Coppia ordinata - Ordered pair

In matematica , una coppia ordinata ( a , b ) è una coppia di oggetti. L'ordine in cui gli oggetti compaiono nella coppia è significativo: la coppia ordinata ( a , b ) è diversa dalla coppia ordinata ( b , a ) a meno che a = b . (Al contrario, la coppia non ordinata { a , b } è uguale alla coppia non ordinata { b , a }.)

Le coppie ordinate sono anche chiamate 2-tuple o sequenze (a volte, elenchi in un contesto informatico) di lunghezza 2. Le coppie ordinate di scalari sono talvolta chiamate vettori bidimensionali . (Tecnicamente, questo è un abuso di terminologia poiché una coppia ordinata non deve necessariamente essere un elemento di uno spazio vettoriale .) Le voci di una coppia ordinata possono essere altre coppie ordinate, consentendo la definizione ricorsiva di n- tuple ordinate (liste ordinate di n oggetti). Ad esempio, la tripla ordinata ( a , b , c ) può essere definita come ( a , ( b , c )), cioè come una coppia annidata in un'altra.

Nella coppia ordinata ( a , b ), l'oggetto a è chiamato il primo elemento e l'oggetto b il secondo elemento della coppia. In alternativa, gli oggetti sono chiamati il ​​primo e il secondo componente , la prima e la seconda coordinata o le proiezioni sinistra e destra della coppia ordinata.

I prodotti cartesiani e le relazioni binarie (e quindi le funzioni ) sono definiti in termini di coppie ordinate.

Generalità

Let and be ordinate coppie. Quindi la caratteristica (o definire ) di proprietà della coppia ordinata è: ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){\text{ se e solo se }}a_{1}=a_{2}{\text{ e }}b_{1}=b_{2}.}$

L' insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo elemento è in un certo insieme A e il cui secondo elemento è in un certo insieme B è chiamato prodotto cartesiano di A e B e scritto A × B . Una relazione binaria tra gli insiemi A e B è un sottoinsieme di A × B .

La notazione ( a , b ) può essere utilizzata per altri scopi, in particolare per indicare intervalli aperti sulla linea dei numeri reali . In tali situazioni, il contesto di solito chiarirà quale significato si intende. Per ulteriori chiarimenti, la coppia ordinata può essere indicata dalla notazione variante , ma questa notazione ha anche altri usi. ${\textstyle\langle a,b\rangle}$

La proiezione sinistra ea destra di una coppia p è generalmente indicato con π ₁ ( p ) e π ₂ ( p ), o da π _ℓ ( p ) e π _R ( p ), rispettivamente. In contesti in cui vengono considerate n- tuple arbitrarie , πⁿ
_io( t ) è una notazione comune per il componente i -esimo di una n- upla t .

Definizioni informali e formali

In alcuni libri di testo introduttivi di matematica viene data una definizione informale (o intuitiva) di coppia ordinata, come ad esempio

Per ogni due oggetti a e b , la coppia ordinata ( a , b ) è una notazione che specifica i due oggetti a e b , in quell'ordine.

Questo è solitamente seguito da un confronto con un insieme di due elementi; sottolineando che in un insieme a e b devono essere diversi, ma in una coppia ordinata possono essere uguali e che mentre l'ordine di elencazione degli elementi di un insieme non ha importanza, in una coppia ordinata cambia l'ordine delle voci distinte la coppia ordinata.

Questa "definizione" è insoddisfacente perché è solo descrittiva e si basa su una comprensione intuitiva dell'ordine . Tuttavia, come a volte viene sottolineato, non verrà alcun danno dall'affidarsi a questa descrizione e quasi tutti pensano alle coppie ordinate in questo modo.

Un approccio più soddisfacente consiste nell'osservare che la proprietà caratteristica delle coppie ordinate di cui sopra è tutto ciò che è richiesto per comprendere il ruolo delle coppie ordinate in matematica. Quindi la coppia ordinata può essere presa come una nozione primitiva , il cui assioma associato è la proprietà caratteristica. Questo è stato l'approccio adottato dal gruppo di N. Bourbaki nella sua Teoria degli insiemi , pubblicata nel 1954. Tuttavia, questo approccio ha anche i suoi svantaggi in quanto sia l'esistenza di coppie ordinate che la loro proprietà caratteristica devono essere assunta in modo assiomatico.

Un altro modo per trattare rigorosamente le coppie ordinate è definirle formalmente nel contesto della teoria degli insiemi. Questo può essere fatto in diversi modi e ha il vantaggio che l'esistenza e la proprietà caratteristica possono essere dimostrate dagli assiomi che definiscono la teoria degli insiemi. Una delle versioni più citate di questa definizione è dovuta a Kuratowski (vedi sotto) e la sua definizione è stata utilizzata nella seconda edizione della Teoria degli insiemi di Bourbaki , pubblicata nel 1970. Anche quei libri di testo di matematica che danno una definizione informale di coppie ordinate spesso citare la definizione formale di Kuratowski in un esercizio.

Definire la coppia ordinata usando la teoria degli insiemi

Se si è d'accordo che la teoria degli insiemi è un fondamento interessante della matematica , allora tutti gli oggetti matematici devono essere definiti come insiemi di qualche tipo. Quindi se la coppia ordinata non viene presa come primitiva, deve essere definita come un insieme. Di seguito sono fornite diverse definizioni insiemistiche della coppia ordinata (vedi anche ).

La definizione di Wiener

Norbert Wiener ha proposto la prima definizione teorica della coppia ordinata nel 1914:

${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\ {b\right\}\right\}\right\}.}$

Ha osservato che questa definizione ha permesso di definire i tipi di Principia Mathematica come insiemi. Principia Mathematica aveva preso i tipi, e quindi le relazioni di tutte le arie, come primitivi .

Wiener ha usato {{ b }} invece di { b } per rendere la definizione compatibile con la teoria dei tipi in cui tutti gli elementi di una classe devono essere dello stesso "tipo". Con b annidato all'interno di un set aggiuntivo, il suo tipo è uguale a 's. ${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$

La definizione di Hausdorff

Più o meno nello stesso periodo di Wiener (1914), Felix Hausdorff propose la sua definizione:

${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$

"dove 1 e 2 sono due oggetti distinti diversi da a e b."

La definizione di Kuratowski

Nel 1921 Kazimierz Kuratowski offrì la definizione ormai accettata della coppia ordinata ( a , b ):

${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$

Si noti che questa definizione viene utilizzata anche quando la prima e la seconda coordinata sono identiche:

${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}= \{\{X\}\}}$

Data una coppia ordinata p , la proprietà " x è la prima coordinata di p " può essere formulata come:

${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$

La proprietà " x è la seconda coordinata di p " può essere formulata come:

${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})).}$

Nel caso in cui le coordinate sinistra e destra siano identiche, la congiunzione destra è banalmente vera, poiché Y ₁ ≠ Y ₂ non è mai il caso. ${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})) }$

Ecco come possiamo estrarre la prima coordinata di una coppia (usando la notazione per intersezione arbitraria e unione arbitraria ):

${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p.}$

Ecco come si può estrarre la seconda coordinata:

${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.x\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow x\notin\bigcap p\giusto\}.}$

varianti

La precedente definizione di Kuratowski di coppia ordinata è "adeguata" in quanto soddisfa la proprietà caratteristica che una coppia ordinata deve soddisfare, ovvero quella . In particolare, esprime adeguatamente «ordine», in quanto falso a meno che . Esistono altre definizioni, di complessità simile o minore, ugualmente adeguate: ${\displaystyle (a,b)=(x,y)\leftrightarrow (a=x)\land (b=y)}$${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$${\displaystyle b=a}$

• ${\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\{1,b\}\}.}$

La definizione inversa è semplicemente una variante banale della definizione di Kuratowski, e come tale non ha alcun interesse indipendente. La definizione breve è così chiamata perché richiede due invece di tre coppie di parentesi graffe . Dimostrare che short soddisfa la proprietà caratteristica richiede l' assioma di regolarità della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel . Inoltre, se si usa la costruzione insiemistica dei numeri naturali di von Neumann , allora 2 è definito come l'insieme {0, 1} = {0, {0}}, che è indistinguibile dalla coppia (0, 0) _short . Ancora un altro svantaggio del breve coppia è il fatto che, anche se un e b sono dello stesso tipo, gli elementi del breve coppia non sono. (Tuttavia, se a  =  b, allora la versione breve continua ad avere cardinalità 2, che è qualcosa che ci si potrebbe aspettare da qualsiasi "coppia", inclusa qualsiasi "coppia ordinata". Si noti inoltre che la versione breve è utilizzata nella teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck , su cui si fonda il sistema Mizar .)

Dimostrando che le definizioni soddisfano la proprietà caratteristica

Dimostrare: ( a , b ) = ( c , d ) se e solo se a = c e b = d .

Kuratowski :
Se . Se a = c e b = d , allora {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}. Quindi ( a, b ) _K = ( c, d ) _K .

Solo se . Due casi: a = b , e a ≠ b .

Se a = b :

( a, b ) _K = {{ a }, { a, b }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }}.

( c, d ) _K = {{ c }, { c, d }} = {{ a }}.

Quindi { c } = { c, d } = { a }, il che implica a = c e a = d . Per ipotesi, a = b . Quindi b = d .

Se a ≠ b , allora ( a, b ) _K = ( c, d ) _K implica {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}.

Supponiamo { c, d } = { a }. Allora c = d = a , e quindi {{ c }, { c, d }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Ma allora {{ a }, { a, b }} sarebbe anche uguale a {{ a }}, così che b = a che contraddice a ≠ b .

Supponiamo { c } = { a, b }. Allora a = b = c , che contraddice anche a ≠ b .

Quindi { c } = { a }, quindi c = a e { c, d } = { a, b }.

Se d = a fosse vero, allora { c, d } = { a, a } = { a } ≠ { a, b }, una contraddizione. Quindi d = b è il caso, in modo che a = c e b = d .

Reverse :
( a, b ) _reverse = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

Se . Se ( a, b ) _reverse = ( c, d ) _reverse , ( b, a ) _K = ( d, c ) _K . Pertanto, b = d e a = c .

Solo se . Se a = c e b = d , allora {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Quindi ( a, b ) _reverse = ( c, d ) _reverse .

Corto:

Se : Se a = c e b = d , allora { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Quindi ( a, b ) _short = ( c, d ) _short .

Solo se : Supponiamo { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Allora a è nel lato sinistro, e quindi nel lato destro. Poiché gli insiemi uguali hanno elementi uguali, uno tra a = c o a = { c, d } deve essere il caso.

Se a = { c, d }, allora per un ragionamento simile a quello sopra, { a, b } è nel membro destro, quindi { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

Se { a, b } = c allora c è in { c, d } = a e a è in c , e questa combinazione contraddice l'assioma di regolarità, poiché { a, c } non ha alcun elemento minimo sotto la relazione "elemento di ."

Se { a, b } = { c, d }, allora a è un elemento di a , da a = { c, d } = { a, b }, ancora una volta in contraddizione con la regolarità.

Quindi a = c deve valere.

Di nuovo, vediamo che { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

L'opzione { a, b } = c e a = c implica che c è un elemento di c , contraddicendo la regolarità.

Quindi abbiamo a = c e { a, b } = { c, d }, e quindi: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, quindi b = d .

Definizione di Quine-Rosser

Rosser (1953) ha impiegato una definizione della coppia ordinata dovuta a Quine che richiede una previa definizione dei numeri naturali . Sia l'insieme dei numeri naturali e definiamo prima ${\displaystyle \mathbb {N}}$

${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\not \in \mathbb {N},\\x+1,&{\text{if} }x\in \mathbb {N} .\end{casi}}}$

La funzione incrementa il suo argomento se è un numero naturale e lo lascia così com'è; il numero 0 non compare come valore funzionale di . Come è l'insieme degli elementi di non andare avanti con ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle x\smallsetminus \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {N}}$

${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha)\mid \alpha \in x\}=(x\smallsetminus \mathbb {N})\cup \{n+ 1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$

Questa è l' immagine dell'insieme di un insieme sotto , a volte indicata anche da . L'applicazione di una funzione a un insieme x incrementa semplicemente ogni numero naturale in esso contenuto. In particolare, non contiene mai il numero 0, per cui per ogni insieme x e y , ${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma ''x}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$

Inoltre, definire

${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$

Con questo, contiene sempre il numero 0. ${\displaystyle \psi(x)}$

Infine, definisci la coppia ordinata ( A , B ) come unione disgiunta

${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{ 0\}:b\in B\}.}$

(che è in notazione alternativa). ${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$

Estraendo tutti gli elementi della coppia che non contengono 0 e annullando si ottiene A . Allo stesso modo, B può essere recuperato dagli elementi della coppia che contengono 0. ${\displaystyle \varphi}$

Ad esempio, la coppia è codificata come previsto . ${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$

Nella teoria dei tipi e nelle sue conseguenze come la teoria degli insiemi assiomatica NF , la coppia Quine-Rosser ha lo stesso tipo delle sue proiezioni e quindi è definita una coppia ordinata "a livello di tipo". Quindi questa definizione ha il vantaggio di consentire a una funzione , definita come un insieme di coppie ordinate, di avere un tipo solo 1 maggiore del tipo dei suoi argomenti. Questa definizione funziona solo se l'insieme dei numeri naturali è infinito. Questo è il caso della NF , ma non della teoria dei tipi o della NFU . J. Barkley Rosser ha mostrato che l'esistenza di una tale coppia ordinata a livello di tipo (o anche una coppia ordinata "innalzamento del tipo di 1") implica l' assioma dell'infinito . Per un'ampia discussione della coppia ordinata nel contesto delle teorie degli insiemi quiniane, vedere Holmes (1998).

Definizione di Cantor–Frege

All'inizio dello sviluppo della teoria degli insiemi, prima che venissero scoperti i paradossi, Cantor seguì Frege definendo la coppia ordinata di due insiemi come la classe di tutte le relazioni che esistono tra questi insiemi, assumendo che la nozione di relazione sia primitiva:

${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$

Questa definizione è inammissibile nella maggior parte delle moderne teorie degli insiemi formalizzate ed è metodologicamente simile alla definizione del cardinale di un insieme come la classe di tutti gli insiemi equipotenti con l'insieme dato.

Definizione morse

La teoria degli insiemi di Morse-Kelley fa libero uso di classi appropriate . Morse definì la coppia ordinata in modo che le sue proiezioni potessero essere classi appropriate oltre che insiemi. (La definizione di Kuratowski non lo consente.) Per prima cosa ha definito coppie ordinate le cui proiezioni sono insiemi alla maniera di Kuratowski. Ha poi ridefinito la coppia

${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$

dove i prodotti cartesiani componenti sono coppie di insiemi di Kuratowski e dove

${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$

Questo rende possibili coppie le cui proiezioni sono classi proprie. La definizione di Quine-Rosser sopra ammette anche classi proprie come proiezioni. Allo stesso modo la tripla è definita come una 3-tupla come segue:

${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s (z))}$

L'uso dell'insieme singleton che ha un insieme vuoto inserito consente alle tuple di avere la proprietà di unicità che se a è una n -tupla e b è una m -tupla e a = b allora n = m . Le triple ordinate definite come coppie ordinate non hanno questa proprietà rispetto alle coppie ordinate. ${\displaystyle s(x)}$

Definizione assiomatica

Le coppie ordinate possono anche essere introdotte assiomaticamente nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF) semplicemente aggiungendo a ZF un nuovo simbolo di funzione di arity 2 (di solito è omesso) e un assioma che definisce per : ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){\text{ se e solo se }}a_{1}=a_{2}{\text { e }}b_{1}=b_{2}.}$

Questa definizione è accettabile perché questa estensione di ZF è un'estensione conservativa .

La definizione aiuta ad evitare i cosiddetti teoremi accidentali come (a,a) = {{a}}, {a} ∈ (a,b), se la definizione di Kuratowski (a,b) = {{a}, {a,b }} era usato.

Teoria delle categorie

Un prodotto teorico di categoria A × B in una categoria di insiemi rappresenta l'insieme delle coppie ordinate, con il primo elemento proveniente da A e il secondo proveniente da B . In questo contesto la proprietà caratteristica di cui sopra è una conseguenza della proprietà universale del prodotto e del fatto che gli elementi di un insieme X possono essere identificati con morfismi da 1 (un insieme di elementi) a X . Sebbene oggetti diversi possano avere la proprietà universale, sono tutti naturalmente isomorfi .

Riferimenti