. La presenza di un difetto in un reticolo sposta gli atomi ospiti dalla loro posizione originale o il reticolo viene distorto. Questo è mostrato in Fig 1 per un reticolo 1D come esempio. La modellazione in scala atomica è necessaria per calcolare questa distorsione vicino al difetto, mentre il modello continuo viene utilizzato per calcolare la distorsione lontano dal difetto. Il MSGF collega perfettamente queste due scale.

Fig. 1 – Un reticolo unidimensionale con piena simmetria traslazionale. I cerchi indicano le posizioni atomiche. Top – Reticolo perfetto in cui tutti gli atomi sono identici; Fondo – Reticolo contenente un unico difetto. L'atomo a L=0 è sostituito da un atomo estraneo che causa distorsione del reticolo. La spaziatura tra l'atomo in L=0 e L=1 viene modificata da a ad a1.

MSGF per i nanomateriali

Il modello MSGF dei nanomateriali tiene conto delle multiparticelle e delle multiscale nei materiali. È un'estensione del metodo della funzione di Green della statica reticolare (LSGF) che è stato originariamente formulato presso l'Atomic Energy Research Establishment Harwell nel Regno Unito nel 1973. In letteratura è indicato anche come metodo Tewary Il metodo LSGF integra la dinamica molecolare (MD) metodo per la modellazione di sistemi multiparticellari. Il metodo LSGF si basa sull'uso del modello Born von Karman (BvK) e può essere applicato a diverse strutture reticolari e difetti. Il metodo MSGF è una versione estesa del metodo LSGF ed è stato applicato a molti nanomateriali e materiali 2D

Alle scale atomistiche, un cristallo o un solido cristallino è rappresentato da un insieme di atomi interagenti situati in siti discreti su un reticolo geometrico. Un cristallo perfetto è costituito da un reticolo geometrico regolare e periodico. Il reticolo perfetto ha simmetria di traslazione, il che significa che tutte le celle unitarie sono identiche. In un reticolo periodico perfetto, che si presume essere infinito, tutti gli atomi sono identici. All'equilibrio si assume che ogni atomo si trovi nel suo sito reticolare. La forza su qualsiasi atomo dovuta ad altri atomi si annulla, quindi la forza netta su ciascun atomo è zero. Queste condizioni si scompongono in un reticolo distorto in cui gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni di equilibrio. La distorsione reticolare può essere causata da una forza applicata esternamente. Il reticolo può anche essere distorto introducendo un difetto nel reticolo o spostando un atomo che disturba la configurazione di equilibrio e induce una forza sui siti del reticolo. Questo è mostrato in Fig. 1. L'obiettivo del modello matematico è calcolare i valori risultanti degli spostamenti atomici.

Il GF nel metodo MSGF viene calcolato minimizzando l'energia totale del reticolo. L'energia potenziale del reticolo sotto forma di una serie infinita di Taylor negli spostamenti atomici nell'approssimazione armonica come segue

${\displaystyle W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _ {L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)}$

dove L e L 'etichettare gli atomi, un e b denotano le coordinate cartesiane, u indica lo spostamento atomico, e - f e K sono il primo e secondo coefficienti della serie di Taylor . Sono definiti da

${\displaystyle f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)}$

e

${\displaystyle K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}} ,\qquad \qquad (3)}$

dove le derivate sono valutate a spostamenti nulli. Il segno negativo viene introdotto nella definizione di f per comodità. Quindi f ( L ) è un vettore 3D che indica la forza sull'atomo L. sue tre componenti cartesiane sono denotati da f _una (L) in cui un = x , y , o z . Allo stesso modo K (L,L') è una matrice 3x3, che è chiamata la matrice della costante di forza tra gli atomi in L e L' . I suoi 9 elementi sono indicati da K _ab ( L , L ′) per a , b = x , y o z .

All'equilibrio, l'energia W è minima. Di conseguenza, la derivata prima di W rispetto a ciascuna u deve essere zero. Questo dà la seguente relazione dall'Eq. (1)

${\displaystyle \sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)}$

Si può dimostrare per sostituzione diretta che la soluzione dell'Eq. (4) può essere scritto come

${\displaystyle u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)}$

dove G è definito dalla seguente relazione di inversione

${\displaystyle \sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b )\delta (L,L').\qquad \qquad (6)}$

Nell'eq. (6), δ ( m , n ) è la funzione delta discreto di due variabili discrete m ed  n . Simile al caso della funzione delta di Dirac per variabili continue, è definita come 1 se m  =  n e 0 altrimenti.

Le equazioni (4)–(6) possono essere scritte nella notazione matriciale come segue:

${\displaystyle {\begin{allineato}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{e }}G&=K^{-1}&&(9)\end{allineato}} }$

Le matrici K e G nelle equazioni precedenti sono matrici quadrate 3 N  × 3 N e u e f sono vettori colonna 3 N -dimensionali, dove N è il numero totale di atomi nel reticolo. La matrice G è la multiparticella GF ed è indicata come funzione di Green della statica reticolare (LSGF). Se G è noto, gli spostamenti atomici per tutti gli atomi possono essere calcolati utilizzando l'Eq. (8).

Uno degli obiettivi principali della modellazione è il calcolo degli spostamenti atomistici u causati da una forza applicata f. Gli spostamenti, in linea di principio, sono dati dall'Eq. (8). Tuttavia, comporta l'inversione della matrice K che è 3N x 3N. Per qualsiasi calcolo di interesse pratico N ~ 10.000 ma preferibilmente un milione per simulazioni più realistiche. L'inversione di una matrice così grande è computazionalmente estesa e sono necessarie tecniche speciali per il calcolo di u. Per reticoli periodici regolari, LSGF è una di queste tecniche. Consiste nel calcolare G in termini della sua trasformata di Fourier, ed è simile al calcolo del fonone GF.

Il metodo LSGF è stato ora generalizzato per includere gli effetti multiscala nel metodo MSGF. Il metodo MSGF è in grado di collegare perfettamente le scale di lunghezza. Questa proprietà è stata utilizzata nello sviluppo di un metodo MSGF ibrido che combina i metodi GF e MD ed è stata utilizzata per simulare nanoinclusioni meno simmetriche come i punti quantici nei semiconduttori.

Per un reticolo perfetto senza difetti, il MSGF collega direttamente le scale atomistiche in LSGF alle scale macroscopiche attraverso il modello continuo. Un reticolo perfetto ha una simmetria di traslazione completa, quindi tutti gli atomi sono equivalenti. In questo caso qualsiasi atomo può essere scelto come origine e G(L,L') può essere espresso da un unico indice (L'-L) definito come

${\displaystyle G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)}$

Il limite asintotico di G ( L ), che soddisfa l'Eq. (10), per grandi valori di R ( L ) è dato da

${\displaystyle \lim _{R(L)\to \infty}[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11 )}$

dove x = R ( L ) è il vettore posizione dell'atomo L , e G _c ( x ) è il continuum Green's function (CGF), che è definita in termini di costanti elastiche e utilizzata nella modellazione di materiali sfusi convenzionali su macroscale . Nell'eq. (11), O(1/ x ⁿ ) è la notazione matematica standard per un termine di ordine 1/ x ⁿ e superiore. Il modulo di G _c ( x ) è O(1/ x ² ). Il LSGF G (0, L ) in questa equazione si riduce gradualmente e automaticamente al CGF per x sufficientemente grande man mano che i termini O(1/ x ⁴ ) diventano gradualmente piccoli e trascurabili. Ciò garantisce il collegamento continuo della scala della lunghezza atomistica alla scala del continuum macroscopico.

Le equazioni (8) e (9) insieme alla relazione limite data dall'Eq. (11), formano le equazioni di base per MSGF. L'equazione (9) fornisce il LSGF, che è valido alle scale atomistiche e l'Eq. (11) lo mette in relazione con il CGF, che è valido alle scale del macro continuum. Questa equazione mostra anche che l'LSGF si riduce senza soluzione di continuità al CGF.

Metodo MSGF per il calcolo dell'effetto di difetti e discontinuità nei nanomateriali

Se un reticolo contiene difetti, la sua simmetria di traslazione è rotta. Di conseguenza, non è possibile esprimere G in termini di una singola variabile di distanza R ( L ). Quindi eq. (10) non è più valido e la corrispondenza tra LSGF e CGF, necessaria per il loro collegamento continuo, si interrompe. In tali casi il MSGF collega le scale del reticolo e del continuo utilizzando la seguente procedura:

Se p indica il cambiamento nella matrice K, causato dal/i difetto/i, la matrice della costante di forza K* per il reticolo difettoso è scritta come

${\displaystyle K^{*}=Kp\qquad \qquad (12)}$

Come nel caso del reticolo perfetto nell'Eq. (9), il corrispondente difetto GF è definito come l'inverso della matrice K* completa . Uso dell'eq. (12), quindi porta alla seguente equazione di Dyson per il difetto LSGF:

${\displaystyle G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)}$

Il metodo MSGF consiste nel risolvere l'Eq. (13) per G* utilizzando la tecnica del partizionamento matriciale o la doppia trasformata di Fourier.

Una volta G * è noto, il vettore spostamento è data dalla seguente equazione GF simile alla Eq. (8):

u = G* f (14)

L'equazione (14) fornisce la soluzione desiderata, cioè gli spostamenti atomici o la distorsione reticolare causata dalla forza f . Tuttavia, non mostra il legame tra il reticolo e le scale multiple del continuum, perché le Eq. (10) e (11) non sono validi per il difetto LSGF G* . Il collegamento tra il reticolo e il modello continuo in caso di reticolo con difetti si ottiene utilizzando una trasformazione esatta descritta di seguito.

Usando l'Eq.(13), l'Eq. La (14) può essere scritta nella seguente forma esattamente equivalente:

u = Gf + G p G* f . (15)

Uso dell'eq. (14) sempre a destra dell'Eq. (15) dà,

u = G f* (16)

dove

f* = f + pu . (17)

Nota che l'eq. (17) definisce una forza effettiva f* tale che le Eq. (14) e (16) sono esattamente equivalenti.

L'equazione (16) esprime gli spostamenti atomici u in termini di G , il perfetto LSGF anche per reticoli con difetti. L'effetto dei difetti è compreso esattamente in f* . Il LSGF G è indipendente da f o f* e si riduce al CGF asintoticamente e uniformemente come indicato nell'Eq. (11). La forza effettiva f* può essere determinata in un calcolo separato utilizzando un metodo indipendente, se necessario, e la statica reticolare o il modello continuo possono essere utilizzati per G . Questa è la base di un modello ibrido che combina MSGF e MD per simulare un punto quantico di germanio in un reticolo di silicio.

L'equazione (16) è l'equazione principale del metodo MSGF. È veramente multiscala. Tutti i contributi atomistici discreti sono inclusi in f*. La funzione di Green G può essere calcolata indipendentemente, che può essere completamente atomistica per i nanomateriali o parzialmente o completamente continua per le macroscale per tenere conto delle superfici e delle interfacce nei sistemi di materiali secondo necessità

Riferimenti