Teoria quantistica non commutativa dei campi - Noncommutative quantum field theory

In fisica matematica , la teoria quantistica dei campi non commutativa (o teoria quantistica dei campi sullo spaziotempo non commutativo) è un'applicazione della matematica non commutativa allo spaziotempo della teoria quantistica dei campi che è una conseguenza della geometria non commutativa e della teoria dell'indice in cui le funzioni coordinate sono non commutative . Una versione comunemente studiata di tali teorie ha la relazione di commutazione "canonica":

${\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=i\theta ^{\mu \nu }\,\!}$

il che significa che (con un dato insieme di assi), è impossibile misurare con precisione la posizione di una particella rispetto a più di un asse. In effetti, questo porta ad una relazione di indeterminazione per le coordinate analoga al principio di indeterminazione di Heisenberg .

Sono stati rivendicati vari limiti inferiori per la scala non commutativa, (cioè quanto accuratamente possono essere misurate le posizioni) ma attualmente non ci sono prove sperimentali a favore di tale teoria o motivi per escluderli.

Una delle nuove caratteristiche delle teorie di campo non commutative è il fenomeno di miscelazione UV/IR in cui la fisica ad alte energie influenza la fisica a basse energie che non si verifica nelle teorie quantistiche di campo in cui le coordinate commutano.

Altre caratteristiche includono la violazione dell'invarianza di Lorentz dovuta alla direzione preferita della non commutatività. L'invarianza relativistica può tuttavia essere mantenuta nel senso dell'invarianza di Poincaré contorta della teoria. La condizione di causalità è modificata da quella delle teorie commutative.

Storia e motivazione

Heisenberg fu il primo a suggerire di estendere la noncommutatività alle coordinate come un possibile modo per rimuovere le quantità infinite che compaiono nelle teorie di campo prima che la procedura di rinormalizzazione fosse sviluppata e fosse accettata. Il primo articolo sull'argomento fu pubblicato nel 1947 da Hartland Snyder . Il successo del metodo di rinormalizzazione ha comportato per qualche tempo poca attenzione all'argomento. Negli anni '80, i matematici, in particolare Alain Connes , svilupparono la geometria non commutativa . Tra le altre cose, questo lavoro ha generalizzato la nozione di struttura differenziale a un ambiente non commutativo. Ciò ha portato a una descrizione algebrica degli operatori di spazio-tempi non commutativi , con il problema che corrisponde classicamente a una varietà con tensore metrico definito positivamente , in modo che non vi sia alcuna descrizione della causalità (non commutativa) in questo approccio. Tuttavia ha anche portato allo sviluppo di una teoria di Yang-Mills su un toroide non commutativo .

La comunità della fisica delle particelle si è interessata all'approccio non commutativo grazie a un articolo di Nathan Seiberg e Edward Witten . Hanno sostenuto nel contesto della teoria delle stringhe che le funzioni coordinate dei punti finali delle stringhe aperte vincolate a una D-brana in presenza di un campo B di Neveu-Schwarz costante, equivalente a un campo magnetico costante sulla brana, avrebbero soddisfatto il algebra non commutativa di cui sopra. L'implicazione è che una teoria quantistica di campo sullo spaziotempo non commutativo può essere interpretata come un limite di bassa energia della teoria delle stringhe aperte.

Due documenti, uno di Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen e John Roberts e l'altro di DV Ahluwalia, espongono un'altra motivazione per la possibile non commutatività dello spazio-tempo. Gli argomenti sono i seguenti: secondo la relatività generale , quando la densità di energia diventa sufficientemente grande, si forma un buco nero . D'altra parte, secondo il Heisenberg principio di indeterminazione , una misurazione di una separazione spazio-tempo determina un'incertezza nella quantità di moto inversamente proporzionale all'entità della separazione. Quindi l'energia la cui scala corrisponde all'incertezza di quantità di moto è localizzata nel sistema all'interno di una regione corrispondente all'incertezza di posizione. Quando la separazione è abbastanza piccola, viene raggiunto il raggio di Schwarzschild del sistema e si forma un buco nero , che impedisce a qualsiasi informazione di sfuggire al sistema. Quindi c'è un limite inferiore per la misurazione della lunghezza. Una condizione sufficiente per prevenire il collasso gravitazionale può essere espressa come una relazione di incertezza per le coordinate. Questa relazione può a sua volta essere derivata da una relazione di commutazione per le coordinate.

Vale la pena sottolineare che, a differenza di altri approcci, in particolare quelli basati sulle idee di Connes, qui lo spaziotempo non commutativo è uno spaziotempo proprio, cioè estende l'idea di una varietà quadridimensionale pseudo-riemanniana . D'altra parte, a differenza della geometria non commutativa di Connes, il modello proposto risulta essere coordinate dipendenti da zero. Nell'articolo di Doplicher Fredenhagen Roberts la noncommutatività delle coordinate riguarda tutte e quattro le coordinate spazio-temporali e non solo quelle spaziali.

Guarda anche

• Prodotto Moyal
• Geometria non commutativa
• Modello standard non commutativo
• Trasformata di Wigner-Weyl

Note a piè di pagina

Ulteriori letture

• Grensing, Gerhard (2013). Aspetti strutturali della teoria quantistica dei campi e della geometria non commutativa . Scientifico mondiale. doi : 10.1142/8771 . ISBN 978-981-4472-69-2.
• MR Douglas e NA Nekrasov (2001) " Teoria del campo non commutativo ", Rev. Mod. Fis. 73: 977–1029.
• Szabo, R. (2003) " Teoria dei campi quantistici sugli spazi non commutativi ", Physics Reports 378: 207-99. Un articolo espositivo sulle teorie dei campi quantistici non commutativi.
• Teoria dei campi quantistici non commutativi , vedere le statistiche su arxiv.org
• V. Moretti (2003), " Aspetti della geometria Lorentziana non commutativa per spaziotempo globalmente iperbolico ", Rev. Math. Fis. 15: 1171-1218. Un articolo espositivo (anche) sulle difficoltà di estendere la geometria non commutativa al caso Lorentziano che descrive la causalità