porismo - Porism

Un porismo è una proposizione matematica o un corollario . È stato usato per riferirsi a una conseguenza diretta di una dimostrazione, analogamente a come un corollario si riferisce a una conseguenza diretta di un teorema . Nell'uso moderno, è una relazione che vale per una gamma infinita di valori ma solo se si assume una certa condizione, come il porismo di Steiner . Il termine deriva da tre libri di Euclide che sono andati perduti. Una proposizione potrebbe non essere stata dimostrata, quindi un porismo potrebbe non essere un teorema o vero.

Origini

Il libro che parla di porisms primo è Euclide 's Porisms . Quello che si sa di esso è in Pappo di Alessandria 's Collection , che cita insieme con altri trattati geometriche, e dà molti lemmi necessari per la comprensione di esso. Pappo afferma:

I porismi di tutte le classi non sono né teoremi né problemi, ma occupano una posizione intermedia tra i due, cosicché le loro enunciazioni possono essere enunciate sia come teoremi che come problemi, e di conseguenza alcuni geometri pensano che siano teoremi, e altri che siano problemi, essendo guidato unicamente dalla forma dell'enunciato. Ma è chiaro dalle definizioni che i vecchi geometri capivano meglio la differenza tra le tre classi. I geometri più antichi consideravano un teorema come diretto a dimostrare ciò che viene proposto, un problema come diretto a costruire ciò che viene proposto, e infine un porismo come diretto a trovare ciò che viene proposto ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ).

Pappo disse che l'ultima definizione fu cambiata da alcuni geometri posteriori, che definirono un porismo come una caratteristica accidentale come τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos ), ciò che manca di un locus-teorema da un (o nella sua ) ipotesi. Proclo ha sottolineato che la parola porismo è stata usata in due sensi: un senso è quello di "corollario", come risultato non ricercato ma visto derivare da un teorema. Nell'altro senso, non aggiunse nulla alla definizione dei "geometri più antichi", se non per dire che la ricerca del centro di un cerchio e la ricerca della massima misura comune sono porismi.

Pappo sul porismo di Euclide

Pappo ha respinto la definizione di porismo di Euclide . Un porismo, espresso in linguaggio moderno, asserisce che date quattro rette, delle quali tre girano attorno ai punti in cui si incontrano la quarta se due dei punti di intersezione di queste rette giacciono ciascuno su una retta fissa, il restante punto di anche l'intersezione giace su un'altra linea retta. La definizione generale si applica a qualsiasi numero, n , di rette, di cui n può ruotare attorno ad altrettanti punti fissati sulla ( n  + 1)-esima. Queste n rette tagliano due più due in 1 ⁄ 2 n ( n  − 1) punti,  essendo 1 ⁄ 2 n ( n − 1) un numero triangolare il cui lato è n  − 1. Se vengono fatte girare intorno all'n fissato punti in modo che qualsiasi n  − 1 dei loro 1 ⁄ 2 n ( n  − 1) punti di intersezione, scelti con una certa limitazione, giacciano su n  − 1 date rette fisse, quindi ciascuno dei restanti punti di intersezione, 1 ⁄ 2 n ( n  − 1)( n  − 2) in numero, descrive una retta.

Quanto sopra si può esprimere come: Se intorno a due punti fissi, P e Q, si fa il giro di due rette incontrandosi su una retta data, L, e se una di esse taglia un segmento, AM, da una retta fissa , AX, data in posizione, si può determinare un'altra retta fissa BY, ed un punto B fissato su di essa, in modo che il segmento BM' fatto dalla seconda retta mobile su questa seconda retta fissa misurata da B abbia un dato rapporto X all'AM. I lemmi che Pappo dà in relazione ai porismi sono:

  1. il teorema fondamentale che la croce o rapporto anarmonico di una matita di quattro rette che si incontrano in un punto è costante per tutte le trasversali;
  2. la dimostrazione delle proprietà armoniche di un quadrilatero completo;
  3. il teorema che, se i sei vertici di un esagono giacciono tre e tre su due rette, i tre punti della concorrenza dei lati opposti giacciono su una retta.

Analisi successiva

Robert Simson ha spiegato le uniche tre proposizioni che Pappo indica con una certa completezza, che è stato pubblicato nelle Transazioni filosofiche nel 1723. Successivamente ha studiato il tema dei porismi in generale in un'opera intitolata De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor , e pubblicato dopo la sua morte in un volume, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776).

Il trattato di Simson, De porismatibus , inizia con le definizioni di teorema, problema, dato, porismo e luogo. Simon ha scritto che la definizione di Pappo è troppo generale e che l'ha sostituita come:

Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, convenire ostendendum est communem affettom in propositionm descrittivo. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demonstranda sunt, invenienda proponantur.

Simson diceva che un locus è una specie di porismo. Segue poi una traduzione latina della nota di Pappo sui porismi e delle proposizioni che costituiscono il grosso del trattato.

Il libro di memorie di John Playfair ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, vol. iii.), una sorta di seguito del trattato di Simson, esplorava la probabile origine dei porismi, oi passaggi che portarono gli antichi geometri a scoprirli. Playfair ha osservato che l'attenta indagine di tutti i possibili casi particolari di una proposta mostrerebbe che

  1. in determinate condizioni un problema diventa impossibile;
  2. in determinate altre condizioni, indeterminato o capace di un numero infinito di soluzioni.

Questi casi potevano essere definiti separatamente, erano in modo intermedio tra teoremi e problemi, e venivano chiamati "porismi". Playfair ha definito un porismo come "[a] proposizione che afferma la possibilità di trovare condizioni tali da rendere un certo problema indeterminato o capace di innumerevoli soluzioni".

Sebbene la definizione di porismo di Playfair sembri essere la più apprezzata in Inghilterra, l'opinione di Simson è stata generalmente accettata all'estero e ha avuto il sostegno di Michel Chasles . Tuttavia, in Liouville 's Journal de MATHEMATIQUES pures et appliquées (vol. Xx., Luglio 1855), P. Breton ha pubblicato Recherches sur les nouvelles porismes d'Euclide , in cui ha dato una nuova traduzione del testo di Pappo, e ha cercato di fondare una visione della natura di un porismo che si conforma più strettamente alla definizione di Pappo. Seguì sulla stessa rivista e su La Science una polemica tra Breton e AJH Vincent, che contestò l'interpretazione data dal primo del testo di Pappo, e si dichiarò favorevole all'idea di Frans van Schooten , avanzata nel suo Mathematicae esercizi (1657). Secondo Schooten, se le varie relazioni tra le rette in una figura sono scritte sotto forma di equazioni o proporzioni, allora la combinazione di queste equazioni in tutti i modi possibili e di nuove equazioni così derivate da esse porta alla scoperta di innumerevoli nuove proprietà della figura.

Le discussioni tra Breton e Vincent, alle quali si unì C. Housel, non portarono avanti il ​​lavoro di restauro dei Porisms di Euclide , che fu lasciato a Chasles. La sua opera ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , Parigi, 1860) fa pieno uso di tutto il materiale rinvenuto a Pappo.

Un'interessante ipotesi sui porismi è stata avanzata da HG Zeuthen ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, cap. viii.). Zeuthen osservò, ad esempio, che l'intercetta-porismo è ancora vero se i due punti fissi sono punti su una conica e le rette tracciate attraverso di essi si intersecano sulla conica invece che su una retta fissa. Ha ipotizzato che i porismi fossero un sottoprodotto di una geometria proiettiva delle coniche completamente sviluppata.

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

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