Simulazione N- corpo - N-body simulation

Questo articolo è circa un argomento in fisica. Per la piattaforma di automobili, vedere la piattaforma GM N .
Per problemi di ingegneria e simulazioni che coinvolgono molti componenti, vedere Sistema multicorpo e Simulazione multicorpo .

Una simulazione a N- corpi della formazione cosmologica di un ammasso di galassie in un universo in espansione.

In fisica e astronomia , una simulazione a N- corpi è una simulazione di un sistema dinamico di particelle, solitamente sotto l'influenza di forze fisiche, come la gravità (vedi problema di n- corpi ). Le simulazioni a N- corpi sono strumenti ampiamente utilizzati in astrofisica , dall'investigazione della dinamica dei sistemi a pochi corpi come il sistema Terra - Luna - Sole alla comprensione dell'evoluzione della struttura su larga scala dell'universo . Nella cosmologia fisica , le simulazioni di N- corpi vengono utilizzate per studiare i processi di formazione di strutture non lineari come i filamenti e gli aloni di galassie dovuti all'influenza della materia oscura . Le simulazioni dirette di N- corpi vengono utilizzate per studiare l'evoluzione dinamica degli ammassi stellari .

Natura delle particelle

Le "particelle" trattate dalla simulazione possono o meno corrispondere a oggetti fisici di natura particellare. Ad esempio, una simulazione a N corpi di un ammasso stellare potrebbe avere una particella per stella, quindi ogni particella ha un significato fisico. D'altra parte, una simulazione di una nuvola di gas non può permettersi di avere una particella per ogni atomo o molecola di gas poiché ciò richiederebbe dell'ordine di10 23 particelle per ogni mole di materiale (vedi costante di Avogadro ), quindi una singola "particella" rappresenterebbe una quantità di gas molto più grande (spesso implementata utilizzando l' idrodinamica delle particelle levigate ). Questa quantità non deve avere alcun significato fisico, ma deve essere scelta come compromesso tra precisione e requisiti di gestione del computer.

Simulazioni gravitazionali dirette di N- corpi

Simulazione N-corpi di 400 oggetti con parametri vicini a quelli dei pianeti del Sistema Solare.

Nelle simulazioni di N- corpi gravitazionali dirette, le equazioni del moto di un sistema di N particelle sotto l'influenza delle loro reciproche forze gravitazionali sono integrate numericamente senza approssimazioni semplificative. Questi calcoli vengono utilizzati in situazioni in cui le interazioni tra singoli oggetti, come stelle o pianeti, sono importanti per l'evoluzione del sistema.

Il primo diretta N simulazioni -corpo stati eseguiti da Erik Holmberg al Lund osservatorio nel 1941, determinando le forze tra stelle incontrando galassie tramite l'equivalenza matematica tra propagazione della luce e l'interazione gravitazionale: mettere lampadine nelle posizioni delle stelle e misurazione i flussi luminosi direzionali nelle posizioni delle stelle da una fotocellula, le equazioni del moto possono essere integrate con sforzo. Le prime simulazioni puramente computazionali furono poi fatte da Sebastian von Hoerner presso l' Astronomisches Rechen-Institut di Heidelberg , in Germania. Sverre Aarseth presso l' Università di Cambridge (UK) ha dedicato tutta la sua vita scientifica allo sviluppo di una serie di altamente efficienti N codici -Body per applicazioni astrofisiche che utilizzano adattivi (gerarchiche) intervalli di tempo, un sistema vicino di Ahmad-Cohen e la regolarizzazione dei incontri ravvicinati. La regolarizzazione è un trucco matematico per rimuovere la singolarità nella legge di gravitazione newtoniana per due particelle che si avvicinano arbitrariamente l'una all'altra. I codici di Sverre Aarseth sono usati per studiare la dinamica di ammassi stellari, sistemi planetari e nuclei galattici.

Simulazioni di relatività generale

Molte simulazioni sono abbastanza grandi da rendere significativi gli effetti della relatività generale nello stabilire una cosmologia di Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker . Questo è incorporato nella simulazione come una misura in evoluzione della distanza (o fattore di scala ) in un sistema di coordinate in comovente , che fa rallentare le particelle nelle coordinate in comovente (oltre che a causa dello spostamento verso il rosso della loro energia fisica). Tuttavia, i contributi della relatività generale e della velocità finita della gravità possono essere altrimenti ignorati, poiché le tipiche scale temporali dinamiche sono lunghe rispetto al tempo di attraversamento della luce per la simulazione e la curvatura spazio-temporale indotta dalle particelle e le velocità delle particelle sono piccole . Le condizioni al contorno di queste simulazioni cosmologiche sono solitamente periodiche (o toroidali), in modo che un bordo del volume di simulazione coincida con il bordo opposto.

Ottimizzazioni di calcolo

Le simulazioni con N- corpi sono semplici in linea di principio, perché implicano semplicemente l'integrazione delle 6 N equazioni differenziali ordinarie che definiscono i moti delle particelle nella gravità newtoniana . In pratica, il numero N di particelle coinvolte è solitamente molto grande (le simulazioni tipiche includono molti milioni, la simulazione del Millennio includeva dieci miliardi) e il numero di interazioni particella-particella che devono essere calcolate aumenta dell'ordine di N 2 , e quindi dirette l'integrazione delle equazioni differenziali può essere eccessivamente costosa dal punto di vista computazionale. Pertanto, vengono comunemente utilizzati numerosi perfezionamenti.

L'integrazione numerica viene solitamente eseguita in tempi brevi utilizzando un metodo come l' integrazione a cavallo . Tuttavia, tutte le integrazioni numeriche portano a errori. Passi più piccoli danno errori più bassi ma sono più lenti. L'integrazione di Leapfrog è all'incirca del 2° ordine nel timestep, altri integratori come i metodi Runge-Kutta possono avere una precisione del 4° ordine o molto più alta.

Uno dei perfezionamenti più semplici è che ogni particella porta con sé la propria variabile di passo temporale, in modo che le particelle con tempi dinamici ampiamente diversi non debbano essere tutte evolute in avanti alla velocità di quella con il tempo più breve.

Esistono due schemi di approssimazione di base per ridurre il tempo di calcolo per tali simulazioni. Questi possono ridurre la complessità computazionale a O(N log N) o meglio, a discapito della precisione.

Metodi ad albero

Nei metodi ad albero , come una simulazione di Barnes-Hut , viene solitamente utilizzato un octree per dividere il volume in celle cubiche e solo le interazioni tra particelle provenienti da celle vicine devono essere trattate individualmente; le particelle in celle distanti possono essere trattate collettivamente come una singola grande particella centrata nel centro di massa della cella distante (o come espansione multipolare di ordine basso ). Questo può ridurre drasticamente il numero di interazioni di coppie di particelle che devono essere calcolate. Per evitare che la simulazione venga sommersa dal calcolo delle interazioni particella-particella, le celle devono essere raffinate in celle più piccole nelle parti più dense della simulazione che contengono molte particelle per cella. Per simulazioni in cui le particelle non sono distribuite uniformemente, i metodi di decomposizione di coppie ben separate di Callahan e Kosaraju producono un tempo O( n  log  n ) ottimale per iterazione con dimensione fissa.

Metodo delle mesh di particelle

Un'altra possibilità è il metodo della mesh di particelle in cui lo spazio è discretizzato su una mesh e, ai fini del calcolo del potenziale gravitazionale , si assume che le particelle siano divise tra i vertici vicini della mesh. Trovare l'energia potenziale è facile, perché l' equazione di Poisson

dove G è la costante di Newton ed è la densità (numero di particelle nei punti della maglia), è banale da risolvere usando la trasformata di Fourier veloce per andare al dominio della frequenza dove l'equazione di Poisson ha la forma semplice

dove è il numero d'onda comovente ei cappelli denotano le trasformate di Fourier. Poiché , il campo gravitazionale può ora essere trovato moltiplicando e calcolando la trasformata di Fourier inversa (o calcolando la trasformata inversa e quindi usando qualche altro metodo). Poiché questo metodo è limitato dalla dimensione della mesh, in pratica viene utilizzata una mesh più piccola o qualche altra tecnica (come la combinazione con un albero o un semplice algoritmo particella-particella) per calcolare le forze su piccola scala. A volte viene utilizzata una mesh adattiva, in cui le celle della mesh sono molto più piccole nelle regioni più dense della simulazione.

Ottimizzazioni per casi speciali

Diversi algoritmi di perturbazione gravitazionale vengono utilizzati per ottenere stime abbastanza accurate del percorso degli oggetti nel sistema solare.

Le persone spesso decidono di mettere un satellite in un'orbita congelata . Il percorso di un satellite in orbita ravvicinata alla Terra può essere accuratamente modellato partendo dall'orbita ellittica a 2 corpi attorno al centro della Terra, e aggiungendo piccole correzioni dovute all'oblatezza della Terra , all'attrazione gravitazionale del Sole e della Luna, alla resistenza atmosferica , ecc. È possibile trovare un'orbita congelata senza calcolare il percorso effettivo del satellite.

Il percorso di un piccolo pianeta, una cometa o un veicolo spaziale a lungo raggio può spesso essere accuratamente modellato partendo dall'orbita ellittica di 2 corpi attorno al sole e aggiungendo piccole correzioni dall'attrazione gravitazionale dei pianeti più grandi nelle loro orbite conosciute.

Alcune caratteristiche dei cammini a lungo termine di un sistema di particelle possono essere calcolate direttamente. Il percorso effettivo di una particolare particella non ha bisogno di essere calcolato come passaggio intermedio. Tali caratteristiche includono la stabilità di Lyapunov , il tempo di Lyapunov , varie misurazioni dalla teoria ergodica , ecc.

Sistemi a due particelle

Anche se ci sono milioni o miliardi di particelle nelle simulazioni tipici, che in genere corrispondono a una particella reale con una massa molto grande, tipicamente 10 9 masse solari . Questo può introdurre problemi con interazioni a corto raggio tra le particelle come la formazione di sistemi binari a due particelle . Poiché le particelle sono destinate a rappresentare un gran numero di particelle di materia oscura o gruppi di stelle, queste binarie non sono fisiche. Per evitare ciò, viene utilizzata una legge di forza newtoniana ammorbidita , che non diverge come il raggio dell'inverso del quadrato a brevi distanze. La maggior parte delle simulazioni implementa ciò in modo abbastanza naturale eseguendo le simulazioni su celle di dimensioni finite. È importante implementare la procedura di discretizzazione in modo tale che le particelle esercitino sempre su se stesse una forza nulla.

ammorbidente

L'ammorbidimento è un trucco numerico utilizzato nelle tecniche di N-corpi per prevenire divergenze numeriche quando una particella si avvicina troppo a un'altra (e la forza va all'infinito). Questo si ottiene modificando il potenziale gravitazionale regolarizzato di ciascuna particella come

(anziché 1/r) dove è il parametro di rammollimento. Il valore del parametro di ammorbidimento dovrebbe essere impostato su un valore sufficientemente basso da mantenere le simulazioni realistiche.

Incorporare barioni, leptoni e fotoni nelle simulazioni

Molte simulazioni simulano solo la materia oscura fredda , e quindi includono solo la forza gravitazionale. Incorporare barioni , leptoni e fotoni nelle simulazioni aumenta notevolmente la loro complessità e spesso devono essere apportate semplificazioni radicali della fisica sottostante. Tuttavia, questa è un'area estremamente importante e molte simulazioni moderne stanno ora cercando di comprendere i processi che si verificano durante la formazione delle galassie che potrebbero spiegare il bias delle galassie .

Complessità computazionale

Reif e Tate dimostrano che se il n -corpo problema raggiungibilità è definita come segue - proposta n organismi che soddisfano una legge potenziale elettrostatico fisso, determinare se un corpo raggiunge una palla destinazione in un dato tempo vincolato dove si richiede una poli ( n ) bit di la precisione e il tempo target è poly( n ) è in PSPACE .

D'altra parte, se la domanda è se il corpo alla fine raggiunge la palla di destinazione, il problema è PSPACE-hard. Questi limiti si basano su limiti di complessità simili ottenuti per il ray tracing .

Guarda anche

Riferimenti

Ulteriori letture