Postulato parallelo - Parallel postulate

Se la somma degli angoli interni α e è minore di 180°, le due rette, prodotte indefinitamente, si incontrano da quel lato.

In geometria , il postulato parallelo , chiamato anche Euclide quinto postulato s' perché è il quinto postulato di Euclide Elementi , è un caratteristico assioma in geometria euclidea . Essa afferma che, in geometria bidimensionale:

Se un segmento di linea Interseca due rette linee che formano due angoli interni dalla stessa parte della detta somma meno di due angoli retti , poi le due linee, se esteso indefinitamente, si incontrano su quel lato in cui gli angoli somma a meno di due angoli retti.

Questo postulato non parla specificamente di linee parallele; è solo un postulato relativo al parallelismo. Euclide ha dato la definizione di rette parallele nel Libro I, Definizione 23 appena prima dei cinque postulati.

La geometria euclidea è lo studio della geometria che soddisfa tutti gli assiomi di Euclide, compreso il postulato delle parallele.

Il postulato è stato a lungo considerato ovvio o inevitabile, ma le prove erano sfuggenti. Alla fine si scoprì che l'inversione del postulato dava geometrie valide, anche se diverse. Una geometria in cui non regge il postulato del parallelo è nota come geometria non euclidea . La geometria che è indipendente dal quinto postulato di Euclide (cioè, assume solo l'equivalente moderno dei primi quattro postulati) è nota come geometria assoluta (o talvolta "geometria neutra").

Proprietà equivalenti

Probabilmente l'equivalente più noto del postulato parallelo di Euclide, dipendente dagli altri suoi postulati, è l'assioma di Playfair , dal nome del matematico scozzese John Playfair , che afferma:

In un piano, data una retta e un punto fuori di essa, per quel punto si può tracciare al massimo una retta parallela alla retta data.

Questo assioma di per sé non è logicamente equivalente al postulato del parallelo euclideo poiché ci sono geometrie in cui uno è vero e l'altro no. Tuttavia, in presenza dei restanti assiomi che danno la geometria euclidea, ciascuno di questi può essere utilizzato per dimostrare l'altro, quindi sono equivalenti nel contesto della geometria assoluta .

Sono state suggerite molte altre affermazioni equivalenti al postulato parallelo, alcune delle quali sembrano inizialmente non essere correlate al parallelismo, e alcune sembrano così evidenti da essere inconsciamente assunte da persone che affermavano di aver dimostrato il postulato parallelo dagli altri postulati di Euclide . Queste dichiarazioni equivalenti includono:

  1. C'è al massimo una linea che può essere tracciata parallela ad un'altra data per un punto esterno. ( assioma di Playfair )
  2. La somma degli angoli in ogni triangolo è 180° ( postulato triangolare ).
  3. Esiste un triangolo la cui somma degli angoli è di 180°.
  4. La somma degli angoli è la stessa per ogni triangolo.
  5. Esiste una coppia di triangoli simili , ma non congruenti .
  6. Ogni triangolo può essere circoscritto .
  7. Se tre angoli di un quadrilatero sono retti , anche il quarto angolo è retto.
  8. Esiste un quadrilatero in cui tutti gli angoli sono retti, cioè un rettangolo .
  9. Esiste una coppia di rette che sono a distanza costante l' una dall'altra.
  10. Due rette parallele alla stessa retta sono anche parallele tra loro.
  11. In un triangolo rettangolo , il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati ( Teorema di Pitagora ).
  12. La legge dei coseni , una generalizzazione del teorema di Pitagora.
  13. Non esiste un limite superiore all'area di un triangolo. ( assioma di Wallis )
  14. Gli angoli al vertice del quadrilatero Saccheri sono di 90°.
  15. Se una linea interseca una delle due linee parallele, entrambe complanari alla linea originale, interseca anche l'altra. ( assioma di Proclo )

Tuttavia, le alternative che impiegano la parola "parallelo" cessano di apparire così semplici quando si è obbligati a spiegare quale delle quattro definizioni comuni di "parallelo" si intende: separazione costante, mai incontrarsi, stessi angoli se attraversati da una terza linea, o gli stessi angoli erano attraversati da una qualsiasi terza linea, poiché l'equivalenza di questi quattro è di per sé una delle ipotesi inconsciamente ovvie equivalenti al quinto postulato di Euclide. Nell'elenco sopra, si intende sempre fare riferimento a linee non intersecanti. Ad esempio, se la parola "parallelo" nell'assioma di Playfair è presa per significare "separazione costante" o "stessi angoli se attraversati da una terza linea", allora non è più equivalente al quinto postulato di Euclide, ed è dimostrabile dai primi quattro (l'assioma dice 'C'è al massimo una linea...', il che è coerente con l'assenza di tali linee). Tuttavia, se la definizione è presa in modo che le rette parallele siano rette che non si intersecano, o che hanno qualche retta che le interseca negli stessi angoli, l'assioma di Playfair è contestualmente equivalente al quinto postulato di Euclide ed è quindi logicamente indipendente dai primi quattro postulati. Nota che le ultime due definizioni non sono equivalenti, perché nella geometria iperbolica la seconda definizione vale solo per le linee ultraparallele .

Storia

Per duemila anni furono fatti molti tentativi per dimostrare il postulato del parallelo usando i primi quattro postulati di Euclide. La ragione principale per cui tale prova era così ricercata era che, a differenza dei primi quattro postulati, il postulato parallelo non è auto-evidente. Se l'ordine in cui erano elencati i postulati negli Elementi è significativo, indica che Euclide ha incluso questo postulato solo quando si è reso conto che non poteva dimostrarlo o procedere senza di esso. Furono fatti molti tentativi per dimostrare il quinto postulato dagli altri quattro, molti dei quali furono accettati come prove per lunghi periodi fino a quando non fu trovato l'errore. Invariabilmente l'errore è stato quello di assumere qualche proprietà 'ovvia' che si è rivelata equivalente al quinto postulato ( assioma di Playfair ). Sebbene noto dai tempi di Proclo, questo divenne noto come Assioma di Playfair dopo che John Playfair scrisse un famoso commento su Euclide nel 1795 in cui propose di sostituire il quinto postulato di Euclide con il suo stesso assioma.

Proclo (410-485) ha scritto un commento su Gli elementi dove commenta tentativi di prove per dedurre il quinto postulato dagli altri quattro; in particolare, osserva che Tolomeo aveva prodotto una falsa "prova". Proclo poi continua a dare una sua falsa prova. Tuttavia, ha dato un postulato che è equivalente al quinto postulato.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), matematico arabo , tentò di dimostrare il postulato del parallelo mediante una dimostrazione per assurdo , nel corso della quale introdusse in geometria il concetto di moto e di trasformazione . Ha formulato il quadrilatero di Lambert , che Boris Abramovich Rozenfeld chiama "quadrilatero di Ibn al-Haytham-Lambert", e la sua prova tentata contiene elementi simili a quelli trovati nei quadrilateri di Lambert e nell'assioma di Playfair .

Il matematico, astronomo, filosofo e poeta persiano Omar Khayyám (1050-1123), tentò di dimostrare il quinto postulato da un altro postulato esplicitamente dato (basato sul quarto dei cinque principi dovuti al Filosofo ( Aristotele ), vale a dire, "Due le rette convergenti si intersecano ed è impossibile che due rette convergenti divergano nella direzione in cui convergono." Derivò alcuni dei primi risultati appartenenti alla geometria ellittica e alla geometria iperbolica , sebbene il suo postulato escludesse quest'ultima possibilità. Il quadrilatero di Saccheri fu anche considerato per la prima volta da Omar Khayyám alla fine dell'XI secolo nel Libro I delle Spiegazioni delle Difficoltà nei Postulati di Euclide.A differenza di molti commentatori su Euclide prima e dopo di lui (incluso Giovanni Girolamo Saccheri ), Khayyám non stava cercando di dimostrare il parallelo postulato in quanto tale, ma per derivarlo dal suo postulato equivalente. Riconobbe che tre possibilità derivavano dall'omettere Euclide l' quinto postulato; se due perpendicolari ad una retta incrociano un'altra retta, scelta oculata dell'ultima può rendere uguali gli angoli interni dove incontra le due perpendicolari (è allora parallela alla prima retta). Se quegli angoli interni uguali sono retti, si ottiene il quinto postulato di Euclide, altrimenti devono essere acuti o ottusi. Ha mostrato che i casi acuti e ottusi portavano a contraddizioni usando il suo postulato, ma ora si sa che il suo postulato è equivalente al quinto postulato.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), nel suo Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discussione che rimuove i dubbi sulle linee parallele ) (1250), scrisse critiche dettagliate del postulato parallelo e sulla tentata dimostrazione di Khayyám un secolo prima. Nasir al-Din ha tentato di ricavare una prova contraddicendo il postulato parallelo. Considerò anche i casi di quella che oggi è nota come geometria ellittica e iperbolica, anche se li escluse entrambi.

Geometria euclidea, ellittica e iperbolica. Il Postulato Parallelo è soddisfatto solo per i modelli di geometria euclidea.

Il figlio di Nasir al-Din, Sadr al-Din (a volte noto come " Pseudo-Tusi "), scrisse un libro sull'argomento nel 1298, basato sui pensieri successivi di suo padre, che presentava uno dei primi argomenti a favore di un'ipotesi non euclidea equivalente al postulato parallelo. "Egli essenzialmente ha rivisto sia il sistema euclideo di assiomi e postulati e le prove di molte proposizioni dagli Elementi ." La sua opera fu pubblicata a Roma nel 1594 e fu studiata dai geometri europei. Questo lavoro ha segnato il punto di partenza per il lavoro di Saccheri sull'argomento che si è aperto con una critica all'opera di Sadr al-Din e all'opera di Wallis.

Giordano Vitale (1633-1711), nel suo libro Euclide restituo (1680, 1686), utilizzò il quadrilatero Khayyam-Saccheri per dimostrare che se tre punti sono equidistanti sulla base AB e sul vertice CD, allora AB e CD sono equidistanti ovunque. Girolamo Saccheri (1667-1733) perseguì più a fondo lo stesso ragionamento, ricavando giustamente l'assurdità dal caso ottuso (procedendo, come Euclide, dal presupposto implicito che le linee possono essere estese all'infinito e avere lunghezza infinita), ma non riuscendo a confutare il caso acuto (sebbene sia riuscito a convincersi erroneamente di averlo fatto).

Nel 1766 Johann Lambert scrisse, ma non pubblicò, Theorie der Parallellinien in cui tentò, come fece Saccheri, di dimostrare il quinto postulato. Lavorò con una figura che oggi chiamiamo quadrilatero di Lambert , quadrilatero con tre angoli retti (può essere considerato la metà di un quadrilatero di Saccheri). Eliminò rapidamente la possibilità che il quarto angolo fosse ottuso, come avevano fatto Saccheri e Khayyám, e quindi procedette a dimostrare molti teoremi assumendo un angolo acuto. A differenza di Saccheri, non ha mai sentito di essere arrivato a una contraddizione con questo assunto. Aveva dimostrato il risultato non euclideo che la somma degli angoli in un triangolo aumenta al diminuire dell'area del triangolo, e questo lo portò a speculare sulla possibilità di un modello del caso acuto su una sfera di raggio immaginario. Non portò oltre questa idea.

Laddove Khayyám e Saccheri avevano tentato di dimostrare la quinta di Euclide confutando le uniche alternative possibili, il diciannovesimo secolo vide finalmente i matematici esplorare quelle alternative e scoprire le geometrie logicamente coerenti che ne risultano. Nel 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky pubblicò un resoconto di geometria acuta in un oscuro giornale russo (poi ripubblicato nel 1840 in tedesco). Nel 1831, János Bolyai incluse, in un libro di suo padre, un'appendice che descrive la geometria acuta, che, senza dubbio, aveva sviluppato indipendentemente da Lobachevsky. Anche Carl Friedrich Gauss aveva studiato il problema, ma non pubblicò nessuno dei suoi risultati. Dopo aver appreso dei risultati di Bolyai in una lettera del padre di Bolyai, Farkas Bolyai , Gauss ha dichiarato:

"Se cominciassi col dire che non sono in grado di lodare quest'opera, rimarreste certamente sorpresi per un momento. Ma non posso dire diversamente. Lodare sarebbe lodare me stesso. In effetti l'intero contenuto dell'opera, la strada intrapresa da tuo figlio, i risultati a cui è condotto coincidono quasi interamente con le mie meditazioni, che hanno occupato in parte la mia mente negli ultimi trenta o trentacinque anni».

Le geometrie risultanti furono successivamente sviluppate da Lobachevsky , Riemann e Poincaré in geometria iperbolica (il caso acuto) ed ellittica (il caso ottuso). L' indipendenza del postulato parallelo dagli altri assiomi di Euclide fu infine dimostrata da Eugenio Beltrami nel 1868.

Conversazione del postulato parallelo di Euclide

L'inverso del postulato parallelo: se la somma dei due angoli interni è uguale a 180°, allora le rette sono parallele e non si intersecano mai.

Euclide non postulò il contrario del suo quinto postulato, che è un modo per distinguere la geometria euclidea dalla geometria ellittica . Gli Elementi contiene la dimostrazione di un'affermazione equivalente (Libro I, Proposizione 27): Se una retta cadendo su due rette rende gli angoli alterni uguali tra loro, le rette saranno parallele tra loro. Come ha sottolineato De Morgan , questo è logicamente equivalente a (Libro I, Proposizione 16). Questi risultati non dipendono dal quinto postulato, ma richiedono il secondo postulato che è violato nella geometria ellittica.

Critica

I tentativi di dimostrare logicamente il postulato parallelo, piuttosto che l'ottavo assioma, sono stati criticati da Arthur Schopenhauer in Il mondo come volontà e idea . Tuttavia, l'argomento utilizzato da Schopenhauer era che il postulato è evidente per percezione, non che non fosse una conseguenza logica degli altri assiomi.

Scomposizione del postulato parallelo

Il postulato parallelo è equivalente, come mostrato in, alla congiunzione del Lotschnittaxiom e dell'assioma di Aristotele . Il primo afferma che le perpendicolari ai lati di un angolo retto si intersecano, mentre il secondo afferma che non esiste un limite superiore per le lunghezze delle distanze dal cateto di un angolo all'altro cateto. Come mostrato in, il postulato parallelo è equivalente alla congiunzione delle seguenti forme incidenza-geometriche del Lotschnittaxiom e dell'assioma di Aristotele :

Date tre rette parallele, c'è una retta che le interseca tutte e tre.

Data una retta a e due rette m ed n distinte che si intersecano, ciascuna diversa da a, esiste una retta g che interseca a e m, ma non n.

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

link esterno

Eder, Michelle (2000), Viste del postulato parallelo di Euclide nell'antica Grecia e nell'Islam medievale , Rutgers University , recuperato il 23/01/2008