Filtro prototipo - Prototype filter

I filtri prototipo sono progetti di filtri elettronici utilizzati come modello per produrre un progetto di filtro modificato per una particolare applicazione. Sono un esempio di un design adimensionalizzato dal quale il filtro desiderato può essere ridimensionato o trasformato . Sono più spesso visti in relazione ai filtri elettronici e soprattutto ai filtri passivi analogici lineari . Tuttavia, in linea di principio, il metodo può essere applicato a qualsiasi tipo di filtro lineare o elaborazione del segnale , inclusi filtri meccanici, acustici e ottici.

I filtri devono funzionare a molte frequenze , impedenze e larghezze di banda differenti . L'utilità di un filtro prototipo deriva dalla proprietà che tutti questi altri filtri possono essere derivati ​​da esso applicando un fattore di scala ai componenti del prototipo. La progettazione del filtro deve quindi essere eseguita solo una volta per intero, con altri filtri che si ottengono semplicemente applicando un fattore di scala.

Particolarmente utile è la capacità di trasformarsi da una forma di banda all'altra. In questo caso, la trasformazione è più di un semplice fattore di scala. Bandform qui ha lo scopo di indicare la categoria di banda passante che possiede il filtro. I bandforms usuali sono passa-basso , passa-alto , passa-banda e bandstop , ma altri sono possibili. In particolare, è possibile che un filtro abbia più bande passanti. Infatti, in alcuni trattamenti, il filtro bandstop è considerato un tipo di filtro passabanda multiplo avente due bande passanti. Più comunemente, il filtro prototipo è espresso come filtro passa-basso, ma sono possibili altre tecniche.

Un prototipo passa basso costante k Π (pi) filtro

Parti di questo articolo o sezione si basano sulla conoscenza del lettore della complessa rappresentazione dell'impedenza di condensatori e induttori e sulla conoscenza della rappresentazione nel dominio della frequenza dei segnali .

Prototipo passa-basso

Il prototipo è più spesso un filtro passa-basso con un dB 3 angolo di frequenza di frequenza angolare ω _c ' = 1  rad / s . Occasionalmente, frequenza f '' = 1  Hz si utilizza invece ω _c ' = 1. Analogamente, l'impedenza nominale o caratteristica del filtro è impostato su R  ' = 1 Ω.

In linea di principio, qualsiasi punto di frequenza diverso da zero sulla risposta del filtro potrebbe essere utilizzato come riferimento per la progettazione del prototipo. Ad esempio, per i filtri con ripple nella banda passante, la frequenza d'angolo è generalmente definita come la frequenza più alta al ripple massimo anziché 3 dB. Un altro caso è nei filtri dei parametri dell'immagine (un metodo di progettazione più vecchio rispetto ai più moderni filtri di sintesi di rete ) che utilizzano la frequenza di taglio anziché il punto di 3 dB poiché il taglio è un punto ben definito in questo tipo di filtro.

Il filtro prototipo può essere utilizzato solo per produrre altri filtri della stessa classe e ordine. Ad esempio, un prototipo di filtro Bessel del quinto ordine può essere convertito in qualsiasi altro filtro Bessel del quinto ordine, ma non può essere trasformato in un filtro Bessel del terzo ordine o un filtro Chebyshev del quinto ordine .

Ridimensionamento della frequenza

Il filtro prototipo viene scalato alla frequenza richiesta con la seguente trasformazione:

${\displaystyle i\omega \to \left({\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\right)i\omega }$

dove ω _c ' è il valore del parametro di frequenza (ad esempio di taglio frequenza) per il prototipo e ω _c è il valore desiderato. Quindi se ω _c '  = 1 allora la funzione di trasferimento del filtro si trasforma come:

${\displaystyle A(i\omega)\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}$

Si può facilmente vedere che per ottenere ciò, i componenti non resistivi del filtro devono essere trasformati da:

${\displaystyle L\to {\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\,L}$  e,   ${\displaystyle C\to {\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\,C}$

Ridimensionamento dell'impedenza

Il ridimensionamento dell'impedenza è invariabilmente un ridimensionamento a una resistenza fissa. Questo perché le terminazioni del filtro, almeno nominalmente, sono considerate una resistenza fissa. Per eseguire questa scalatura ad un'impedenza nominale R , ogni elemento di impedenza del filtro viene trasformato da:

${\displaystyle Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z}$

Può essere più conveniente su alcuni elementi scalare invece l'ammettenza:

${\displaystyle Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y}$

Il filtro prototipo sopra, trasformato in un filtro passa-basso da 600Ω, 16kHz

Si può facilmente vedere che per ottenere ciò, i componenti non resistivi del filtro devono essere ridimensionati come:

${\displaystyle L\to {\frac {R}{R'}}\,L}$    e,    ${\displaystyle C\to {\frac {R'}{R}}\,C}$

Il ridimensionamento dell'impedenza di per sé non ha alcun effetto sulla funzione di trasferimento del filtro (a condizione che alle impedenze di terminazione sia applicato lo stesso ridimensionamento). Tuttavia, è normale combinare la scala di frequenza e impedenza in un unico passaggio:

${\displaystyle L\to \,{\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L}$  e,   ${\displaystyle C\to \,{\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C}$

Trasformazione della forma di banda

In generale, la forma di banda di un filtro viene trasformata sostituendo iω dove si verifica nella funzione di trasferimento con una funzione di iω . Questo a sua volta porta alla trasformazione dei componenti di impedenza del filtro in qualche altro componente(i). Il ridimensionamento della frequenza sopra è un banale caso di trasformazione della forma di banda corrispondente a una trasformazione da passabasso a passabasso.

Passa-basso a passa-alto

La trasformazione di frequenza richiesta in questo caso è:

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\frac {\omega _{c}}{i\omega }}}$

dove ω _c è il punto sul filtro passa-alto corrispondente a ω _c ' sul prototipo. La funzione di trasferimento si trasforma quindi come:

${\displaystyle A(i\omega)\to A\left({\frac {\omega _{c}\,\omega _{c}'}{i\omega }}\right)}$

Gli induttori vengono trasformati in condensatori secondo,

${\displaystyle L'\to C={\frac {1}{\omega _{c}\,\omega _{c}'\,L'}}}$

e i condensatori si trasformano in induttanze,

${\displaystyle C'\to L={\frac {1}{\omega _{c}\,\omega _{c}'\,C'}}}$

le quantità innescate sono il valore del componente nel prototipo.

Passabasso a passabanda

In questo caso, la trasformazione di frequenza richiesta è:

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\ omega _{0}}{i\omega }}\right)}$

dove Q è il fattore Q ed è uguale all'inverso della larghezza di banda frazionaria:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}}$

Se ω ₁ e ω ₂ sono i punti di frequenza inferiore e superiore (rispettivamente) della risposta passa banda corrispondente a ω _c ' del prototipo, poi,

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,}$   e    ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}}$

Δ ω è la larghezza di banda assoluta e ω ₀ è la frequenza di risonanza dei risonatori nel filtro. Si noti che il ridimensionamento della frequenza del prototipo prima della trasformazione da passabasso a passabanda non influisce sulla frequenza di risonanza, ma influisce invece sulla larghezza di banda finale del filtro.

La funzione di trasferimento del filtro si trasforma secondo:

${\displaystyle A(i\omega)\to A\left(\omega _{c}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)}$

Il filtro prototipo sopra, trasformato in un filtro passa-banda da 50Ω, 6MHz con larghezza di banda di 100kHz

Gli induttori vengono trasformati in risonatori in serie ,

${\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _ {0}\omega _{c}'Q}}{\frac {1}{L'}}}$

e i condensatori si trasformano in risonatori paralleli,

${\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{c}'Q}}{\frac {1}{C'}}}$

Passabasso a bandstop

La trasformazione di frequenza richiesta per passa-basso a bandstop è:

${\displaystyle {\frac {\omega _{c}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\ omega _{0}}{i\omega }}\right)}$

Gli induttori vengono trasformati in risonatori paralleli,

${\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{c}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{c}'}}{\frac {1}{L'}}}$

e i condensatori si trasformano in risonatori in serie,

${\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{c}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _ {0}\omega _{c}'}}{\frac {1}{C'}}}$

Passabasso a multibanda

I filtri con più bande passanti possono essere ottenuti applicando la trasformazione generale:

${\displaystyle {\frac {\omega _{c}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{ 01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega } {\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }$

Il numero di risonatori nell'espressione corrisponde al numero di bande passanti richieste. I filtri passa-basso e passa-alto possono essere visti come casi speciali dell'espressione del risonatore con l'uno o l'altro dei termini che diventano zero a seconda dei casi. I filtri bandstop possono essere considerati come una combinazione di un filtro passa-basso e un filtro passa-alto. I filtri bandstop multipli possono sempre essere espressi in termini di un filtro passabanda multiplo. In questo modo si vede che questa trasformazione rappresenta il caso generale per qualsiasi forma di banda, e tutte le altre trasformazioni sono da considerarsi casi speciali di essa.

La stessa risposta può essere ottenuta in modo equivalente, a volte con una topologia dei componenti più conveniente, trasformando in più bande di arresto invece di più bande passanti. La trasformazione richiesta in questi casi è:

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{ 01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega } {\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }$

Prototipo alternativo

Nel suo trattamento dei filtri immagine , Zobel ha fornito una base alternativa per la costruzione di un prototipo che non si basa nel dominio della frequenza . I prototipi di Zobel non corrispondono, quindi, ad alcuna forma di banda particolare, ma possono essere trasformati in una qualsiasi di esse. Non dare un significato speciale a nessuna forma di banda rende il metodo più piacevole dal punto di vista matematico; tuttavia, non è di uso comune.

Il prototipo Zobel considera le sezioni del filtro, piuttosto che i componenti. Cioè, la trasformazione viene eseguita su una rete a due porte anziché su un induttore o condensatore a due terminali. La funzione di trasferimento è espressa in termini del prodotto della serie impedenza , Z, e lo shunt ammettenza Y di una semi-sezione di filtro. Vedere l'articolo Impedenza di immagine per una descrizione delle semisezioni. Questa quantità è adimensionale , aggiungendosi alla generalità del prototipo. In generale, ZY è una quantità complessa,

${\displaystyle ZY=U+iV\,\!}$e come U e V sono entrambi, in generale, le funzioni di ω dovremmo correttamente scrittura,

${\displaystyle ZY=U(\omega )+iV(\omega )\,\!}$

Con i filtri immagine è possibile ottenere filtri di classi diverse dal prototipo del filtro k costante mediante un diverso tipo di trasformazione (vedi filtro immagine composita ), essendo k costante quei filtri per i quali Z/Y è una costante. Per questo motivo, i filtri di tutte le classi sono dati in termini di U(ω) per una costante k, che è notata come,

${\displaystyle ZY=U_{k}(\omega)+iV_{k}(\omega)\,\!}$

Nel caso di reti senza dissipazione, cioè senza resistori, la quantità V(ω) è nulla e si deve considerare solo U(ω) . U _k (ω) varia da 0 al centro della banda passante a -1 alla frequenza di taglio e poi continua ad aumentare negativamente nella banda di arresto indipendentemente dalla forma di banda del filtro in progettazione. Per ottenere la forma di banda richiesta, vengono utilizzate le seguenti trasformazioni:

Per un prototipo k costante passa basso che viene ridimensionato:

${\displaystyle R_{0}=1\,,\,\omega _{c}=1}$

la variabile indipendente del grafico di risposta è,

${\displaystyle U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!}$

Le trasformazioni della forma della banda di questo prototipo sono,

per passa basso, ${\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2}}$

per passa alto, ${\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{c}}{i\omega }}\right)^{2}}$

e per passabanda, ${\displaystyle U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}} {i\omega }}\right)^{2}}$

Guarda anche

• Topologia del filtro elettronico
• Filtro elettronico
• Filtro lineare
• Filtro immagine composita

Filtra bandforms : vedasi, passa basso , passa-alto , passa-banda , banda stop .

Note a piè di pagina

Riferimenti

Bibliografia

• Zobel, GU, "Teoria e progettazione di filtri per onde elettriche uniformi e composite", Bell System Technical Journal , vol.2 (1923), pp. 1–46.
• Zobel, OJ, "Electrical wave filter", brevetto USA 1 850 146, depositato il 25 novembre 1930, rilasciato il 22 marzo 1932. Fornisce molte formule utili e una base di dominio non di frequenza per definire i prototipi.
• Matthaei, Young, Jones Filtri per microonde, reti di adattamento di impedenza e strutture di accoppiamento McGraw-Hill 1964.
• Farago, PS, An Introduction to Linear Network Analysis , English Universities Press, 1961.